水平薄板状体组合场源反演

水平薄板状体组合场源反演

5直接复场积分法和复场板状体公式5.1薄板体复磁法5.1.1ts复场积分假设：水平薄板厚度为d，宽度为2b，左端的为1，右端的为2=1，b2，板内变点=1，0l2b。该板复场T(S)相当小水平圆柱体的复场沿水平方向积分(图6)。在(1.4.7)式中,取Μm=DdlΜs,σ0=σ1+l‚(5.1)则水平薄板状体复磁场为Τ(S)=2b∫0μ04π2DΜsdl{S-(σ1+l)}2=μ04π2Μm{1σ1-S-1σ2-S}‚(5.2)Mm=DMs。(5.3)5.1.2倾斜固相色积分板ts设板宽为2b(≪Imσ1)、板长为2L、倾角为β,上端位于σ1,下端位于σ2=σ1+2Leiβ,体内变点σ=σ1+leiβ,0≤l≤2L。该板T(S)也相当于小水平圆柱体的T(S)积分求和(图7)。在(4.7)式中,取Mm=2bsinβdlMs,σ0=σ1+leiβ,(5.4)则倾斜薄板复磁场T(S)为Τ(S)=2L∫0{μ04π4bΜssinβdl[(leiβ+σ1)-S]2}=μ04π2Μm{1σ1-S-1σ2-S}‚(5.5)Μm=2bsinβˆΜe-i(β-Ιs)。(5.6)5.1.3有s计算在(5.5)式中,令σ2→∞,则有Τ(S)=μ04π2Μmσ1-S,Μm=2bsinβˆΜe-i(β-Ιs)。(5.7)5.1.4bn个有限薄膜中间体tn个无限薄板组合体T(S)为Τ(S)=μ04πn∑j=12Μmjσj-S;(5.8)n个有限薄板组合体T(S)为Τ(S)=μ04πn∑j=12Μmj{1σ2j-1-S-1σ2j-S}。(5.9)公式(5.8)和(5.9)将在板状体组合场源反演方法研究中发挥作用。5.2种无限板积分叠加结构如图8,厚板顶面倾角为α、侧面倾角β,顶面斜向宽为2L,左顶角为σ1,右顶角为σ2≈σ1+2Leiα。该板由倾角为β的无限薄板积分叠加而成。在公式(5.7)中,取Μm=dlsin(β-α)ˆΜe-i(β-Ιs),σ=σ1+leiα‚(5.10)则它的复磁场为Τ(S)=2b∫0{μ04π2sin(β-α)ˆΜe-i(β-Ιs)⋅dlσ1+leiα-S}=μ04π2Μmlnσ2-Sσ1-S‚(5.11)Μm=sin(β-α)ˆΜe-i(β+α-Ιs)(5.12)5.3半无限水平层复磁场如图9所示,半无限水平层由倾斜有限薄板水平积分叠加而成。在式(5.5)中,取Μm=dlsinβˆΜe-i(β-Ιs)‚则半无限水平层复磁场为Τ(S)=∞∫0μ04π2sinβˆΜe-i(β-Ιs)⋅{1σ1+l-S-1σ2+l-S}dl=μ04π2Μmlnσ2-Sσ1-S‚(5.13)Μm=sinβˆΜe-i(β-Ιs)。(5.14)半无限水平层常被用来模拟只有一个盘的断层或有限延深接触面。因此,这里的复磁场公式也可以称为断层或有限延深接触面复磁场表达式。6分段积分法和nv方程的复磁机模型6.1复磁场公式当磁性体边界C由n段直线或弧线组成时,将有n个结点σj和n个显式边界函数ˉσj(σ),j=1,2,⋯,n。此时,T(S)的线积分表达式(3.8)变为Τ(S)=μ04π2Μmn∑j=1σj+1∫σjˉσ′(σ)σ-Sdσ‚(6.1)Μm=-i0.5Μs,σn+1=σ1。(6.2)由(6.1)式出发去推导由n段直线组成的n棱柱体复磁场公式非常方便。由该式出发,同样能简便地推导出由n段圆弧或椭圆弧围成的水平柱体的复磁场,甚至还能导出由直线段、圆弧段、椭圆弧段以任何形式组合围成的水平柱体的复磁场理论表达式。所有这些均表明,分段积分法是一种研究复场正演问题的极为有效的方法。6.2模型正反演的应用如图10所示,把直线段的边界函数(3.22)代入(6.1)式,得n棱水平柱体是代表性很强的形体,它能表示的形体很多。例如,半无限水平层、顶面倾斜的无限厚板,可由n棱柱角点取无穷远得到。又如,它还可以模拟向斜构造、背斜构造等。被模拟形体的复磁场可由(6.3)式略加变化而得到,可以说(6.3)式是个万能公式。因此,研究n棱柱体正反演问题有重要意义。T(S)还可以表示为另一种形式:令σj+1-σj=Ljeiβj,则ˉσj+1-ˉσjσj+1-σj=e-i2βj‚(6.5)Τ(S)=μ04π2Μmn∑j=1e-i2βjlnσj+1-Sσj-S。(6.6)该表达式将用于推导无限背斜复场公式。研究反演方法时常用到复场导数T′(S),即Τ′(S)=μ04π2Μmn∑j=1ˉσj+1-ˉσj(σj-S)(σj+1-S)。(6.7)(6.3)式是对数函数式,而(6.7)式是代数函数式,易于研究,是反演的出发点。6.3有-1-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222225.55.25该形体如图11所示。背斜两翼无限延深,顶部上下2个角点为σ1、σ2。右翼倾角为β1,左翼为β2。该背斜相当于σ3、σ4、σ5、σ6均位于无穷远的六棱柱体。由(6.6)式,有Τ(S)=μ04πˆΜeiΙs{-i(e-i2β1-e-i2β2)}lnσ2-Sσ1-S=μ04π2Μmlnσ2-Sσ1-S‚(6.8)Μm=ˆΜsin(β2-β1)e-i(β2+β1-Ιs)。(6.9)上面推导中利用了三角公式:{-i(e-i2α-e-i2β)}=2sin(β-α)e-i(β+α)。(6.10)6.4以为单位的s,m为,n1-s,m为,m为,1-s,dsi在(6.8)式中,令β2=π-β1、β1=β,即可得到Τ(S)=μ04π2Μmlnσ2-Sσ1-S,Μm=-ˆΜsin2βeiΙs。(6.11)6.5s的形式这类形体包括背斜、半无限水平层和顶面倾斜厚板等。它们的T(S)形式相同,属于对数函数,不便于研究。它们的导数T′(S)形式也相同,但属于代数函数,即Τ′(S)=μ04π2Μmσ2-σ1(σ1-S)(σ2-S)。(6.12)其中,Mm随形体而异。因T′(S)比T(S)简单,是反演研究的出发点。还要指出一点:当半无限水平层角点σ2位于无穷远时,变为无限台阶(或称无限倾斜接触面)模型,其复导数T′(S)表达式与无限薄板的复场T(S)表达式(5.7)完全相同。7误差复磁轴公式7.1水平板法s具有两盘的水平薄断层如图12所示,它有广泛的代表意义。特别是在地壳深部构造研究中,断层面无限延深的断层模式是不存在的;而只有一个盘的模式也很少见。具有两盘的水平薄断层,无论正断层(图12a),还是逆断层(图12b),它们的T(S)均相当于两个一端无限的水平板T(S)错位相加。故由(5.2)式,其复场表达式为Τ(S)=μ04π2Μm{1σ1-S-1σ2-S},Μm=DΜs。(7.1)7.2水平层s复场导数以前,水平厚断层采用的是半无限水平层模型,这是不完善的,因为它没有包括所有可能的情况。这里,和薄断层一样,采用了具有两盘的模型,如图13所示。在纯粹剪切力作用下,断层面的4个角点在一条连线上。如果再有引张力或压缩力作用,则断层的4个角点就会偏离断层面。示意图中没有给出两翼所有相对位置。水平厚断层,无论正断层(图13a),还是逆断层(图13b),它们的T(S)均相当于两个半无限水平层T(S)错位相加。由(5.13)式,其复场表达式为Τ(S)=μ04π2Μm{lnσ2-Sσ1-S-lnσ4-Sσ3-S},Μm=ˆΜsinβe-i(β-Ιs)。(7.2)而复场导数T′(S)为Τ′(S)=μ04π2Μm{σ2-σ1(σ1-S)(σ2-S)-σ4-σ3(σ3-S)(σ4-S)}。(7.3)该导数公式将用于反演方法研究。8复引力场导数前几节导出了各种均匀规则体复磁场公式。现在,利用泊松公式(2.11)后两式,直接给出复引力场导数G′(S)和G″(S)表达式。8.1滑动柱的gss和gss8.1.1多体gs(1)单体G′(S)=f2Μg(σ0-S)2,Μg=πR2ρ。(8.1)(2)多体G′(S)=fn∑j=12Μgj(σ0j-S)2。(8.2)8.1.2gsG′(S)=2fΜg{1√1-c2*⋅(S-σ0)-2-1};(8.3)G″(S)=2fΜgc2*{(S-σ0)2-c2*}32；(8.4)Μg=2πρabc2,c2*=c2ei2β,c2=a2-b2,SD=πab。(8.5)8.2薄板tgss8.2.1多体gs计算(1)单体G′(S)=f2Μgσ-S,Μg=2bρsinβe-iβ。(8.6)(2)多体G′(S)=fn∑j=12Μgjσj-S。(8.7)8.2.2多体gs,2-s(1)单体G′(S)=f2Μgσ2-σ1(σ1-S)(σ2-S),Μg=Dρ,σ2=σ1+2b。(8.8)(2)多体G′(S)=fn∑j=12Μgjσ2j-σ2j-1(σ2j-1-S)(σ2j-S)。(8.9)8.2.3g、2124.单体和多体的G′(S)公式同(8.8)、(8.9),只是Mg不同,有Μg=2bρsinβe-iβ,σ2=σ1+2Leiβ。(8.10)8.3无限厚板法g具有2个角点的无限形体包括:顶面倾斜的无限厚板、半无限水平层、对称与非对称背斜等。它们的G′(S)、G″(S)公式形式上完全一样,有G′(S)=2fΜglnσ2-Sσ1-S(8.11)G″(S)=2fΜgσ2-σ1(σ1-S)(σ1-S)(8.12)区别仅在Mg公式上,现列表如下:无限厚板Μg=ρsin(β-α)e-i(β+α)；半无限水平层Μg=ρsinβe-iβ；对称背斜Μg=-ρsin2β；非对称背斜Μg=ρsin(β2-β1)e-i(β2+β1)。}(8.13)8.4gs计算G′(S)=2fΜgn∑j=1ˉσj+1-ˉσjσj+1-σjlnσj+1-Sσj-S；(8.14)G″(S)=2fΜgn∑j=1ˉσj+1-ˉσj(σj-S)(σj+1-S)；(8.15)Μg=-i0.5ρ。(8.16)8.5错误s和错误s8.5.1复导数的gs及ln3-s设:σ3=σ1+C,σ4=σ2-C,C为一个很大的正实数,则水平薄断层的复场G(S)和复导数G′(S)为G(S)=f2Μg{lnσ3-Sσ1-S+lnσ2-Sσ4-S};(8.17)G′(S)=f2Μgσ2-σ1(σ1-S)(σ2-S);(8.18