2014级高数下ch5 4 5平面直线

一、平面的点法式方程

第四节平面二、平面的一般方程三、两平面的夹角四、小结

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知

一、平面的点法式方程

第四节平面(唯一?)设平面上的任一点为必有平面的点法式方程Ⅰ

平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知点必有

平面的点法式方程Ⅰ其中法向量已知点例1通过的平面方程是且垂直于向量的平面

的方程.例2.求过三点即解:取该平面

的法向量为利用点法式得平面

的方程由平面的点法式方程平面的一般方程Ⅱ法向量二、平面的一般方程(三元一次方程)取法向量化简得所求平面方程为解设已知两平面法向量为结论:

若所求法向量n,满足则可取设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解代入所设方程平面的截距式方程Ⅲ得平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；轴；平面平行于轴；(过原点)(x取任意)(不过原点)平面通过平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.(x,y取任意)面；平面即为类似地可讨论情形.例4:

下列平面方程中，方程[]过y轴；C观察下列平面(1)2x-y-z=0;(2)-x+3y+6=0;(3)3z-7=0.两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.定义（通常不取钝角）三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//相交(垂直),平行(重合)与重合

例7

研究以下各组里两平面的位置关系：解:∴两平面相交，夹角两平面平行两平面重合.设平面为由所求平面与已知平面平行得解化简得令代入体积式所求平面方程为解点到平面距离公式

则

例8设

是平面

外一点，求M到平面的距离.

平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结6第五节直线一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、直线与平面问题的例题

六、小结定义空间直线可看成两平面的交线．一、空间直线的一般方程

第五节直线为空间直线的一般方程Ⅰ称二、空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．(方向向量不唯一！)故有

由直线的对称式方程故有

由称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)Ⅱ直线的一组方向数☆解∴取所求直线方程说明:1.

若

m,n,p中有某个数为零,则对称式方程应理解为一般方程

.若

m=0,则L

应理解为：若

m=n=0,则L

应理解为：直线的对称式方程令直线的参数方程Ⅲ

2.空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程可以互化.(t

R)例2

用对称式方程及参数方程表示直线解题思路:先找直线任上一点;再找直线的方向向量.解:因所求直线与两平面的法向量都垂直取则直线方程为参数方程结论:

若所求方向向量s,满足则可取解所以交点为取所求直线方程1.定义两直线的方向向量的夹角称之.三、两直线的夹角直线直线^两直线的夹角公式（通常不取钝角）直线与直线注意：//2.两直线的位置关系：(与是否共面无关！)(两直线共面的条件?)注:

两直线共面的条件:2、两直线的位置关系：//满足：(3)L1与L2重合(有公共点)直线直线例2关系？解则所求直线的方程3.例题解

先作一过点M且与L1垂直的平面再求已知直线L1与该平面的交点N,令（类似书P35例6

）得,交点取所求直线的方向向量为，所求直线方程为直线l和平面∏的法线之间的夹角θ的余角

称为直线与平面的夹角．∵θ为直线l与法线的交角,四、直线与平面的夹角1.定义直线与平面的夹角正弦公式θl不取钝角（

通常不取钝角）解为所求夹角．2.直线与平面的位置关系的位置关系是()A．垂直B．平行但不相交C．直线在平面上D．相交但不平行B例3

直线与平面C满足：相交(垂直),平行(重合)(有公共点)(相反关系)1.点到直线的距离

则

LM0M1ds(作业:P6三证明)五、直线与平面问题的例题

过一条直线的平面有无穷多个，过该直线的平面的全体叫做平面束.可设平面束方程为：

其中

为任意常数.2、平面束方程，直线在平面上的投影

问:平面束方程解∵过点M∴所求的平面方程为例2解l’∏’l’为投影直线(作一个过l且垂直的π的平面π’，l’=π∩π’)所求投影直线方程为空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结过直线的平面束方程8

(作业P6

二5)课外参考:

一些特殊点的求法

技巧1、直线与平面的交点

2、求一点P0在平面

上的投影点方法：3、求一点P0关于平面

的对称点方法：

(如作业本P5

一7)(投影点)4、求一点P0在直线

L

上的投影点方法：求直线外一点M到直线L的距离的方法Ⅱ先求出点

M在直线

L上的投影点

P,则

d(M，P)即为所求.

MM0ds方法Ⅰ

5、求一点P0关于直线L的对称点求一点关于直线的对称点的方法：step1