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§15.3收敛定理的证明数学分析 第十五章傅里叶级数预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）若函数f

在§3收敛定理的证明后退

前进

目录

退出数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明为,为,此先证明两个预备定理.上可积,则其中等式.为f

的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不证令考察积分由于§3收敛定理的证明所以数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社对于的积分.

应用三角函数的正交性,

有§3收敛定理的证明将(3),(4)代入(2)，可得数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社为有限值,成立.§3收敛定理的证明因而数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社对任何正整数m成立.

而所以正项级数的部分和数列有界,因而它收敛且不等式若f

为可积函数,则因为(1)的左边级数收敛,所以当时,

通项这个推论称为黎曼－勒贝格定理.§3收敛定理的证明推（论黎1

曼-勒贝格定理）数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社推论2证由于所以若f

为可积函数,

则§3收敛定理的证明数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社§3收敛定理的证明其中数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社式右端两项积分的极限在左边的极限为零.同样可以证明§3收敛定理的证明显见

与 和f

一样在上可积.由推论1,(7)时都等于零.所以数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社当t

=0时,被积函数中的不定式由极限确定.预备定理2若

是以2

为周期的函数,

且在则它的傅里叶级数的部分和上可积,可写成§3收敛定理的证明数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社§3收敛定理的证明证在傅里叶级数部分和中,

用傅里叶系数公式代入,

可得数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社令,得上的积的函数,§3收敛定理的证明由上面这个积分看到,被积函数是周期为因此在

上的积分等于分,再由第十二章§3的(21)式,即数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社这就得到§3收敛定理的证明(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:则在每一点其中为f

的傅里叶系数.定理15.3若以

为周期的函数在

上按段光滑，f

的傅里叶级数收敛于§3收敛定理的证明f

在点x

的左、右极限的算术平均值,即数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社证只要证明在每一点x

处下述极限成立:即或证明同时有§3收敛定理的证明数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社先证明

(10)

式. 对

(9)

式积分后得到§3收敛定理的证明数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社由于上式左边为偶函数,因此两边乘以后又得到§3收敛定理的证明从而(10)式可改写为数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社令§3收敛定理的证明由此得到在点则函数

右连续.再令因为在所以

在上至多只有有限个第一类间断点,上可积.根据预备定理1和推论2,数学分析

第十五章

傅里叶级数高等教育出版社§3

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