非经典反应扩散方程初边值问题

非经典反应扩散方程初边值问题

在这项工作中，我们考虑了非经典反应扩散方程的初始边值问题。⎧⎩⎨⎪⎪ut−Δut−Δu+λu+f(u)=g(x)u(t,x)=0,u(0,x)=u0(x)x∈Ω,x∈∂Ωx∈Ω。{ut-Δut-Δu+λu+f(u)=g(x)x∈Ω,u(t,x)=0,x∈∂Ωu(0,x)=u0(x)x∈Ω。(1)其中Ω⊂R3是具有适当光滑边界∂Ω的有界区域。非经典反应扩散方程广泛出现在非牛顿流体、土壤力学及热传导理论等领域。Aifantis在文献中首先为建立这类方程提供了一般的框架,并对项-Δut的物理意义进行了阐证,具体细节请参见文献。关于系统(1)的整体解的长时间行为也有一些很好的成果,如文献证明了系统(1)整体弱解对应的解半群在空间V=H1001(Ω)中全局吸引子的存在性,文献证明了系统(1)整体强解对应的解半群在空间D(A)=H2(Ω)∩H1001(Ω)中全局吸引子的存在性.我们通过对非经典反应扩散方程(1)整体弱解对应的解半群在空间V=H1001(Ω)中全局吸引子的正则性的讨论,证明系统(1)在H1001(Ω)中的全局吸引子A1即为系统在D(A)中的全局吸引子A2。2fc3r相关定义首先,令H=L2(Ω),V=H1001(Ω),D(A)=H2(Ω)∩H1001(Ω)其中A=-Δ,分别用(·,·),|·|表示L2(Ω)中的内积与范数。用|u|2=∫Ω|∇u|2|u|2=∫Ω|∇u|2表示V中的范数。对非线项f作如下假设:f∈C1(R)满足:f′(s)≥0,-C1|s|p-C0≤f(s)s≤C2|s|p-C0(2)为得所需结论,给出如下概念和相关引理:定义2.1如果对某个α>0,存在t1>0使得当t>t1时,对任意的u,v∈B⊂V,有|S(t)u−S(t)v|≤e−αt|u−v||S(t)u-S(t)v|≤e-αt|u-v|(3)则称解半群{S(t)}t≥0在V中具有指数吸引性质。引理2.2设Ω是R3中具有光滑边界的有界区域,f满足(2),则系统(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在V中存在全局吸引子A1,它以V中的范数吸引V中的任意有界集。引理2.3设Ω是R3中具有光滑边界的有界区域,f满足(2),则系统(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在D(A)中存在全局吸引子A2,它以D(A)中的范数吸引D(A)中的任意有界集。3e为不同t、btv0时定理3.1设非线性项f满足(2),u0,v0∈H1001(Ω),则系统(1)所对应的解半群{S(t)}t≥0在空间V中具有指数吸引性,即|S(t)u0−S(t)v0|≤e−αt|u0−v0||S(t)u0-S(t)v0|≤e-αt|u0-v0|(4)证明:设u和v分别为初值u0、v0关于系统(1)的解,令w=u-v,则有wt-Δwt-Δw+λw+f(u)-f(v)=0(5)用w作用(4)式两端,由(2)有:12ddt(|w|22+|∇w|22)+λ|w|22+|∇w|22≤012ddt(|w|22+|∇w|22)+λ|w|22+|∇w|22≤0(6)由Gronwall引理有:|w|22+|∇w|22≤|w0|2H10e−αt|w|22+|∇w|22≤|w0|Η012e-αt(7)其中α=min(1,λ)。故对一切t>0有|S(t)u0−S(t)v0|≤e−αt|u0−v0|,|S(t)u0-S(t)v0|≤e-αt|u0-v0|,成立。证毕。假设H1001(Ω)和D(A)中的有界吸收集分别为B1和B2,因为D(A)H1001(Ω)是紧的,所以B2也为H1001(Ω)的有界集。由定理1及指数吸引性的定义知B2按H1001(Ω)模指数吸引H1001(Ω)中任意有界集B⊂V,且B2在H1001(Ω)中紧,则有A1⊂B2⊂D(A)则有A1在D(A)中按D(A)模有界。4系统的吸引子aaa引理4.1设Banach空间X、Y,其模分别为|⋅|X|⋅|X、|⋅|Y,B∈B(X)∩B(Y)|⋅|Y,B∈B(X)∩B(Y)。假设{xn}∞n=1∈B,且有xn|⋅|Xx0,xn|⋅|Yy0,x0,y0∈Bxn|⋅|Xx0,xn|⋅|Yy0,x0,y0∈B。则x0=y0其中B(X)为X中所有有界子集的集合。定理4.2系统(1)在H1001(Ω)中的全局吸引子A1即为该系统在D(A)中的全局吸引子A2。证明:由于系统(1)在H1001(Ω)中的全局吸引子A1的不变性,我们只需证A1=A2。一方面,显然有A2⊂A1,下证A1⊂A2。由全局吸引子的定义,有x0∈A的充要条件是存在xn∈B0,tn→∞,使得S(tn)xn|⋅|Xx0asn→∞S(tn)xn|⋅|Xx0asn→∞(8)于是,对任意的y0∈A1,由(8)知,存在xn∈B2和tn→∞,使得S(tn)xn|⋅|Xy0S(tn)xn|⋅|Xy0。由于{S(tn)xn}∞n=1在H1001(Ω)中是预紧的,从而{S(