事物位置的辨析

事物位置的辨析

事物复杂，但有序。总是根据适当的对应关系找到相关性，确定彼此的位置。如果你能找到量和量之间的对应关系，并合理使用它们，你就会了解问题之间的关系，从而使问题的线索迅速清晰，解决方案的思路更加清晰。可以说，对应关系在数学解决问题中的作用不容低估。本文试图阐明这一事实，并引起大家的注意。1xy+y233x-3y+12人们常习惯于将问题化整为零,分解成若干小部分,然后各个击破,分而治之;但如能扩大视野,将待研究的问题分成几部分后,再分别地看成整体,找出它们间的对应关系,也许能使问题得以较好地解决.例1实数x,y满足x2−2xy+y2−3√x−3√y+12=0x2-2xy+y2-3x-3y+12=0,则xy的最小值是A.12B.4516C.214D.不存在A.12B.4516C.214D.不存在分析将xy与x+y分别看成一个整体,形成一个对应关系,可得:4xy=(x+y)2−3√(x+y)+124xy=(x+y)2-3(x+y)+12,等式右边可看成关于x+y的二次函数,又由已知可得3√(x+y)=(x−y)2+12≥123(x+y)=(x-y)2+12≥12,即x+y≥43√x+y≥43,因而当x+y=43√x+y=43时,4xy的最小值为48,即选答案A.点评本题解答的关键是利用“x+y”与“xy”整体间的对应关系,通过转化成二次函数的最值,使思路得以继续.2根据化产表t,t的含义型示化.换元是一种常用的解题方法,在新变元的情境下,往往能使问题得以简化并解决,不过换元后,新变元与原变元虽形成了一种对应关系,但这种对应关系的背后,会隐含着一定的变化.如忽视之,则会导致解题的错误.例2设函数f(θ)=asin2θ+bcos2θ+2asinθ,其中a,b∈R,且a≠b,a≠0,θ∈[−π2‚π2]a≠b,a≠0,θ∈[-π2‚π2],则f(θ)=0的θ值有A.0个B.1个C.2个D.无法确定分析令sinθ=t,则原方程可化为:(a-b)t2+2at+b=0,判别式=4a2-4ab+4b2>0,从而很多同学将答案误选为C.上述错误在于没有注意到换元前后的对应关系,事实上,t=sinθ∈[-1,1],且在θ∈[−π2,π2]θ∈[-π2,π2]内t与θ值一一对应,令g(t)=(a-b)t2+2at+b,由g(-1)g(1)=-3a2<0,从而方程f(θ)=0在[−π2,π2][-π2,π2]只有1个根,即选答案B.评注本题的关键是要注意新变元的范围发生了变化.例3(05年高考上海卷)设定义域为R的函数f(x)={|lg|x−1||,x≠1,0,x=1.f(x)={|lg|x-1||,x≠1,0,x=1.则关于的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0分析本题很容易将函数代入方程死算,事实上,只要令t=f(x),可将方程f2(x)+bf(x)+c=0与方程t2+bt+c=0相对应;当t1>0时,f(x)=t1有四个实根,而当t2=0,f(x)=t2有三个实根,即方程t2+bt+c=0的一个正根可对应于f(x)=t1的四个实根,方程t2+bt+c=0的一个零根可对应于f(x)=t2的三个实根.因而“关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解”对应于“方程t2+bt+c=0有一个正根与一个零根”,故选答案C.3以三棱柱的点对点构成四面体是一对一、还是一对多或多对一?只有搞清数量间的对应关系,才能使解题结果不会发生偏差.例4(05年高考全国卷Ⅰ)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有A.18对B.24对C.30对D.36对分析每个四面体对应着三对异面直线,这样就将问题转化为“以三棱柱的顶点为顶点可构成多少个四面体?”,而三棱柱可构成的四面体的个数为C4664-3=12,故异面直线有12×3=36对.例5(04年高考湖南卷)从正方体的八个顶点中任取三个顶点作三角形,其中直角三角形的个数是A.56B.52C.48D.40分析正方体的顶点所确定的每一个平面都对应四个直角三角形,而正方体的顶点所确定平面共有12个,故所求的直角三角形个数为48个.例6在平面直角坐标系中,x轴正半轴上有5个点,y轴正半轴上有3个点,将x轴正半轴上这5个点和y轴正半轴这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有A.105个B.35个C.30个D.15个分析x轴正半轴上的任2个点与y轴正半轴上的任2个点可形成一种对应关系,而这4个点又对应着第一象限内的一个交点,故这15条线段在第一象限内的交点最多有C2552C2332=30个.4pmtpf1q当一个问题直接求解一时难以得手时,这时常会寻求与其相对应的模型,从而可转换解题条件,增加解题途径.例7已知双曲线x29−y216=1x29-y216=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一动点,过F1点作∠F1PF2平分线所在直线的垂线,则垂足M的轨迹方程为A.x2+y2=9B.x2+y2=16C.x2-y2=9D.x2-y2=16分析PM既是角平分线又是高,它对应着等腰三角形的数学模型:延长F1M交直线F2P于Q,则△PF1Q为等腰三角形,从而得|OM|=12|QF2|=12||PF2|−|PF1||=3|ΟΜ|=12|QF2|=12||ΡF2|-|ΡF1||=3,即M点轨迹方程为x2+y2=9.例8从集合M={1,2,3,…,10}选出5个数组成的子集,使得这5个数的任两个数之和都不等于11,则这样的子集有A.32个B.48个C.96个D.112个分析集合中的两个数之和等于11的数可形成一种对应关系:(1,10)→(2,9)→(3,8)→(4,7)→(5,6),因而选出5个数中的任两个数之和都不等于11,这5个数应分别从上述的每组数中各取1个,因而所求的子集个数为25,故选答案A.5u3000d.y=f-1x+t分析区间的转化当图象发生平移后,平移前后就产生一种对应关系,搞清平移前后的对应关系是正确解题的必经之路.例9定义在R上的函数f(x)是周期函数,最小正周期为T,若函数y=f(x),x∈(0,T)时有反函数y=f-1(x),x∈D,则函数y=f(x),x∈(T,2T)的反函数为A.y=f-1(x)B.y=f-1(x-T)C.y=f-1(x+T)D.y=f-1(x)+T分析区间(0,T)与(T,2T)是一一对应的,它们之间相差T,要求x∈(T,2T)时f(x)的反函数,需要将区间转化为(0,T).由周期为T得,当x∈(T,2T)时,y=f(x)=f(x-T),此时x-T∈(0,T),从而x-T=f-1(y),x=f-1(y)+T,x,y互换得:函数y=f-1(x)+T,由此得:函数y=f(x),x∈(T,2T)的反函数为y=f-1(x)+T,即选D.例10已知A(1,2),B(4,2),则向量AB−→−AB→按向量a=(-1,3)平移后得到的向量坐标是A.(3,