高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算课时提升作业 理试题

平面向量的概念及其线性运算(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量,则a=bB.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0,则|a|=|b|D.若a-b=0,则a与b是相反向量【解析】选C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以A不正确;因为0的方向是任意的,当a=b=0时,B不正确;因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故C正确;因为a-b=0,所以a=b,a与b不是相反向量,故D不正确.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视了0方向的任意性.2.(2016·汉中模拟)已知点D是△ABC的边AB的中点,则向量QUOTE等于()A.-QUOTE+QUOTE B.-QUOTE-QUOTEC.QUOTE-QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=-QUOTE+QUOTE.【加固训练】如图,正六边形ABCDEF中,QUOTE+QUOTE+QUOTE=()A.0B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,故选D.3.(2016·长沙模拟)已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点,若QUOTE=(1+λ)QUOTE-λQUOTE,其中λ∈R,则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式QUOTE=(1+λ)QUOTE-λQUOTE进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点P的位置.【解析】选C.因为QUOTE=(1+λ)QUOTE-λQUOTE,所以QUOTE-QUOTE=λ(QUOTE-QUOTE),所以QUOTE=λQUOTE,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.4.(2016·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【加固训练】1.已知下列结论①已知a是非零向量,λ∈R,则a与λ2a方向相同②已知a是非零向量,λ∈R,则|λa|=λ|a|③若λ∈R,则λa与a共线④若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选B.对于①,当λ=0时,λ2a是零向量,0的方向是任意的,所以①不正确;对于②,λ<0时,结论不成立,即②不正确;对于③,不论λ是否为零,或a是否为0,λa与a都共线,所以③正确;对于④,当a≠0,b=0时,结论不正确.2.(2016·淮南模拟)在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若QUOTE=mQUOTE+nQUOTE(m,n∈R),则QUOTE的值为()A.-2 B.-QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选A.如图.设QUOTE=a,QUOTE=b,则QUOTE=ma+nb,QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTEb-a,由向量QUOTE与QUOTE共线可知存在实数λ,使得QUOTE=λQUOTE,即ma+nb=QUOTEλb-λa,又a与b不共线,则QUOTE所以QUOTE=-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选A.如图,因为E是AD的中点,△EFA∽△BFC,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-QUOTE)=QUOTE(QUOTE-QUOTE)=QUOTE-QUOTE.又因为QUOTE=mQUOTE+nQUOTE,QUOTE与QUOTE不共线,所以m=QUOTE,n=-QUOTE,QUOTE=-2.5.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5QUOTE=QUOTE+3QUOTE,则△ABM与△ABC的面积比为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题提示】只要结合图形,明确DM与DC之比即可,故利用已知转化为QUOTE与QUOTE之间的关系.【解析】选C.如图,由5QUOTE=QUOTE+3QUOTE得2QUOTE=2QUOTE+3QUOTE-3QUOTE,即2(QUOTE-QUOTE)=3(QUOTE-QUOTE),即2QUOTE=3QUOTE,故QUOTE=QUOTE,故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5,故S△ABM∶S△ABC=3∶5.【加固训练】设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且QUOTE+QUOTE+2QUOTE=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选B.因为D为AB的中点,则QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE),又QUOTE+QUOTE+2QUOTE=0,所以QUOTE=-QUOTE,所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,所以S△AOC=QUOTES△ADC=QUOTES△ABC,则QUOTE=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·郑州模拟)在▱ABCD中,QUOTE=a,QUOTE=b,3QUOTE=QUOTE,M为BC的中点,则QUOTE=.(用a,b表示)【解析】如图所示.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTEb-QUOTEa-QUOTEb=-QUOTEa-QUOTEb.答案:-QUOTEa-QUOTEb【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】在△ABC中,QUOTE=c,QUOTE=b,若点D满足QUOTE=2QUOTE,则QUOTE=.【解析】如图,因为在△ABC中,QUOTE=c,QUOTE=b,且点D满足QUOTE=2QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2(QUOTE+QUOTE),QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTEb+QUOTEc.答案:QUOTEb+QUOTEc7.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足QUOTE+QUOTE+QUOTE=0,QUOTE=λQUOTE,则实数λ的值为.【解析】如图,由QUOTE+QUOTE+QUOTE=0,得QUOTE=QUOTE+QUOTE,因为QUOTE=λQUOTE,D是BC边的中点,所以QUOTE+QUOTE=2QUOTE,QUOTE=2QUOTE,QUOTE=-2QUOTE,故λ=-2.答案:-28.在△ABC中,已知D是AB边上一点,QUOTE=QUOTE+λQUOTE,则实数λ=.【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,连接CD,则QUOTE=QUOTE+QUOTE.因为QUOTE=QUOTE+λQUOTE,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=λQUOTE.由△ADE∽△ABC,得QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故λ=QUOTE.答案:QUOTE【一题多解】解答本题还可用如下解法:如图,设QUOTE=xQUOTE,因为QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以QUOTE=x(QUOTE-QUOTE),QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+x(QUOTE-QUOTE)=xQUOTE+(1-x)QUOTE,又因为QUOTE=QUOTE+λQUOTE,所以QUOTE+λQUOTE=xQUOTE+(1-x)QUOTE.因为QUOTE与QUOTE不共线,所以QUOTE即λ=QUOTE.答案:QUOTE(20分钟40分)1.(5分)(2016·太原模拟)在△ABC中,N是AC边上一点,且QUOTE=QUOTE,P是BN上的一点,若QUOTE=mQUOTE+QUOTE,则实数m的值为()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.3【解析】选B.如图所示.设QUOTE=λQUOTE,则QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+λQUOTE=QUOTE+λ(QUOTE-QUOTE)=QUOTE+λ(QUOTE-QUOTE)=(1-λ)QUOTE+QUOTE,因为QUOTE=QUOTE,所以λ=QUOTE,所以1-λ=QUOTE,所以m=QUOTE.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.如图,因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=mQUOTE+QUOTE=mQUOTE+QUOTE,因为B,P,N三点共线,所以m+QUOTE=1,所以m=QUOTE.2.(5分)O是△ABC所在平面外一点且满足QUOTE=QUOTE+λ(QUOTE+QUOTE),λ为实数,则动点P的轨迹必经过△ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确QUOTE与QUOTE是QUOTE,QUOTE方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为QUOTE与QUOTE+QUOTE共线后可解.【解析】选B.如图,设QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,已知QUOTE,QUOTE均为单位向量,故▱AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,由QUOTE=QUOTE+λQUOTE得QUOTE=λQUOTE,又QUOTE与QUOTE有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在∠BAC的平分线上,故动点P的轨迹经过△ABC的内心.【加固训练】已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE+2QUOTE),则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】选B.设AB的中点为M,则QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE(QUOTE+2QUOTE)=QUOTE+QUOTE,即3QUOTE=QUOTE+2QUOTE,也就是QUOTE=2QUOTE,又QUOTE与QUOTE有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.3.(5分)已知点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且QUOTE=a,QUOTE=b,给出下列命题:①QUOTE=QUOTEa-b;②QUOTE=a+QUOTEb;③QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb;④QUOTE+QUOTE+QUOTE=0.其中正确命题的序号为.【解析】QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=QUOTE+QUOTE=-QUOTEa-b,故①错;QUOTE=QUOTE+QUOTE=a+QUOTEb,故②正确;QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE(-a+b)=-QUOTEa+QUOTEb,故③正确;QUOTE+QUOTE+QUOTE=-b-QUOTEa+a+QUOTEb+QUOTEb-QUOTEa=0.故④正确.答案:②③④4.(12分)已知a,b不共线,QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,QUOTE=d,QUOTE=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.【解析】由题设知,QUOTE=d-c=2b-3a,QUOTE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得QUOTE=kQUOTE,即(t-3)a+t