命题、定理、定义 高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第2章常用逻辑用语2.1命题、定理、定义一、命题定义可判断真假的陈述句叫作命题.【思考】根据命题的定义思考,命题可分为哪几类?提示：一类是判断为真的命题，即真命题；另一类是判断为假的命题，即假命题.(1)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等!(2)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；(3)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；例如：(4)对顶角相等；(5)若x2＝1，则x＝1；(6)若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余.其中语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假.因而它们都是命题.●观察上述命题中的(1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式?观察上述命题中的(1)(3)(5)6)可以发现，这些命题都具有“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式.命题(1)中：p

是“两条平行直线被第三条直线所截”，q是“同位角相等”；命题(3)中：p是“两个三角形的面积相等”，q是“这两个三角形全等”；命题(5)中：p

是“x2＝1”，q

是“x＝1”；等等.例如：数学中，许多命题可表示为“_________________”

或“____________”的形式，其中______叫作命题的条件，________

叫作命题的结论.一般形式如果p，那么q若p，则q

pq例1指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若ab

＝0，则a

＝0；(2)若a＜0，则a＞0；解：p：ab

＝0，q：a＝0.解：p：a＜0，q：∣a∣＞0.(3)如果二次函数y＝x2＋k

的图象经过坐标原点，那么k＝0；(4)如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等.解：p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，q：k＝0.解：p：两个三角形的三边分别对应相等，q：这两个三角形全等.例2将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式：(1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；解：

若一个等腰三角形有一个内角是60°，

则这个三角形是正三角形.(2)对顶角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；解：若两个角是对顶角，则这两个角相等.解：如果一个四边形是平行四边形，

那么这个四边形的对角线互相平分.(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.解：如果一个四边形的对角线互相平分，

那么这个四边形是平行四边形.例3判断下列命题的真假：(1)若a＝b，则a2＝b2；(2)若a2＝b2，则a＝b；解：当a＝b时，显然有a2＝b2.所以，命题为真.解：当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，即由a2＝b2，

不能推出a＝b.所以，命题为假.(3)全等三角形的面积相等；解：由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，

这两个三角形的面积一定相等.所以，命题为真.(4)面积相等的三角形全等.解：如图，直角三角形ABC

与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等.所以，命题为假.二、定理的含义(1)已经被证明为真的命题；(2)可以作为推理的依据而直接使用.三、定义的含义和特点定义对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.例如：“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”.特点用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别.例如：“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(

)

(2)定理都是真命题.(

)(3)命题“当x∈R时，x2是正数”是真命题.(

)✔✔✘命题都是陈述句.定理是已经被证明为真的命题.当x＝0时x2＝0，故此命题是假命题.2.将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果p，那么q”的形式：__________________________________________.

如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0

①④解析：①是真命题；②是假命题，5不能被3整除；③是假命题，例如a＝－1和b＝－2时，ab是正整数，但a，b都是负整数；④是真命题.解析【解题策略】1.将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则.2.命题改写中的注意点若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p

和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式.【跟踪训练】1.下列语句中，是命题的个数是 (

)

①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}⫋N.A.1 B.2 C.3 D.4C解析：①不能判断真假，不是命题；②③④能判断真假，是命题.解析2.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(

)A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形C解析：把命题改写成：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直，由此可知C正确.解析3.将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为：

_____________________________________________.

若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

(1)(2)(4)解析：(1)能判断真假，是命题；(2)能判断真假，是命题；(3)不能判断真假，不是命题；(4)能判断真假，是命题；(5)是疑问句，不是命题.解析5.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)等腰三角形的两个底角相等；命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形,则两个底角相等,真命题.(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；(3)已知x，y

为正整数，当y＝x＋1时y＝3，x＝2.命题可改写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题.命题可改写成：已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题.练习1.写出下列命题的条件和结论：(1)如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；条件是“两个三角形相似”，结论是“这两个三角形的对应角相等”；(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；(3)若a，b都是偶数，则a＋b

是偶数；条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角相等”；条件是“a，b都是偶数”，结论是“a＋b是偶数”；(4)若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；(5)若a＝b，则a2＝ab；条件是“两个实数的积为正数”，结论是“这两个实数的符号相同”；条件是“a＝b”，结论是“a2＝ab”；条件是“q

＞－1”，结论是“方程x2＋2x－q＝0有实数解”“.(6)若q≥－1，则方程x2＋2－q＝0有实数解.2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)绝对值相等的数也相等；(2)矩形的对角线相等；若两个数的绝对值相等，则这两个数相等.若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等.(3)角平分线上的点到角两边的距离相等；(4)两角分别相等的两个三角形相似.若一个点是角平分线上的点，则这个点到这个角两边的距离相等.若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似.3.判断下列命题的真假：(1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；因为三角形的两个角互余，则另外一个角为直角，所以这个三角形是直角三角形.该命题为真命题.(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；因为一个整数的末位数字是0，所以这个数必是5的倍数.故该命题为真命题.(3)等腰三角形的底角相等；(4)矩形的对角线相等.因为这个三角形为等腰三角形，所以这个三角形的底角相等.故该命题为真命题.矩形的对角线相等且互相平分，所以该命题为真命题.习题2.1感受·理解1.写出下列命题的条件与结论：(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形对应的高相等”；(2)如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等;条件是“两个三角形的两边及其夹角分别相等”结论是“这两个三角形全等”；条件是“一个四边形是菱形”，结论是“这个四边形的四边相等”；(4)若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.条件是“两条直线被一组平行线所截”，结论是截得的对应线段成比例”.2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)平行于同一条直线的两条直线平行；在同一平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.(3)两个无理数的和是无理数；(4)乘积为正数的两个数同号；若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数.若两个数的乘积为正数，则这两个数同号.(5)两个奇数的和是偶数；(6)矩形的四个角相等；若两个数均为奇数，则这两个数的和是偶数.若一个四边形是矩形，则这个四边形的四个角相等.(7)等腰三角形的两个底角相等；(8)直径所对的圆周角是直角.若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等.若圆中的一个圆周角是直径所对的圆周角，则这个圆周角是直角.思考·运用3.判断下列命题的真假：(1)若x2＋x－2＝0，则x＝1；∵x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，(1)是假命题.(2)若x∈A∩B，则x∈A∪B；(3)若x＞1，则x2＞1；根据集合的交、并集运算的定义，(2)真命题.∵x＞1，∴x2＞1，(3)真命题

将原点坐标代入函数的解析式，得m＝0，(4)是真命题.

(6)若a＋b＞0，则a2＋b2＞0.∵a

＋b

＞0，a