物理竞赛热学气体动理论-固体-液体-物态变化

12－1物质的微观模型统计规律性

物质结构的微观模型：1、宏观物体是由大量微观粒子—分子〔或原子〕组成的，分子之间有空隙；2、分子在不停地作无规那么的运动，其剧烈程度与温度有关；3、分子之间存在相互作用力。这些观点就是气体动理论的根本出发点。统计物理学的任务就是从上述物质分子运动论的根本观点出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性质。一、分子的线度与间隙在标准状态下，气体分子间的距离约为分子直径的10倍，于是每个分子所占有的体积约为分子本身的体积的1000倍。因而气体分子可看成是大小可以忽略不计的质点。气体分子的间距很大，因而很容易压缩；液体和固体分子间也有空隙，如：50升水＋50升酒精＝97升溶液；在2万个大气压下，液体也会从钢管壁上渗出等等。二、分子热运动分子热运动的根本特征是分子的永恒运动和频繁的相互碰撞。分子热运动具有混乱性和无序性。分子无规那么运动的剧烈程度与温度有关。三、分子力分子之间同时存在吸引力和排斥力。实验证明当分子间距较大时，存在的引力很小，随着间距的减小，引力逐渐加强，当r＝r0时，分子力为零，称r0为平衡位置。r＜r0分子力表现在排斥力，r＞r0分子力表现在吸引力，当r＞10r0时，分子力可以忽略不计。分子间彼此趋近到分子的直径d时，分子将在强大的斥力作用下被排斥开，类似小球间“弹性碰撞〞过程。d的平均值称为分子有效直径，数量级约为10-10m。12－2理想气体的压强公式温度的微观实质

一、理想气体分子的微观模型和统计假设1．理想气体分子的微观模型〔1〕由于气体分子间距较大，分子的大小可以忽略不计，即可把分子视为质点。〔2〕气体分子间的相互作用力很弱，可忽略不计。即认为除碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容器壁之间都没有相互作用力。〔3〕分子之间以及分子与器壁之间的碰撞可视为完全弹性碰撞。2．统计假设〔1〕容器中各处的分子数密度相同。〔2〕分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势，即分子向各个方向运动的几率均等。在任一时刻，朝着直角坐标系的x、－x、y、－y、z和－z轴各个方向运动的分子数应相等，并且都等于总分子数的1/6。〔3〕分子速度在各个方向上的分量的各种统计平均值相等。如：压强的产生:分子与器壁的碰撞示意如图，单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。大量分子的碰撞造成对器壁的压力是一个持续的平均作用力。想想急雨中撑起雨伞的沉重。二、理想气体的压强公式第一步：计算一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用：冲量=2mvx第二步：计算每秒一个分子碰撞器壁的次数为：vx/2lx分子间碰撞所产生的影响由于统计平均将彼此抵消。lxlzly第三步：计算一个分子给器壁的作用力：第四步：计算N个分子给器壁的平均冲力：该面所受压强分子向各方向运动时机均等压强的物理意义

统计关系式宏观可测量量微观量的统计平均值分子平均平动动能压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果.三、温度的微观本质1．温度公式由理想气体状态方程得比较上两式可得它从微观意义上给出了温度的实质，即温度说明了物体内局部子无规那么热运动的剧烈程度。2．气体分子的方均根速率由上式得二、单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数ΔSabcxyz012-3气体分子速率分布定律玻耳兹曼分布

一个分子在某一时刻的速度完全是随机的，但是这并不是说气体分子的运动速度就无规律可循。实验说明，在一定条件下，大量分子的整体的速度分布服从统计规律。一、速率分布函数与平均速率气体分子速率允许取值范围为：0→∞，为讨论分子速率分布，选一速率小区间vv+dv，此小区间内的分子数为dN，总分子数为N，那么dN/N表示这一速率小区间内的分子数占总分子数的比率，也可认为是一个分子其速率正好处在上述速率小区间内的概率。随着速率小区间的不同，相应的比率dN/N是不同的。一方面它与速率v有关，可用函数f(v)表示；另一方面，它与区间的宽度dv成正比。于是有改写成称为气体分子的速率分布函数。它表示速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率或者是一个分子其速率正好处在v附近单位速率间隔内的概率。积分可以求出速率范围在v1－v2内分子数占总分子数的比率为归一化条件平均值二、麦克斯韦速率分布早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设导出了麦克斯韦速率分布，其表达式如下：其中T是气体的热力学温度，m是每个分子的质量，k为玻尔兹曼常量.关于麦克斯韦分布说明几点：〔1〕麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。〔2〕在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有确定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质量及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于图。同一温度下不同气体的速率分布N2分子在不同温度下的速率分布三、气体分子的三种速率1．最概然速率与曲线最大值对应的速率vp称为最概然速率。它表示一个分子速率取vp的概率最大。

从极值条件可得2．平均速率3．方均根速率因此有12－4能量均分定理理想气体的内能

一、自由度在物理学中，决定一个物体的位置所需要的独立坐标数，称为物体的自由度数。如，在三维空间中自由运动的质点，必须用X、Y、Z三个坐标来表示其位置，因而自由度为3；在水面上航行的小船，只需2个坐标就可表示其位置，自由度为2；沿铁轨前进的火车的自由度仅为1。分子运动的自由度单原子分子:3个平动自由度双原子分子(刚性):3个平动，2个转动自由度多原子分子〔刚性〕:3个平动，3个转动自由度二、能量按自由度均分定理由前知一个分子的平均平动动能为而平衡态下因而分子的每一个平动自由度的平均动能都为按照统计力学的根本原理，可将上述结论推广到分子的转动和振动，因为无论是平动、转动还是振动，都没有哪一个自由度是特别优越的，或者说跟任何一个自由度相对应的运动出现的时机都是均等的。可由此推出一个普遍的定理——能量按自由度均分定理:在温度为T的平衡态下，气体分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于如果某种物质分子有i个自由度，那么分子的平均总动能为三、理想气体的内能理想气体，因不考虑分子间的相互作用，其内能只是所有分子的各种形式的动能的总和。所以1摩尔理想气体的内能为对于摩尔质量为M的m千克理想气体，其内能那么为液体的外表现象在液体外表上会产生一些与液体内部不同的性质。外表张力是作用于液体外表上的使液面具有收缩倾向的一种力。液体外表单位长度上的外表张力称为外表张力系数，以σ表示。当外力F在等温条件下拉伸铁丝(见图)以扩大肥皂膜的外表积ΔS时,力F作的功为ΔW=FΔx因为F=2σL,ΔS=2LΔx故ΔW=σΔS例：在一大水杯的水中，有一半径为R的大油滴，现将此大油滴打散成多个半径均为r的小油滴，问此过程要做多少功？油和水的外表张力系数为σ解：设最后大油滴被打散成N个半径均为r的小油滴油滴外表积增加做功实验发现，液体的外表张力系数与液体的外表积的大小无关，而仅是温度的函数。外表张力系数随温度的升高而降低。其中σ0是t=0℃时的外表张力系数；t′是比该液体的临界温度tc低几度的温度，它是一常数；n也是一常数，其数值在1与2之间.显然，当t接近临界温度tc时，σ己变为零。这是因为处于临界点状态的液体，其气与液的差异已趋于消失。杂质存在对σ会有影响。能使σ变小的物质称为外表活性物质(肥皂、洗衣粉、洗衣液；洗发露，沐浴露等就是最常见的能使水的外表张力系数变小的外表活性物质)。弯曲液面附加压强很多液体外表都呈曲面形状，常见的液滴、毛细管中水银外表及肥皂泡的外外表都是凸液面，而水中气泡、毛细管中的水面、肥皂泡的内液面都是凹液面。

由于外表张力存在，致使液面内外存在的压强差称为曲面附加压强。考虑一半径为R的球形液滴，在液滴中取出平面中心角为2的球面圆锥，如下图。球面S边界线上受到其他局部球面的外表张力作用，其方向沿球面切线向外。设dl周界的外表张力为df，由于边界上的df沿OC中心轴对称，因而水平分量df2相互抵消，而垂直分量df1

=df·sin

=σ·dlsin

＝

σ·dl·r/R其合力这一局部曲面的外表张力所产生的附加压强为任一半径为R的凸液面，都作用于球面内的液体一个2σ/R的附加压强。假设是凹液面，那么液体内部压强小于外部压强，附加压强是负的。有不少液面并不呈球形。为了计算由任意弯曲液面的外表张力所产生的附加压强，考虑如下图的一任意的微小曲面。在曲面上任取一点O，过O点作互相垂直的正截面P1和P2。截面与弯曲液面相交而截得圆弧A1B1与圆弧A2B2，设圆弧A1B1及圆弧A2B2的曲率中心分别为C1和C2，所对应的曲率半径分别为R1和R2。可以证明，这样的曲面将产生一方向向下的附加压强p附=σ(1/R1+1/R2)

拉普拉斯公式对于柱形液面，p附=σ/R1润湿与不润湿·毛细现象润湿与不润湿现象是在液体、固体及气体这三者相互接触的外表上所发生的特殊现象。液体自由外表与固体接触外表间的接触角θ.0≤θ＜90°为润湿的情形，90＜θ≤180°为不润湿的情形。习惯把θ=0°时的液面称为完全润湿，θ=180°的液面称为完全不润湿。如：水能润湿(或称浸润)清洁的玻璃但不能润湿涂有油脂的玻璃。水不能润湿荷叶，因而小水滴在荷叶上形成晶莹的球形水珠。

在玻璃上的小水银滴也呈球形，说明水银不能润湿玻璃。毛细现象把毛细玻璃管插入可润湿的水中，可看到管内水面会升高，且毛细管内径越小，水面升得越高；把毛细玻璃管插入不可润湿的水银中，毛细管中水银面就要降低，内径越小，水银面也降得越低，这类现象称为毛细现象。毛细现象是由毛细管中弯曲液面的附加压强引起的。附加压强使图中弯月面下面的A处压强比弯月面上面D点压强低，而D、C、B处的压强都等于大气压强p0所以弯曲液面要升高，一直升到其高度h满足

p0–pA=2σ/R=ρgh为止，其中ρ为液体的密度。毛细管半径r，液面曲率半径R及接触角θ间有R=r/cosθ关系。将它代入上式，可得

植物根须吸收的水及无机质靠毛细管把它们输送到茎、叶上去。而压强和温度在整个相变过程中通常都不变液体沸腾的条件之一是在液体内部或器壁上有足够的气化核的小气泡。

久经煮沸的液体因缺乏气化核，使被加热到沸点以上温度仍不能沸腾，这样的液体称过热液体。对过热液体继续加热，使其温度足够高时，就可使气泡迅速膨胀，甚至发生爆炸，这种现象称为暴沸。利用过热液体显示高能带电粒子运动轨迹的仪器是气泡室(bubblechamber)。气泡室首先由美国科学家格拉泽(D.A.Glaser,1926-)发现，为此他荣获1960年诺贝尔物理奖。美国科学家阿耳瓦雷茨L.W.Alvarez，1911-)，由于他开展了气泡室和数据分析技术，从而发现大量共振态而荣获1968年诺贝尔物理奖。右图是通过等温压缩，使气体液化的曲线。在b点气体开始液化，到d点，液化完成。注意由b到d这液化的过程中温度T0不变，压强〔T0下的饱和汽圧〕也不变。T1T2Tkk改变气体的温度，得到不同的等温压缩线，温度越高，饱和汽圧越大，相变过程越短；当温度为临界温度Tk时，图中水平线缩短到一点k，称为临界点，它是气液不分的状态。k点下方的三角区是气液共存区右图是CO2气体在不同温度下的等温压缩线，其临界温度等于304K；高于304K温度不可能通过等温压缩使气体液化。T1T2Tkk在P－V图上的一条水平线，对应在P－T图上是一点；改变温度，在P－T图上得到不同的点，将这些点连成曲线OK，就是气液相变曲线，气液共存曲线，也是饱和汽圧随温度的变化曲线P饱〔T〕，是沸点随外界压强的变化曲线T沸〔P〕。OKPT液态气态P饱PT沸

TOKPT液态气态LL固态PT溶类似气液相变曲线，可在P－T图上画出固液相变曲线OL，它有两种不同的情形：对溶解时体积增大的，曲线从O点向右侧弯；而溶解时体积减小的，曲线从O点向左侧弯〔如冰溶解成水〕。它也固液共存曲线，是溶点随外界压强的变化曲线T溶〔P〕。冰的溶点随压强的增大而减小冰的溶点随压强的增大而减小：在图示中用细铁丝悬挂一重物来切割一大冰块，结果铁丝、重物落下而冰还是完整的一块，没被切割成两半。可在P－T图上画出固气相变曲线OS。在P－T图上的三条相变曲线称