重积分习题课

习题课一、重积分计算的根本方法二、重积分计算的根本技巧三、重积分的应用

第十章重积分的计算及应用1精选ppt定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容2精选ppt1、二重积分的定义3精选ppt２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．4精选ppt性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质5精选ppt性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５假设在D上，特殊地6精选ppt性质６性质７〔二重积分中值定理〕7精选ppt４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.〔１〕直角坐标系下8精选ppt

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］9精选ppt〔２〕极坐标系下10精选ppt11精选ppt5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积12精选ppt当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心13精选ppt薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量14精选ppt薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力15精选ppt6、三重积分的定义16精选ppt7、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．17精选ppt9、三重积分的计算(１)直角坐标18精选ppt(２)柱面坐标19精选ppt(３)球面坐标20精选ppt10、三重积分的应用(１)重心21精选ppt(２)转动惯量22精选ppt二、典型例题例1解X-型23精选ppt例2计算积分其中D由所围成

.提示:如下图连续,所以24精选ppt例3解先去掉绝对值符号，如图25精选ppt例4解26精选ppt27精选ppt例5解28精选ppt例6解29精选ppt30精选ppt例7

证31精选ppt例8

解32精选ppt33精选ppt例9

解利用球面坐标34精选ppt例10

解35精选ppt例11

证思路：从改变积分次序入手．36精选ppt测验题37精选ppt38精选ppt39精选ppt40精选ppt41精选ppt42精选ppt43精选ppt44精选ppt测验题答案45精选ppt46精选ppt一、重积分计算的根本方法1.选择适宜的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量别离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:

面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法47精选ppt二、重积分计算的根本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式48精选ppt例1.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.49精选ppt(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得50精选ppt例2.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标51精选ppt例3.计算二重积分在第一象限局部.解:(1)两局部,那么其中D为圆域把与D分成作辅助线52精选ppt(2)提示:两局部说明:假设不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成53精选ppt例4.如下图交换以下二次积分的顺序:解:54精选ppt例5.解:

在球坐标系下利用洛必达法那么与导数定义,得其中55精选ppt三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面56精选ppt例6.证明证:左端=右端57精选ppt例7.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(03考研)58精选ppt解:

(1)

因为两边对

t

求导,得59精选ppt(2)

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