高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

PAGE恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数——最值化1在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出f(x)max,则a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,只须求出f(x)min,则a例1已知函数f(x)=ln(x+ax-2),若任意x解:根据题意得,x+ax−2>1在x∈[2,+∞)上恒成立,即a>−x2+3x在x∈[2,+∞)上恒成立.设f(x)=-x2+3x.则f(x)=−(x-322在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值,则f(a)≥g(x)max.然后解不等式求出参数a的取值范围;:若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值,则f(a)≤g(x)例2已知x∈(−∞,1]时,不等式1+2x+(a−a2)解令2x=t,∵x∈(−∞,1]∴t∈(0,2].所以原不等式可化为a2-a<t+1t2,要使上式在t∈∵f(t)=t+1t2=(1t)2+1t=(1t+12)2∴a2-a<34,∴−例3设且恒成立，求实数m的取值范围。解析：由于，所以，于是恒成立，因（当且仅当时取等号），故。二、数形结合——直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例4设，对于任意正整数k，直线与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点O从x正半轴旋转到过点的范围，直线AO的斜率为于是实数a的取值范围是xyo12y1=(x-1)xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1,a>1,1<a2.数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，综上得：三、变更主元——简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7对于满足p≤2的所有实数p,求使不等式x2分析:在不等式出现了两个字母x及p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立问题.解:原不等式可化为(x−1)p+x2−2x+1>0.设f(p)=(x−1)p+x2−2x+1,则f(p)在[−2,2]上恒大于0,故有f(-2)>0f(2)>0例8对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解析：不等式不等式即对于恒成立。记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］内恒为正的x应满足的条件。由得或故实数x的取值范围是例4、不等式有解，求的取值范围。解：不等式有解有解有解，所以。例5、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合．解：由又有解，所以．令恒成立．所以=2\*GB4㈡、恰好成立例6、已知当的值域是,试求实数的值.（最值法）.第(Ⅱ问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时,,与其值域是矛盾,当时,是上的增函数,所以,的最小值为,令,即例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。解析：（最值法）（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0，得x=-1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3，3]有解，故h(x)≥0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k≥-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由g′(