重积分的应用

第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用

第九章1精选课件1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束2精选课件一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面那么其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束3精选课件任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xoy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面机动目录上页下页返回结束4精选课件例2.求半径为a

的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为那么立体体积为机动目录上页下页返回结束5精选课件二、曲面的面积设光滑曲面那么面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)那么机动目录上页下页返回结束6精选课件故有曲面面积公式假设光滑曲面方程为那么有即机动目录上页下页返回结束7精选课件假设光滑曲面方程为假设光滑曲面方程为隐式那么那么有且机动目录上页下页返回结束8精选课件例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为那么出的面积A.机动目录上页下页返回结束9精选课件例4.计算半径为a的球的外表积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.机动目录上页下页返回结束10精选课件三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数那么公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限〞可导出其质心机动目录上页下页返回结束11精选课件将

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束12精选课件同理可得那么得形心坐标：机动目录上页下页返回结束13精选课件假设物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:那么它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩机动目录上页下页返回结束14精选课件例5.求位于两圆和的质心.

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束15精选课件例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为

h

的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z

轴上，采用柱坐标,那么炉壁方程为因此故自重,求它的质心.假设炉不计炉体的其坐标为机动目录上页下页返回结束16精选课件机动目录上页下页返回结束17精选课件四、物体的转动惯量设物体占有空间区域

,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束18精选课件类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束19精选课件如果物体是平面薄片,面密度为那么转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束20精选课件例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动目录上页下页返回结束21精选课件解:

取球心为原点,z轴为l

轴,那么球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束22精选课件

G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域

,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束23精选课件对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动目录上页下页返回结束24精选课件例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动目录上页下页返回结束25精选课件例10.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:

利用对称性知引力分量点机动目录上页下页返回结束26精选课件为球的质量机动目录上页下页返回结束27精选课件作业P96

7，10,17P116

1，3，6,11,13,14习题课目录上页下页返回结束28精选课件(t

为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm

的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)机动目录上页下页返回结束备用题29