电路 (第四版) 课件 第3章 电路的基本分析方法

第3章电路的基本分析方法3.1电路的拓扑关系3.2电路KCL和KVL方程的独立性3.3-支路电流法3.4网孔电流法和回路电流法3.5节点电压法

3.1电路的拓扑关系

3.1.1图的初步概念

图(Graph)是节点和支路的集合。在图G中支路用线段(直线段或曲线段)表示,支路和支路的连接点称为节点。在图论中,节点称为顶点,支路称为边。注意:在图的定义中允许独立的节点存在,即没有支路和该节点相连,独立节点也称为孤立节点;在图G中,不允许不和节点相连的支路存在,就是说,任何支路的两端必须落在节点上。

如果移去一个节点,就必须把和该节点相连的所有支路均移去,移去一条支路则不影响和它相连的节点(若将和某一节点相连的所有支路均移去,则该节点就变成了孤立节点)。若一条支路和某节点相连称该支路和该节点相关联,那么和一个节点所连的所有支路称为这些支路和该节点相关联。

例如图3-1所示的图,在图G1中有4个节点、6条支路;图G2中有5个节点和5条支路,节点⑤是孤立节点。如果在图G1中移去节点④,则和它关联的支路(3,5,6)均要移去,这样图G1就变成图G3;如果在图G1中分别移去支路2、3、6(和它们关联的节点不能移去),则图G1就变成了图G4。

图3-1图的概念说明图

图3-2是在图3-1(a)图G1的基础上变换而来的,请判断哪些图是图G1的树,哪些不是,为什么?你能找出G1中剩余的树吗?

图3-2图3-1中G1的衍生图

3.1.2电路模型和图的关系

有了关于图的初步知识以后,接下来学习如何利用图的有关知识帮助我们分析电路。在实现这个目的之前,先研究如何将电路模型转换成对应的图。

在电路模型中,一个二端元件或若干个二端元件串联所形成的分支称为一条支路,两个或两个以上支路的连接点称为节点。只要将电路中的支路用图中的支路表示,电路中的

节点保持不变,这样一个电路模型就可以转换成对应的图。

例如图3-3(a)所示的电路可以转换成图3-3(b)所示的图G。由于R2、R4、R5和受控的电压源u3-均为二端元件,因此可以用不同的支路(2,4,5,3)分别表示它们;uS6和R6串联形成一条支路,所以可用一条支路(6)表示;R1和iS1并联也可以用一条支路(1)表示,因为利用电源变换可以将其变换成电压源和电阻的串联形式,所以有伴的电流源可以转换成一条支路。可见,转换后的图G有4个节点、6条支路。要说明的是,由一个完整的电路所转换成的图G均是连通的。

图3-3-电路模型到图的例子

分析电路的目的是(最多)求出电路中所有支路上的电压和电流。有了电路的图G以后,对于图G可以设出每条支路的电压和电流,并标出它们的参考方向,则图G就变成有向图。上例中图G的有向图如图3-3(c)所示。有向图中每条支路上的方向既表示该支路电压的参考方向又表示电流的参考方向,并且电压和电流的参考方向均是关联的。

有了电路的有向图以后,就可以列出图中所有节点上的KCL方程和所有回路的KVL方程。

3.2电路KCL和KVL方程的独立性

3.2.1电路KCL方程的独立性对图3-3(c)所示有向图中的节点①、②、③、④分别列出KCL方程为

对于有n个节点b条支路的有向图而言,KCL方程的独立个数为n-1个。这是因为,n个节点的所有KCL方程之和为

可见,这n个KCL方程是非独立的(线性相关),原因是支路电流ij(j=1,2,…,b)作为正负在所有的方程中各出现一次。

3.2.2电路KVL方程的独立性

由上一节知,一个有n个节点、b条支路的连通图G,其中的基本回路或独立回路的个数为b-(n-1)。对于有n个节点、b条支路的有向图或电路,任何树的树支数是n-1个,连支数是b-(n-1)个。如果所有回路均是单连支回路,并且和所有连支一一对应,则这些回路就是基本回路,基本回路是彼此独立的,则基本回路对应的KVL方程相互之间是独立的。另一种解释是,因为一个基本回路中仅含一条连支,所以连支电压在各自的KVL方程中均是新变量,它不同于其他方程中的所有变量,所以基本回路的KVL方程彼此之间是独立的。设独立方程数的个数为l,则它等于连支数的个数,即l=b-(n-1)。

对于一个有n个节点、b条支路的电路,设独立回路数为l=b-(n-1),则

该式说明,将l个独立的KVL方程相加,其结果必不等于零。可以证明,若电路中任意数目的回路数g>l,上面求和(代数和)式中的部分KVL方程相加等于零,则说明这些部分方程之间是非独立的。就是说,当g>l时,g个KVL方程之间不是彼此独立的,所以l是一个具有n个节点b条支路电路的最大线性无关KVL方程的个数。

例如,图3-4是图3-3(c)所示的有向图,设支路1、4、5为树支,则连支为2、3、6支路,这样所有的单连支(独立)回路为(2,1,4)、(3,1,4,5)、(6,5,4)。分别定义它们为回路l1、l2和l3,

设所有回路的绕行方向均为顺时针方向,则KVL方程依次为

再列出回路(2,3,5)的KVL方程为

则上述4个方程是非独立的,因为由式(3-1a)和式(3-1b)中可得出式(3-1d)式。

3.3-支路电流法

分析电路的目的是已知电路求响应,一个电路中最多的响应是所有支路上的电压和电流。对于一个具有n个节点、b条支路的电路,它的全部响应就是b条支路的电流和b条支路的电压,所以总响应(变量)为2b个。

由前面的分析知道,对于一个具有n个节点、b条支路的电路,可以列出n-1个独立的KCL方程和b-(n-1)个独立的KVL方程,两者相加,其个数为b个。对于b条支路,利用每条支路上的VCR,又可以列出b条支路的约束方程,则列出的方程总数为2b个。利用这2b个方程可以求出该电路中2b个响应,所以该方法也称为2b法。

为了减少方程数,先以b条支路电流为未知变量,列出n-1个KCL方程,再用支路电流表示b-(n-1)个KVL方程中的各个电压变量,这样就得到b个关于支路电流的方程,然后再利用每条支路上的VCR求出b条支路上的电压,所以该方法称为支路电流法,简称支路法。

该方法的具体步骤介绍如下。

例如图3-5(a)所示电路,该电路所对应的有向图如图3-5(b)所示,图中节点数n=4,支路数b=6。图3-5支路电流法

最后需说明的是,若某支路由无伴的电压源或电流源构成,无法写出该支路的VCR方程,就无法将该支路的电压用支路电流来表示。对于无伴电压源支路,因为支路电压为已知,所以使问题简单了;对于无伴电流源支路,因为支路电流是已知的,需要设出该支路的电压然后再列方程,这样问题就可以解决了。

3.4网孔电流法和回路电流法

由支路法知道,一个b条支路的电路要列b维方程组。例如图3-5(a)所示电路必须列一个6维方程组。能不能在目的不变的情况下将方程的维数降下来呢?回答是肯定的。

已经知道,一个具有n个节点b条支路的电路,由KCL能列出n-1个独立方程,由KVL能列出b-(n-1)个独立方程。若能设定一种变量只用KCL或者KVL方程,就可以将b维方程组降为n-1或b-(n-1)维方程组。本节的网孔电流法(简称网孔法)和回路电流法(简称回路法)就是只依据KVL间接地求出b条支路电流的方法。网孔法仅适用于平面电路,而回路法既适用于平面电路也适用于非平面电路。下面先介绍平面电路和非平面电路的概念。

就电路所对应的图G而言,如果图G中支路和支路之间(进行变换后)除了节点以外没有交叉点,这样的图称为平面图,所对应的电路称为平面电路,否则称为非平面图或非平面电路。例如图3-6(a)是一个平面图,图3-6(b)是一个非平面图。图3-1中的图G1就是一个平面图。

图3-6平面图和非平面图

3.4.1网孔电流法

对于一个平面电路而言,网孔的个数就等于基本回路的个数,对于较为简单的平面图,网孔和基本回路可以一一对应,而对于复杂电路,网孔的个数等于基本回路的个数(见习题3-3),因此,网孔上的KVL方程是相互独立的。

网孔电流法(网孔法)是以网孔电流im为未知变量的。设平面电路有m个网孔,网孔电流的个数就等于独立回路的个数[m=b-(n-1)],设网孔电流分别为im1、im2、…、imm。网孔电流是一种假想的变量,电路中所有支路电流可以用它们来表示。就是说,它们可以替换形式如式(3-6)中的电流ik,这样KVL方程就变成以网孔电流为变量的方程。为了便于比较,仍然采用图3-5(a)所示的电路,将支路3经电源变换后其结果如图3-7(a)所示,图中uS3=R3iS3,图3-7(b)是它的有向图。

图3-7网孔电流法

如果电路中含有无伴的电流源支路,由于电流源的端电压为未知量,处理方法是设它的端电压为u,这样就多出一个电压变量,由于无伴电流源的电流为已知,可以增加一个电流方程(或电流约束)。

根据上述,并设电路有m个网孔,网孔法的具体步骤可归纳如下。

例3-1电路如图3-8所示,根据网孔法求电路中的电流i2,i3。图3-8例3-1图

再根据KCL,有

用所计算的结果进行检验,例如在第2个网孔中根据KVL有

可见答案是正确的。

3.4.2回路电流法

网孔法只适用于平面电路,而回路电流法(回路法)既适用于平面电路也适用于非平面电路。对于任意电路所对应的图而言,当选定树以后,由单连支确定的回路是基本回路,根据基本回路可以列出其KVL方程。

回路法是以回路电流il为未知变量,变量的个数等于基本回路的个数[l=b-(n-1)],即回路电流分别为il1、il2、…、ill。和网孔电流相同,回路电流也是一种假想电流,而每个支路上的电流同样可以用这些假想的电流来表示。例如在图3-9所示的有向图中,选树为支路4,2,3,则连支为支路1、5、6,对应的基本回路如图3-9所示。

图3-9回路电流和支路电流的关系

设回路电流分别为il1、il2和il3,由图3-9知回路电流等于对应的连支电流,其参考方向和连支电流的参考方向相同,即i1=il1、i5=il2、i6=il3,根据KCL,有

可见,所有支路电流均可以用假设的回路电流表示。

例3-2电路如图3-10(a)所示,列出回路方程。图3-10例3-2图

例3-3-电路如图3-11(a)所示,列出回路方程并整理。图3-11例3-3图

3.5节点电压法

例如图3-12(a)所示电路,图3-12(b)是对应的有向图。

图3-12节点电压法

例3-4电路如图3-13所示,列出该电路的节点电压方程。图3-13-例3-4图

解选节点③为参考点,设节点①、②的节点电压分别为un1、un2,将电阻写成电导的形式,直接列出节点电压方程,即

值得注意的是,电阻R1没有被计入节点①的自导中,原因是节点电压方程实质上是KCL方程,和电流源串联的电阻R1不会影响该支路电流的大小,所以也不会影响节点①的KCL方程,因此在列写节点电压方程时,要注意和电流源串联的电阻(或电导)不需要被计入。受控的电流源也是如此。

如果电路中含有无伴的电压源支路,因为电压源的电流为未知量,处理方法是设出它的电流i,这样就多出一个电流变量,由于已知无伴电压源的电压,可以增加一个电压方程(或电压约束)。另外,对于电路中的受控源,将其先按独立源对待列方程,然后将控制量用节点电压变量表示,整理方程即可。

例3-5电路如图3-14所示,试用节点法求图中的电压u。图3-14例3-5图

例3-6电路如图3-15所示,试列出电路的节点电压方程。图3-15例3-6图

本章讨论了电路分析的基本方法,KCL和KVL是分析电路的基础,对于一个具有n个节点b条支路的电路,可以列出n-1个独立的KCL方程和b-(n-1)个的独立的KVL方程。由此得出分析电路的基本分析方法,即支路法、回路法(含网孔法)和节点法。利用支路法可以求出给定电路所有支路的支路电流,进而可以求出所有支路的电压;利用回路法(或网孔法)可以求出所有独立回路(或网孔)的电流,从而可以间接地求出所有支路的电