等差数列的前n项和（第一课时）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列4.2.2等差数列的前n项和及应用复习回顾1.等差数列定义：2.等差数列通项公式：

(2)

an＝am＋(n－m)d

.(3)an＝pn＋q

(p、q是常数)(1)

an＝a1＋(n－1)d

(n≥1).an－an－1

＝d

(n≥2)或an+1－an＝d.3.几种计算公差d的方法:4.等差中项m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.5.等差数列的性质

高斯是德国著名的大科学家，他最出名的故事就是在他10岁时，小学老师出了一道算术难题：计算1＋2＋3＋……＋100＝？

创设情景高斯的算法首尾配对相加法···3+982+991+100仿照高斯的运算方法，创设情景计算：1＋

2＋

3＋…＋

(n-1)＋n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②一、数列前n项和的定义:设数列｛an

｝：a1，a2，a3，…，an，…我们把a1＋a2＋

a3＋

…＋

an叫做数列｛an

｝的前n项和，记作Sn

.问题:如何求一般等差数列的前n项和问题分析已知等差数列｛an

｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.①②由①+②，得求和公式等差数列的前n项和的公式：不含d可知三求一含d可知三求一新知探索等差数列的前n项和梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝_________Sn＝_____________新知探索等差数列的前n项和

注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数．例6已知数列{an}是等差数列.典例精析题型一：等差数列基本量的计算例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一由题意知S10＝310，S20＝1220，典例精析题型一：等差数列基本量的计算例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？②－①，得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.典例精析题型二：等差数列前n项和性质典例精析题型二：等差数列前n项和性质典例精析题型二：等差数列前n项和性质典例精析题型三：由Sn与an的关系求an解

根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，典例精析题型三：由Sn与an的关系求an反思与感悟

已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.跟踪练习1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于()A.2300 B.2400 C.2600 D.2500√解析由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，跟踪练习2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()A.2 B.3 C.6 D.7√方法二由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.跟踪练习3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____.190＝19a10

＝19×10＝190.跟踪练习4.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝_______.3(n＋1)解析由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，②①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，∴an＝3(n＋1)(n≥2).又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，∴an＝3(n＋1)，n∈N*.跟踪练习5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A.13 B.35 C.49 D.63√跟踪练习6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27√解析∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.跟踪练习7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为()A.5 B.6 C.7 D.8√又a9>a5，所以d>0，a1<0.跟踪练习8.植树节某班20名同学在一段直线公