块体弹簧元法在水垫塘反拱底板稳定性分析中的应用

块体弹簧元法在水垫塘反拱底板稳定性分析中的应用

在河谷地区修建的高坝，如二郎、西湾、小湾、构皮滩、拉西瓦、锦屏等，采用水库和深孔联合排水的配置形式，水库后面配置了两座水库，形成了一个水贷款池，下水泵的能量集中在贷款池中的消减带上。泄洪水流落入下游水垫塘后,具有相当大的动能,产生巨大的时均和脉动荷载。为了增加水垫塘的整体抗冲能力,常需要对水垫塘进行全面的混凝土衬砌防护。水垫塘的混凝土底板衬砌防护形式主要有两种:其一是梯形复式断面水垫塘防护型式,其二是反拱形水垫塘防护型式。根据已有研究成果,反拱形底板的稳定性大大优于平底板,在相同运行工况下,反拱形底板安全系数可达平底板2～3倍,表明反拱形底板是解决高拱坝大流量泄洪消能问题的有效措施。反拱底板是一个拱壳形结构,因考虑施工、温度、不均匀沉降等,每隔10m～20m设横、纵缝,在随机动水荷载作用下可能形成“随机拱”结构。底板块和块之间并非是连续的整体,而是靠压力和摩擦力来保证其整体性的,因而,整个拱圈并非结构力学上的拱。尽管国内外学者对反拱底板的稳定性是进行了一系列的研究,提出了一些判断失稳的条件,但在处理反拱底板的结构形式时,这些研究大都将底板近似视为三铰拱,二铰拱或无铰拱。而这些力学模型不能很好地反映反拱底板的受力特点和失稳机制,不能精确分析反拱形底板板块\_锚固\_拱端\_动水荷载的相互作用机制,因而急需找到一种能够全面反映水垫塘反拱底板受力特点和失稳机制有效的数学模型。本文首次建立用于分析水垫塘反拱底板稳定的块体弹簧元的数学模型,以便为工程设计提供更科学的依据。1成为“上抬”的“拱座”反拱底板的破坏形式包括两种:其一是反拱底板的整体失稳——当反拱底板在水动力荷载作用形成整体上抬时,整体上举力超过“拱座”的抗力时产生的失稳,如图1a所示;其二是反拱底板的局部失稳——当反拱底板在随机水动力荷载作用下,部分块体“上抬”、部分块体“下压”,“下压”的块体成为“上抬”的“拱座”,即块与块之间形成“随机拱”,如图1b所示。当块体A承受的上举力超过相邻块体提供“拱座”抗力作用,形成局部失稳。在随机荷载作用下,反拱底板块体间可能在不同时刻互为“拱座”,块体的稳定主要依靠块体的自重、摩擦力、锚固力。平底板的锚固力只能为自身块体提供抗“上抬”的作用,而反拱底板的锚固力不但能为自身块体提供抗“上抬”的作用,还能通过“抗剪”作用为邻块体提供“拱座”抗力。按照结构力学中拱结构的形式对其进行稳定分析,即便只是计算拱端推力,也是不精确的。而精确分析解决反拱底板块体之间,块体与基岩之间,整个底板与拱座之间复杂的作用,结构力学中拱结构形式是无能为力。前人曾用有限元对反拱底板进行过分析,但是,有限元适用的是内力和位移连续的结构体,而由于板块体间缝隙的存在,整个拱圈不是一个内力和位移连续的整体,而是一种块体系。块体弹簧元这种非连续介质数值方法就适用于分析这种结构体系。2弹簧刚度的计算方法块体弹簧元的基本构思是将离散的块体单元的变形累积反映在单元交界面上设置的弹簧上,由于块体元的变形已经用弹簧变形表示,故其位移呈刚性位移模式,而弹簧的变形由相临单元相对位移的差分格式解得。该模型采用虚功原理为理论依据,建立整体支配方程,从而获得各块体(形心)的位移,单元交界面的相对位移和接触力(弹簧力)。本力学模型可描述不连续位移,单元可为任何形状,适用性强,应力精度不低于相对位移精度。建立数值模型的基本思想类似于有限元,即将结构物视为由有限个划分的块体组成的整体,以块体的位移作为基本未知量进行求解。本模型的基本过程也类似有限元,步骤如下:即用结构上存在的缝隙、节理、软弱层等使结构非连续化的几何条件将结构划分为块体,也可人为划分。块体和块体之间根据接触方式的不同在边界上设置不同的弹簧,弹簧就类似于有限元中的节点,弹簧连接相临的块体。结构离散化时,划分单元的大小和数目一要根据结构上实际情况,也要根据计算精度的要求来决定。即导出单元间接触力和单元位移的关系。这一步骤与有限元不同。有限元中导出的是单元的结点位移和结点力之间的关系,这种关系是一个单元内部的关系。而弹簧元块体上的接触力不仅与该块体本身的位移有关,还与所有与其接触的所有块体的位移有关。按照静力等效原则将块上的接触力简化到块的中心,可以得出一个块体类单元刚度矩阵。将各个块体组成的块体系进行整体分析。其目的是导出整个块体系位移与接触力的关系。首先按一定的集成规则,将块体刚度矩阵形成整体刚度矩阵,并将单元等效外荷载,结构的位移边界条件引入到整体平衡方程组中,得出基本未知量—块单元位移列阵,最后计算各个块体的之间的接触力、内力和变形。以下按照上述步骤建立拉西瓦反拱形底板弹簧元数值模型。2.1维接触刚度和位移底板块体系由分缝分隔成的块体组成,块体是刚性的,即块体的变形集中反映在连接块体的弹簧上。见图2,块和块之间由接触面两端假设的法向和剪向弹簧连接,接触刚度由块体物理参数确定;底板与基岩也由法向和剪向弹簧连接,压时接触刚度由地板块和基岩物理参数确定,拉时由锚固钢筋物理参数确定。在二维的情况下,每一个块有三个自由度。在每一个块的中心,只定义有三个位移量,即在块i上定义X轴上的位移Ui,以同X轴方向一致为正;在Y轴上的位移Vi,与Y轴正方向一致为正;转角θi,以逆时针为正。2.2块体的位移i在二维弹簧元体系中,所有的块体由弹簧连接,接触面上的接触力都等效地转移到接触线的两端的接触点处即弹簧所在处。接触刚度就由接触点上的法向和剪向弹簧刚度来确定。块体i上任意一点Q的位移记为ui(Q),vi(Q),块体i中心的位移记为Ui,Vi,θi。Q点的位移{u}i视为由两部分组成:随块的平移产生的位移{u′}i和随块的旋转产生的位移{u″}i,则:{u}i={u′}i+{u″}i(1)块i上的任意一点Q的位移可表示为:{u}i=[B]i{U}i‚(2)其中[B]i=[10-ˉyi01ˉxi];{U}i={UiViθi}‚ˉxi,ˉyi是Q点相对于块i中心的相对坐标。在块i和块j的任意接触点Q,相对位移{Δu}ij={u}j-{u}i=[B]j{U}j-[B]i{U}i=[D]ij{U}ij(3)其中,[D]ij=[-10ˉyi10-ˉyj0-1-ˉxi01ˉxj]{U}ij=[Ui,Vi,θi,Uj,Vj,θj]Τ2.3接触刚度公式有了接触点的相对位移及接触刚度,就可以得出接触点的接触力。接触力包括剪向力和法向力。在块和块的接触点Q,接触力记为:法向力Fn,剪向力Fs,接触力:{Fn}ij={FnFs}=[Κn00Κs]{δ}ij=[Κ]ij[Τ]i[D]ij{U}ij(4)其中,[Κ]ij=[Κn00Κs],Κn,Κs分别是块体间的法向、剪向接触刚度。接触刚度可以使用Kawai的刚度公式。有锚固情况下根据钢筋的材料特性和锚固钢筋面积求接触刚度。{δ}ij=[T]i{Δu}ij=[T]i[D]ij{U}ij,是接触点相对位移在接触面法向和剪向的分量。其中[Τ]i=[cosαisinαi-sinαicosαi]‚αi是接触点法向方向(向外)与x轴正方向所成的角度。再通过[Bi]T[T]Ti将接触力转到块i的中心,除了x轴,y轴上的两个力,又多了一个力矩Mc{Fc}ij=[Bi]Τ[Τ]Τi[Κ]ij[Τ]i[D]ij{U}ij(5)2.4静态平衡状态所有的块体组成的体系在内、外力的共同作用下处于静态的平衡状态。在这里内力指块与块之间的接触力,外力指块体系外部的作用力如重力,动水压力,浮力等。2.4.1阶矩阵法对于块i来说,假设与块j\,块k、块m……等接触,则转至中心的接触力有{Fc}ij,{Fc}ik,{Fc}im\:\:,这些力的和{Fc}i=[Κ]ii{U}i+[Κ]ij{U}j+[Κ]im{U}m+\:(6)其中[K]ii,[K]ij,[K]im都是3×3阶矩阵。从式(6)中可以知道,某一块体上的接触力不仅与其本身的位移有关,而且和与其接触的所有块体的位移有关,本文中称为块单元刚度矩阵。2.4.2z东南角面为硬相的定义{P}i,={Px,Py}T,作用在块i上,把它转至块i的中心,即:{Ρ}i={Ρx,Ρy,Ρz}Τ={B}Τip{Ρ}i{α}p,(7)其中{B}ip类似于式(2)中的[B]i,只不过ˉxi,ˉyi要替换为ˉxiip,ˉyip(力作用点在块i上的相对坐标)。{α}={cosαp,sinαp}T,其中αp是力P与坐标轴所成的角度。所有块上的外力转换到其中心后可以用{P}表示。2.4.3弹簧块单元刚度矩阵一个块体系任意一个块体上受到的接触力都可以由上式转移到其中心。则整个块体系的接触力和整个块体系的位移可以通过整体刚度矩阵对应起来,表示为:ijmijm[⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[Κ]ii⋯[Κ]ij⋯[Κ]im⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[Κ]ji⋯[Κ]jj⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[Κ]mi⋯⋯⋯[Κ]mm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯]{⋯[U]i⋯[U]j⋯[U]m⋯}={⋯[Fc]i⋯[Fc]j⋯[Fc]m⋯}(8)其中:[K]ii,[K]ij,[K]im,[K]ji,[K]jj,[K]mi,[K]mm等都是3×3阶块单元刚度矩阵;[U]i,[U]j,[U]m是3阶块体中心位移列阵。[Fc]i,[Fc]j,[Fc]m是接触力3阶列阵。简记为[Κ]{U}={F}(9)[K]表示弹簧块总刚矩阵,是3N×3N阶矩阵,N是块体系的块的数量。{U}是3N的列阵,由N块的3N个位移量组成。{F}是3N的列阵,由转到块中心的3N个外力分量组成。而{F}={P},从而:[Κ]{U}={Ρ}(10)解式(10),可以得出{U},得出{U}后,由式(4)可以得出任意两个块i\,j在其接触点的{Fn}ij。2.5块体失稳的防止最初假定块体系是线弹性的,在外力{P}的作用下处于平衡状态。块体之间的接触力按前面所述求出。如果有块体失稳(由块体的接触状态决定,比如该块体和其它块体只有一个接触点),则块体系失稳。如果没有块体失稳,则判断接触力:如果求得的法向接触力为负值(拉力),则该点处的接触力以零来代替;如果法向接触力不为零,但剪应力大于最大容许剪应力,这种情况下,原来求得的剪应力就要由最大容许剪应力来替代。这样,原有的部分外力没有被平衡掉,需要进行新一轮的计算。首先更新几何条件和接触状态,建立一个新的刚度矩阵。再把未被平衡掉的那部分力加上,同样按前述求接触力后,再判断块体是否需要进行新的一轮计算。当出现不稳定块或未被平衡掉的力小到一定的范围内结束循环。最后块体的位移和接触点的接触力等于历次循环的累积。3拉西瓦反拱底板的稳定计算和分析结果3.1弹性模量法黄河拉西瓦拱坝反拱底板圆心角74.6°,均匀分为7块,板块厚3m,拱圈宽为10m。材料特征:块体浮重:0.0145MN/m3,取弹性模量E=2.5×1010Pa,泊松比μ=0.17,基岩材料特性:弹性模量E=2.2×1010Pa,泊松比μ=0.22。锚固钢筋E=20×1010Pa。3.2无锚固底板检测在水垫塘底板铺设了用加重橡胶制作的底板块,其容重与原型混凝土相同,但弹性模量按重力律缩小,保证模型拱结构的动力相似。水垫塘底板块大小按实际尺寸及分缝固定在模型底板上。为了能真实地反映止水完全破坏的水力条件,各板块间以及板块与模型底板间的缝隙保持在1mm左右。用自制的力传感器和北京东方振动噪声技术研究所研制的DASP大容量数据自动采集和信号处理系统测量了板块的上举力和拱端推力,量测精度为5%。计算时的荷载取实验测得的同步作用在底板上的4096组数据,其荷载过程线见图3。运行程序,结果表明在无锚固情况下底板没有块体失稳。认为单从反拱底板自身稳定性的角度出发,反拱底板无须锚固钢筋。但是,无论是实验值还是计算值,拱端推力值都很大,这样就给拱座部位的处理带来一定的困难。3.3锚固钢筋面积对拱端推力的影响用程序计算了拉西瓦反拱底板在同步实验荷载(共4096组)下的拱端推力值,与实验值做了比较,见表1和图4。(本文中的最大、最小、平均值均指在这4096组荷载作用下的计算值或实验值的统计值)计算值与实验结果吻合良好。对底板加锚固钢筋,计算了不同锚固钢筋面积情况下的拱端推力并做了统计分析,见表2和图5,其中锚固钢筋截面积为每个单个板块(面积为110m2)所加的量,且主要分布在块体的两端。由表2可见,加了0.02m2的锚固钢筋后,拱端推力平均值下降了37%,在此基础上再加0.01m2锚固钢筋后,拱端推力在下降后的基础上又下降了26%。但随着锚固钢筋面积的不断加大,拱端推力值下降速度也随之减缓。从图5中也可形象地看出,随着锚固钢筋面积的增加,拱端推力值曲线趋于平缓。最大值,最小值也有类似的规律。从计算结果看,如果实际工程设计中拱座处理比较困难,可