全站仪测边测角网的条件方程

全站仪测边测角网的条件方程

随着激光测距仪和电子计算机技术的发展，整个网站系统在工程测量中得到广泛使用，并且工程控制网逐渐采用了研究边缘和研究角带的设计方案。边、角网的平差,其方法与三角网的平差方法类似。只是在平差时尚需对边长观测值亦作相应的平差改正。下面分别讨论测边测角网平差时的条件方程式形式、个数等有关问题。1uc+/pcoscuc-c/pcoauab,p,p,p,p,p,p,p,pe5.我们以三角形为基本图形来讨论条件方程式的形式。设在图形中只测量了一条边长及三个内角,则此边长仅作为三角形的起算边长度,平差时只产生一个三内角之和等于180°的条件。在此基础上,每增测一边就会增加一个边长条件。边长条件方程式的形式,为简便起见,大多是采用正弦公式的形式。因此,在三角形中,若总共测量了三条边长及三个内角时,将产生下列3个条件方程式:∠A+∠B+∠C-180°=0a/sinA=b/sinB,或asinB-bsinA=0a/sinA=c/sinC,或asinC-csinA=0}(1)式中:a,b,c为平差后的边长,A,B,C为平差后的角度,写成改正数条件方程式形式为:ua+ub+uc+W1=0sinB′ua-sinA′ub+α/pcosB′ub-b/pcosA′uA+w2=0SinC′ua-sinA′uc+α/pcosC′uc-c/pcosA′uA+w3=0}(2)式中:w1=A′+B′+C′-180°w2=a′sinB′-b′sinA′w3=a′sinC′-c′sinA′}(3)以上各式中A′,B′,C′,a′,b′,c′为角度和边长的观测值;uA,uB,uC,ua,ub,uC为角和边的平差改正数。若在三角形中仅观测了两个内角(如A和B)和三条边长时,则条件方程式中的三内角和等于180°的条件就没了,只剩下两边长条件方程式。其形式为:SinB′ua-sinA′ub+a/pcosB′ub-b/pcosA′ua+w1′=0SinC′ua-sinA′uc-a/pcosC′ub-(c/pcosA′+a/pcosC′)uA+w2=0}(4)式中C=180°-A-B,计算条件方程式系数时,可用观测值A′、B′代人,即:C′=180°-A′-B′.若在图2所示的三角形中只观测了一个内角(如角A)和三条边长时,则只产生一个条件,条件方程式的形式可选择为:由平差后的三条边长算得的角A的值应等于角A的观测值相应的最或然改正数,即:(A计算+uA计算)-(A观测+uA观测)=0(5)或uA计算-uA观测+w=0(6)式中:w=A计算-A观测由三条边的长度a、b、c计算角A可采用余弦公式:a2=b2+c2-2bccosA(7)即:A计算=cos-1b2+c2-a2/2bc(8)为了求得uA计算,微分(7)式得:2ada=2bdb+2cdc-2ccosAdb-2bcosAdc+2bcsinAdA″/p″式中的d为微分符号所以dA″/p″=a′/b′c′sinA′da-(b′c′cosA′)/(b′c′sinA′)db-c′-bcosA′/b′c′sinA′dc(9)因为a/bcsinA′=1/ha(ha为a边上的高)b-ccosA′/bcsinA′=acosC′/bcsinA′=cosC′/hac-bcosA′/bcsinA′=acosB′/bcsinA′=cosB′/ha}(10)用改正数代替式(9)中的微分元素,并将式(10)代入,得uA计算=p″/hAuA-p″cosC′/hAub-p″cosB′/hAuc(11)因此,条件方程式(11)的最后公式为:P″/h2ua-p″cosC′/hAub-p″cosB′/hauC-uA观测+w=0(12)式中角B′和角C′可按正弦公式求得,即SinB′=sinA′/a′b′SinC′=sinA′/a′c′2条件方程的数量测边测角自由三角网中,条件方程式的总数可按下式确定:r=N+S-2n+3式中:n为网中三角点的个数;N为观测角度的个数;S为观测边长的条数。例1:图3多边形中,共观测了15个角和10条边。条件的方程式总数为:r=15+10-12+3=16条件方程式的形式,显然为5个图形条件、一个圆周条件(水平条件)和10个正弦公式形式的边长条件,如:u1+u2+u3+w1=0;u4+u5+u6+w2=0;u7+u8+u9+w3=0;u10+u11+u12+w4=0;u13+u14+u15+w5=0;u3+u8+u9+u12+u15+w6=0.sin1′uS1-sin3′uS2+s1/p″cos1′u1-s2/p″cos3′u8+w7=0sin2′uS2-sin1′uS10+s2/p″cos2′u2-s10/p″cos1′u1+w8=0sin5′uS3-sin6′uS2+s3/p″cos5′u8-s2/p″cos6′u8+w8=0sin4′uS8-sin6′uS4+s8/p″cos4′u4-s4/p″cos6′u6+w10=0-sin9′uS4+sin8′uS8+s8/p″cos8′u8-s1/p″cos9′u8+w11=0sin7′uS6-sin9′uS8+s5/p″cos7′u7-s8/p″cos9′u8+w12=0-sin12′uS8+sin11′uS1+s7/p″cos11′u11-s8/p″cos12′u12+w13=0sin10′uS7-sin12′uS8+s7/p″cos10′u10-s8/p″cos12′u12+w14=0sin15′uS8-sin14′uS8-s9/p″cos14′u14+s8/pcos15′u15+w15=0sin13′uS8-sin14′uS10+s8/p″cos13′u13-s10/p″cos14′u14+w18=0上述条件方程式中闭合差之计算与(1-3)式类似,此处不再列出。例2:图4的大地四边形中,共观测了8个角和6条边。其条件方程式总数应为:r=8+6-8+3=9条件方程式形式为3个图形条件,6个边长条件,如:u1+u2+u4+u7+w1=0;u3+u8+u1+u4+w2=0;u3+u6+u8+u8+w8=0.sin7uS1-sin4uS2+s1/p″-cos7u7-s2/p″cos4u4+w4=0sin(1+2)uS2-sin7uS8+s2/p″cos(1+2)u1+s2/p″cos(1+2)u2-s8/p″cos7u7+w3=0Sin8uS3-sin(5+6)uS4+s3/p″cos8u8-s4/p″cos(5+6)u5-s4/p″cos(5+6)u6+w6=0Sin3uS4-sin8uS8+s4/p″cos3u3-s5/p″cos8u8+w7=0Sin(7+8)uS3-sin2uS8+s8/p″cos(7+8)u7+s8/p″cos(7+8)u8-s8/p″cos2u2+w8=0Sin5uS8-sin(7+8)uS1+s8/p″cos5u8-s1/p″cos(7+8)u8+w8=0其闭合差分别为:w1=1′+2′+4′+7′-180°w2=3′+6′+1′+4′-180°w3=3′+6′+5′+8′-180°w4=S′1sin7′-s′2sin4′w5=S′2sin(1′+2′)-s′3sin7′w6=S′8sin8′-s′4sin(5′-6′)w7=S′4sin3′+s′6sin8′w8=S′3sin(7′+8′)-s′2sin2′w9=S′8sin5′-s′1sin(7′+8′).如果为测边测角的附合网,则网中除产生边角自由网条件外,尚产生强制附合条件,例如网中的某些边,其精度大大高于其余的观测边,或者改边是属于高级网中的已知边,平差时将其视为固定值,不作改正,这时尚需附加边长强制符合条件,其条件数目为网中固定边数目减1。当网中一些边具有起始方位角时,则产生方位角条件,其数目为起始方位角减1.已知点组间的坐标强制符合条件数目也是为点组数减1对(x或y)坐标条件。从上述例中可见,边角网中由于多余测量较多,因此,条件式个数大为增加,内业计算工作量及相应地大为增加。只有在具备全站仪和电算条件下才较适宜如此布网。否则宜增加减少测边的数目,使减少边条件数目,以利减轻计算工作量。3精度评估3.1测角误差的影响平差计算时,需要确定各观测值的权值。边角网中,由于边和角是非同类量,但确定它们的权值仍采用通常的“权与中误差平方成反比”的原则。设边角网中测角的中误差为mβ。现以测角的权为1,即:Pβ=1;测边的权为:PS1=m2β/m2S1。以全站仪测量个边长时,若网中各边长比较短,仪器的固定误差影响为主,比例误差可略去不计,则可认为个边长的测量精度是彼此相等;当边长较长时,仪器除顾及固定误差外,尚需考虑比例误差,则个边的测量精度将随边长而各异,因此,其权将分别为:PS1=m2β/m2S1,PS2=m2β/m2S2,………3.2ur—单位权中误差根据单位权中误差定义有:μ=±√(Ρuu)r当测角权为1,按平差改正数计算测角中误差的公式为:mβ=±√(uβuβ)+(Ρsusus)r3.3长s1