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文档简介

习题课一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法第四章积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分一、主要内容1、原函数定义原函数存在定理即：连续函数一定有原函数．2、不定积分(1)定义(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(3)不定积分的性质3、基本积分表是常数)一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)3.分部积分法使用原则:1)由易求出v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为计算格式:列表计算多次分部积分的规律快速计算表格:特别:

当

u为n

次多项式时,计算大为简便.5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.常见类型:6、第二类换元法第二类换元公式常用代换:7、分部积分法分部积分公式8.选择u的有效方法:LIATE选择法L----对数函数；I----反三角函数；A----代数函数；T----三角函数；E----指数函数；

哪个在前哪个选作u.9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的待定系数法四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式令（2）三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为（3）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如

,二、典型例题(1)例1例2.

求例3例4.

求例5例6.

求例7.

求例8.求二、典型例题例1解例2.

求解:原式例3解另解：例4.

求解:原式分部积分分部积分另解：例5解(倒代换)例6.

求解:

令则原式例7.

求解:原式分析:例8.

求解:二、典型例题(2)例9.

求例11.

设证明递推公式:例10.

求例12.设为的原函数,且求例13.

求例14.及例9.

求解:取说明:

此法特别适用于如下类型的积分:例10.

求解:设则因连续,得记作得利用

例11.

设证:证明递推公式:例12.设解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又例13.

求解:

令比较同类项系数,故∴原式说明:

此技巧适用于形为的积分.例14.解：因为及二、典型例题(3)例15.求不定积分例16.例17.

求(n

为自然数)例18例19例20例21例22.

设求积分例15.求不定积分解:

原式例16.解:I=例17.

求解:(n

为自然数

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