高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.7.2 利用向量求空间角和距离课时提升作业 理试题

利用向量求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.建立空间直角坐标系如图.则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).QUOTE=(-1,0,2),QUOTE=(-1,2,1),cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为QUOTE.2.(2016·仙桃模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),DQUOTE,EQUOTE,FQUOTE.所以QUOTE=(0,0,-2),QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE.设平面DFE的法向量为n=(x,y,z),则由QUOTE得QUOTE取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ=QUOTE=QUOTE,所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为QUOTE.3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知当E(6,3,0),F(3,6,0)时,A1,E,F,C1共面,设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为QUOTE=QUOTE.4.(2016·莆田模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2QUOTE,则该二面角的大小为()A.150° B.45° C.60° D.120°【解析】选C.由条件知QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,因为QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE.所以|QUOTE|2=|QUOTE|2+|QUOTE|2+|QUOTE|2+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE=62+42+82+2×6×8cos<QUOTE,QUOTE>=(2QUOTE)2.所以cos<QUOTE,QUOTE>=-QUOTE,则<QUOTE,QUOTE>=120°,即<QUOTE,QUOTE>=60°.所以二面角的大小为60°.5.(2016·泉州模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以QUOTE=(2,0,0),QUOTE=(2,0,2),QUOTE=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则QUOTE令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离是d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA1=QUOTE,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=(0,1,0),AM=QUOTE-(1,0,QUOTE)=QUOTE,则直线AM与平面AA1C1C所成角θ的正弦值为sinθ=|cos<QUOTE,n>|=QUOTE=QUOTE,所以tanθ=QUOTE.答案:QUOTE7.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为.【解析】如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),EQUOTE,FQUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为θ,由图知θ为锐角,由QUOTE得QUOTE令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),cosθ=|cos<n,m>|=QUOTE,tanθ=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·长沙模拟)如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=QUOTE,则B1到平面PAD的距离为.【解题提示】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量,由QUOTE的坐标,利用距离公式,即可得到结论.【解析】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,则QUOTE=(0,2,0),QUOTE=(1,1,2),设平面PAD的法向量是m=(x,y,z),所以由QUOTE可得QUOTE取z=1得m=(-2,0,1),因为QUOTE=(-2,0,2),所以B1到平面PAD的距离d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·浙江高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如图,以BC的中点O为坐标原点,以OB,OA,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则BC=QUOTEAC=2QUOTE,A1O=QUOTE=QUOTE.易知A1(0,0,QUOTE),B(QUOTE,0,0),C(-QUOTE,0,0),A(0,QUOTE,0),D(0,-QUOTE,QUOTE),B1(QUOTE,-QUOTE,QUOTE),QUOTE=(0,-QUOTE,0),QUOTE=(-QUOTE,-QUOTE,QUOTE),QUOTE=(-QUOTE,0,0),QUOTE=(-2QUOTE,0,0),QUOTE=(0,0,QUOTE),因为QUOTE·QUOTE=0,所以A1D⊥OA1,又因为QUOTE·QUOTE=0,所以A1D⊥BC,又因为OA1∩BC=O,所以A1D⊥平面A1BC.(2)设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),由QUOTE得QUOTE取z=1,得m=(QUOTE,0,1),设平面B1BD的法向量为n=(a,b,c),由QUOTE得QUOTE取c=1,得n=(0,QUOTE,1),所以cos<m,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为该二面角为钝角,所以二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-QUOTE.方法二:(1)取BC的中点E,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE,因为AB=AC,所以AE⊥BC,A1E∩BC=E,故AE⊥平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,所以DE∥A1A,DE=A1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1D∥AE,又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥BD,且A1F∩BD=F,连接B1F.由AE=BE=QUOTE,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB≌△B1DB,由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=QUOTE,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=3QUOTE,A1F=B1F=QUOTE,由余弦定理得cos∠A1FB1=-QUOTE.10.(2016·唐山模拟)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=QUOTE,PD⊥底面ABCD.(1)证明:平面PBC⊥平面PBD.(2)若二面角P-BC-D为QUOTE,求AP与平面PBC所成角θ的正弦值.【解析】(1)因为CD2=BC2+BD2,所以BC⊥BD.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.又因为PD∩BD=D,所以BC⊥平面PBD.而BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBD.(2)由(1)所证,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角,即∠PBD=QUOTE.因为BD=QUOTE,所以PD=1.分别以DA,DB,DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,QUOTE,0),C(-1,QUOTE,0),P(0,0,1).所以QUOTE=(-1,0,1),QUOTE=(-1,0,0),QUOTE=(0,-QUOTE,1).设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则QUOTE即QUOTE可解得平面PBC的一个法向量为n=(0,1,QUOTE),所以AP与平面PBC所成角θ的正弦值为sinθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(20分钟40分)1.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M为PB的中点,PA=AD=2.若AB=1,则二面角B-AC-M的余弦值为.【解析】因为BC⊥平面PAB,AD∥BC,所以AD⊥平面PAB,PA⊥AD,又PA⊥AB,且AD∩AB=A,所以PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),MQUOTE.所以QUOTE=(2,1,0),QUOTE=QUOTE,求得平面AMC的一个法向量为n=(1,-2,1),又平面ABC的一个法向量为QUOTE=(0,0,2),所以cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以二面角B-AC-M的余弦值为QUOTE.答案:QUOTE2.(5分)(2016·衡阳模拟)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.【解析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),PQUOTE.则QUOTE=(2a,0,0),QUOTE=QUOTE,QUOTE=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<QUOTE,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以<QUOTE,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案:30°3.(5分)(2016·孝感模拟)如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2QUOTE.则点A到平面MBC的距离为.【解析】取CD中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.OB=OM=QUOTE,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,QUOTE),B(0,-QUOTE,0),A(0,-QUOTE,2QUOTE).则QUOTE=(1,QUOTE,0),QUOTE=(0,QUOTE,QUOTE),设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,由n⊥QUOTE,得x+QUOTEy=0;由n⊥QUOTE,得QUOTEy+QUOTEz=0.取n=(QUOTE,-1,1),QUOTE=(0,0,2QUOTE),则d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(12分)(2015·天津高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=QUOTE,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为QUOTE,求线段A1E的长.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得MQUOTE,N(1,-2,1),所以QUOTE=QUOTE.依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.由此可得QUOTE·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)QUOTE=(1,-2,2),QUOTE=(2,0,0),QUOTE=(0,1,2).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则QUOTE即QUOTE不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则QUOTE得QUOTE不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos<n1,n2>=QUOTE=-QUOTE,于是sin<n1,n2>=QUOTE.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为QUOTE.(3)设直线NE与平面ABCD所成角为θ,依题意,可设QUOTE=λQUOTE,其中λ∈QUOTE,则EQUOTE,从而QUOTE=QUOTE.又n=QUOTE为平面ABCD的一个法向量,由已知,得sinθ=|cos<QUOTE,n>|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈QUOTE,解得λ=QUOTE-2.所以,线段A1E的长为QUOTE-2.5.(13分)如图1,在平面四边形ACPE中,D为AC的中点,AD=DC=PD=2,AE=1,且AE⊥AC,PD⊥AC,沿PD折起使∠ADC=90°,得到立体图形如图2,又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.(1)求三棱锥P-GHF的体积.(2)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥PE.又FG⊄