断裂力学课件

绪

论

1.断裂力学的产生

1.1从二战以来的若干断裂事故说起1943-1947年,美国近500艘全焊船1000多起脆性破坏，238艘报废。总是在焊接缺陷等应力集中区域，-3~4°C水1947年，苏联4500m3石油储罐，-43°C，底部和下部壳连接处，大量裂纹。（低温、脆性、焊点应力集中、内外温差）五十年代，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体试验，发生爆炸。高强度合金，传统强度和韧性指标合格，爆炸时工作压力远低于许用应力。（裂纹）1963年，美国F-111飞机训练中，左翼脱落，飞机坠毁，而当时飞行速度、负荷远低于设计指标。（热处理不当、机翼枢轴出现缺陷，疲劳载荷，裂纹）2005年2月，美国停飞了30架E型C-130“大力士”飞机，另外60架其他型号，包括某些E型、H型、H1型和HC-130P/N型飞机，美空军也决定处于受限飞行状态。中央机翼盒结构在一系列检测中发现有裂纹，而且这些裂纹的数量在增多和程度加剧

一系列严重灾难，这些事故中毁坏的结构是经过传统强度理论严格设计的，为什么不断出现断裂呢？（屈服），为屈服应力，塑性材料（破坏），为强度极限，脆性材料

循环加载

这些结构大多由高与超高强度材料制造，高强度刚屈服应力，而普通钢仅200MPa，且材料韧性也很好(材料可按延伸律分为脆性和韧性两大类，5％为界限)1.2事故原因分析及断裂力学研究目的上述典型事故中，脆性断裂总是由宏观裂纹引起的；这些裂纹要么由冶金夹杂物及加工和装配引起，要么由疲劳载荷及工作环境引起；对于大多数结构和零件来说，宏观裂纹的存在是不可避免的；含裂材料的强度，取决于材料对裂纹扩展的抗力，这种抗力由材料的内部属性决定。断裂力学的目的：就是应用弹塑性理论和新的实验技术，研究裂纹尖端附近的应力、应变场和裂纹的扩展规律。2.断裂力学的研究对象2.1宏观裂纹产生和发展的几个研究阶段：断裂力学的理论基础：弹性力学塑性力学粘弹性力学…断裂力学是材料力学的发展和补充，但两者的设计思想不同2.2断裂力学和材料力学的差别

注意：由于断裂力学考虑了裂纹，根据裂纹失稳准则得到的断裂应力与传统强度条件得出的结果不一定相同。

1）静载荷情况2）循环载荷情况传统的疲劳设计，是用光滑试件作S－N曲线，求出下界限应力疲劳极限。如果最大工作应力满足下式为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。

断裂力学认为：含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用；在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。选用指标：载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩展的能力。

断裂力学区分两种寿命，材料的断裂寿命为－裂纹发生寿命，－剩余寿命。若初始裂纹深度为临界裂纹深度为裂纹扩展速率剩余寿命：实验得到：为循环载荷的最大与最小应力强度因子的差，或应力强度因子幅度

2）循环载荷情况3）腐蚀介质下的情况总之：断裂力学抛弃了物体的连续性假设,而从物体中含有裂纹这一前提出发,以弹性力学和塑性力学为理论工具,确定含裂纹体的应力场、位移场分布,据此找出决定位移扩展的物理量,同时,通过试验测定出材料抵抗裂纹扩展的纯力,并建立二者之间的关系,即建立断裂准则3.断裂的分类针对晶体材料分析:结晶体:由原子(或离子、分子)规则排列形成.

解理断裂:金属在一定条件下,当应力达到一定数值时,便以极快的速度沿一定的结晶学平面发生断裂.断裂面平滑而光亮.

解理断裂是脆性断裂.解理断裂通常是由于解理面的正应力的作用破坏了晶体原子间的合力而引起的.3.1断裂的晶体学分类

——晶体学解理断裂与滑移断裂

滑移断裂:受剪应力作用破坏了晶体原子间的结合力而引起的断裂.

特点:断口黑暗,鹅毛装或纤维状,断裂面与拉伸轴成一定角度,断裂发生前,发生了明显的塑性变形.3.2断裂的工程学分类——脆性断裂与韧性断裂韧性材料:

脆性断裂:平齐而光亮,且与正应力垂直.断口上呈现人字纹 或放射花样,基本上没有塑性变形.

韧性断裂:断裂前发生明显的宏观塑性变形,灰暗色,纤维状.缺口试件在冲击载荷下破断试验得到的缺口韧性值来衡量.脆性材料:脆性断裂韧性断裂判断断裂韧性的指标裂纹扩展前裂纹尖端无塑性区,或塑性区尺寸远远小于裂纹长度.K准则和G准则.发展成熟,理论简单,基础较牢固.4.断裂力学的研究内容4.1.线弹性断裂力学4.3.断裂动力学裂纹快速传播过程中,必须考虑材料的惯性效应.4.2.弹塑性断裂力学断裂前断裂尖端处的塑性区足够大.COD(裂纹尖端张开位移)理论,J积分理论在工程上已应用,但完善程度不够.*

弹塑性断裂力学*线弹性断裂力学

脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸弹塑性断裂力学

大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，如：中低强度钢制成的构件．全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的接管部位.*

弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应用的断裂准则。主要包括COD理论和J积分理论.

*§4.1 小范围屈服条件下的COD一.CODCOD(CrackOpeningDisplacement)裂纹张开位移。裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力—COD准则裂纹失稳扩展的临界值COD准则需解决的3个问题：

的计算公式;的测定;COD准则的工程应用*二.小范围屈服条件下的COD平面应力下—小范围屈服时的COD计算公式2)(2124syyKIrryEvrrspppq===Þ

处时

＝当

*§4.2D－B带状塑性区模型的COD

D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力.假想：挖去塑性区在弹性区与塑性区的界面上加上均匀拉应力线弹性问题裂纹尖端的应力强度因子*又因Ｃ点为塑性区端点，应力无奇异性将按级数展开，有当较小时*又无限大板的穿透裂纹问题：

小范围屈服时平面应力的塑性区尺寸，欧文塑性区修正的结果（考虑应力松弛）*Paris位移公式远场均匀拉应力产生塑性区分界上的拉应力产生卡氏定理：物体受一对力作用,力作用点间沿力方向的相对位移等于应变能对外力Ｐ的偏导数。引入虚力Ｆ，物体的应变能方向的相对位移为两点沿Ｆ21DDÞ*又有，恒定载荷下的能量释放率为当取板厚Ｂ＝１时无裂纹体（a=0）的应变能

表示裂纹扩展过程时的长度又外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子*当无裂纹时,的相对位移为零—Paris位移公式*

的计算

又由当时—无限大板的COD利用D－B模型计算结果*D－B模型不适用于全面屈服（）。有限元计算表明：对小范围屈服或大范围屈服。当时，上式的预测是令人满意的.D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间有着一致性.将按级数展开*欧文小范围屈服时的结果D－B模型的适用条件

平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹

引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于

塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）远小于*§4.3全面屈服条件下的COD

高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的包围中全面屈服.

对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和COD的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分析的依据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何和材料性能之间的关系.

用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD

与标称应变的关系曲线。经验设计曲线*我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：*§4.4 COD准则的工程应用实验测定结果：平板穿透裂纹实际工程构件：压力容器、管道等,必须加以修正鼓胀效应修正

压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外鼓胀,而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时，应在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ.Folias分析得到：*

取值如下：圆筒轴向裂纹时取1.61，圆筒环向裂纹时取0.32，球形容器裂纹时取1.93.2.裂纹长度修正压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹.非贯穿裂纹无限大板中心穿透裂纹

令非贯穿裂纹与无限大板中心穿透裂纹的相等，则等效穿透裂纹的长度为*3.材料加工硬化的修正

考虑材料加工硬化，当时，低碳钢取代替。其中为流变应力。为材料的抗拉强度。综合考虑上述3部分内容D－B模型的计算公式*§4.5 J积分的定义和特性COD准则的优点：

测定方法简单经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力容器断裂分析问题缺点：

不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征参量.Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。*J积分的两种定义：

回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所组成的围线积分。J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹性，而且适用于弹塑性。但J积分为一平面积分，只能解决二维问题。

形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的形变功率给出。

根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。*

设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕裂纹尖端取回路。始于裂纹下表面、终于裂纹上表面。按逆时针方向转动应变能密度作用于路程边界上的力路程边界上的位移矢量

与积分路径无关的常数。即具有守恒性。

*闭合回路：ABDEC在裂纹面上BD、AC上：设，为弧元dS的外法线元的方向余弦微元dS上三角形体元的力的平衡条件*

根据格林公式*针对平面问题，不计体力，平衡微分方程为小应变的几何条件*利用格林积分变换应变能密度在全量理论单调加载下结论成立*§4.6 J积分与能量释放率的关系线弹性平面应变条件下，应变能密度为又Ｉ型裂纹尖端的应力分量*积分回路：以裂纹尖端为中心，r为半径的圆周又积分路径上的力又张开型位移**线弹性状态下*§4.7J积分和COD的关系一.小范围屈服条件下的J和COD关系

在平面应力条件下，Irwin提出小范围屈服的COD计算公式

二.D-B带状塑性区模型导出的J和COD关系D-B模型为一个弹性化的模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的条件。*积分路径：塑性区边界ABD

AB上：平行于轴BD上：平行于轴

因为D-B模型过于简单，将塑性区考虑为理想塑性，实际上材料有着硬化现象，在塑性区断面上所受的力是x的函数，与材料的硬化指数n有关。*其中：k——COD降低系数，与试样塑性变形的程度以及裂纹前缘的应力状态有关。

罗宾松（Robinson）指出:k随塑性区的增加而增加，在塑性区较小时，k=1

薛（shih）指出：k随硬化指数n的增加而减小。*§4.8Ｊ积分准则及其应用

比格莱（Bagley）和兰德斯（Landes）认为：当围绕裂纹尖端的Ｊ积分达到临界值时，裂纹开始扩展：对于稳定裂纹扩展：上式代表开裂条件。对于不稳定的快速扩展：上式代表裂纹的失稳条件。

代表材料性能：由实验测定若取试样的开裂点确定上式为开裂判据若取试样的失稳点确定上式为失稳判据*

大量实验表明：用开裂点确定的比校较稳定与材料尺寸无关。而用失稳点确定的受材料尺寸影响很大，不宜为材料常数，所以一般为裂纹的开裂判据。Ｊ积分准则的优点：

与COD准则比较，理论根据严格，定义明确。用有限元方法计算不同受力情况、各种形状结构的Ｊ积分。而COD准则的计算公式只适用于几种最简单的几何形状和受力情况。实验求，简易可行。*Ｊ积分准则的缺点Ｊ积分理论根据塑性的全量理论，不允许卸载。但是裂纹在稳定扩展时，尖端的应力要释放、要卸载。Ｊ积分理论不能应用于裂纹临界扩展。（必须在一定的条件下近似地分析扩展）。Ｊ积分定义限于二维问题。材料的一般由开裂点确定，设计过于保守。*§4.9临界COD测定.试样及其制备

测定临界COD值的试样包括：中心裂纹拉伸试件，单边裂纹拉伸试件，双边裂纹的拉伸试件，三点弯曲试件。1.试样尺寸以三点弯曲试样为例，GB2358-80标准规定：尺寸包括：W=2B，a=(0.45~0.55)W；W=B；a=(0.25~0.35)W2.裂纹的制备控制载荷：极限载荷的函数*起始裂纹长度二.试验过程和设备三点弯曲试样*三.试验结果的处理

裂纹扩展量0.05mm脆性失稳点或突进点所对应的载荷及裂纹嘴张开位移的塑性部分脆性启裂COD值

*

裂纹扩展量0.05mm脆性失稳点或突进点所对应的载荷及裂纹嘴张开位移的塑性部分脆性失稳裂COD值

*最大载荷点或最大载荷平台开始点对应的,

时的COD值表现启裂COD

时的COD值条件启裂COD

最大载荷COD

*

阻力曲线的测试取一组4－７个具有尽可能一致的疲劳裂纹三点弯曲试样每个试样进行上述加载试验，但在各自不同的加载段停机采用氧化发篮或二次疲劳法使裂纹扩展区留印压断试样，测量裂纹稳定扩展量做出相应的根据试验标准有*对应特征点的载荷—对应特征点的裂纹嘴张开位移的塑性部分--转动因子，随载荷而变，当载荷较大时，趋于常数，标准规定＝0.45—安装引伸外刀口的厚度*§4.10金属材料断裂韧度J积分值的测试一.试样及其制备1.试样(＝4）

标准试样，Ｂ=20mm

Ｗ＝24mm（中低强度钢）

标准试样，Ｂ=15mm

Ｗ＝18mm（高强度、低韧性钢和铝钛合金）试样尺寸还满足：其中：钢中Ｒ取50，钛合金中Ｒ取80，铝合金中Ｒ取120.2.裂纹的制备*二.试验的过程和设备三.试验结果处理取一组5-7个试样，在不同的情况停机曲线*阻力曲线钝化线：体现裂纹尖端的钝化*可以确定三个特征Ｊ积分值

阻力曲线与钝化线的交点相应的值表现启裂韧度

表观裂纹扩展量＝0.05mm时对应的值条件启裂韧度

表现裂纹扩展量0.05mm而发生失稳断裂的值启裂韧度

*

裂纹的断裂准则

*裂纹的断裂准则:带裂纹的构件发生断裂的临界条件.§3.1单一型裂纹的断裂准则一.阻力曲线法

以平面应力为例说明1.裂纹扩展的推动力与试件的类型有关*2.裂纹扩展阻力裂纹扩展单位长度所需要消耗的能量.裂纹扩展测定计算阻力曲线3.临界条件只有点是失稳的扩展条件*二.能量判据三.应力强度因子判据*§3.2最大周向正应力理论一.复合型裂纹断裂判据需要解决的问题裂纹沿什么方向扩展确定开裂角;裂纹在什么条件下开始扩展确定临界条件二.最大周向正应力判据1.假定:裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向.

当这个方向上的周向正应力的最大值达到临界时,裂纹开始扩展.

*2.举例:Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹因,各项均趋于无穷大取圆周上各点的*无实际意义开裂条件::由Ⅰ型裂纹的断裂韧性来确定.临界失稳条件*3.几种特殊情况a.Ⅰ型,b.Ⅱ型,c.中心斜裂纹的单向拉伸沿裂纹面:垂直裂纹面:*给定确定临界应力*§3.3能量释放率理论判据,由帕立.尼斯威米(K.Palaniswamy)提出.假设:裂纹沿产生最大能量释放率的方向扩展.当在上述确定的方向上,能量释放率达到临界值时,裂纹开始扩展.纽斯曼(Nuismer)利用连续性假设研究了能量释放率与最大周向正应力之间的关系.假设:沿方向产生支裂纹,平面应变下,裂纹沿本身平面扩展时的能量释放率为*(沿裂纹方向扩展)支裂纹的能量释放率为:令假设支裂纹尖端的应力场趋近于扩展开始的原有裂纹尖端应力场.

*支裂纹沿方向开始从原有裂纹扩展时的能量释放率*根不是解起始裂纹方向取于周向应力取平稳值的方向是能量释放率取平稳值的方向又当*周向应力绝对值最大的方向是能量释放率最大的方向临界条件(平面应变)*§3.4应变能密度理论判据,薛昌明提出的基于局部应变能密度场断裂概念的复合型判据.一.应变能密度因子平面应变:Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型复合型裂纹尖端附近的应力场,利用叠加原理*弹性条件下:微元体储存的应变能为应变能密度*应变能密度因子—表示裂纹尖端附近应变能密度场强弱程度*二.应变能密度因子判据假定:裂纹沿应变能密度因子最小方向(势能密度最大)开始扩展.应变能密度因子达到临界值时,裂纹开始扩展.

Ⅰ型裂纹

*应力强度因子理论：

材料常数Ⅱ型裂纹*平面应变：Ⅲ型裂纹*§3.5平面应变断裂韧度测定平面应变断裂韧度：弹性介质中，具有Ⅰ型裂纹的构件抵抗裂纹扩展的能力，或者说线弹性介质中，Ⅰ型裂纹前端附件应力场强度因子的临界值.

是中的最小值且趋于常值.

是材料固有性能指标，是材料常数.

只适用于线弹性，材料必须在小范围屈服下失稳.一.定义*二.试验

标准：金属材料平面应变断裂韧度标准测试方法（美国材料试验协会）:中国标准1.试件a.三点弯曲试件*b.紧凑拉伸试件美国标准中的标准试件c．四点弯曲试件拱形三点弯曲试件单边切口拉伸试件中心切口拉伸试件圆周切口杆状拉伸*2.测试原理载荷裂纹张开位移3.测试方法步骤

加工并预制裂纹在试件切开张开端安装位移传感器将试件放于试验机上连接记录仪加载试验，记录曲线当试件不能承受更大载荷为止，记录最大*4.试验数据分析a.裂纹长度的确定要求：b.的确定（1）做切线OA（2）做割线OPS，斜率比切线斜率小5%*（3）确定若在前,曲线各点小于，则若在前,曲线各点大于，则（4）计算满足，则有效，否则加大试件（5）计算（6）计算*

疲劳裂纹的扩展*一．疲劳裂纹破坏的特点1）对静载荷情况长为a的裂纹，只当达到临界应力时，裂纹才会失稳扩展，突然断裂。当时，构件安全可靠。2）对交变载荷：当构件承受同一应力水平的交变力，则裂纹将缓慢扩展，达到临界尺寸时，失稳断裂。疲劳破坏：构件在交替应力作用下产生的破坏5.1概述*3）亚临界扩展：裂纹在交变应力作用下，由初始扩展至临界值的过程称为疲劳裂纹的亚临界扩展。4）对于没有宏观裂纹的试件，在交变应力作用下，也可能萌生裂纹。5）疲劳破坏时的应力远比静载荷破坏的应力低，且疲劳破坏时一般无明显的塑性变形，对工程结构威胁很大。*二.疲劳破坏过程（无初始裂纹的光滑试样）按疲劳破坏发展过程，大致可以分为四个阶段：1）裂纹成核阶段对无裂纹或类裂纹缺陷的光滑试样，由于材料组织性能不均匀，试件表面是平面应力状态，易发生塑性滑移，经多次反复的循环滑移应变，金属被挤出或挤入滑移带，从而形成微裂纹的核。交变应力金属的挤出和挤入形成微裂纹的核*2）微裂纹扩展阶段微裂纹成核后，沿裂纹面扩展，此面是与主应力轴成45°的剪应力作用面，此阶段扩展深入表面很浅，大概十几微米，是许多沿滑移带的裂纹，称其为裂纹扩展的第一阶段。一般为mm/每循环,裂纹尺寸<0.05mm.3）宏观裂纹扩展阶段此时裂纹扩展方向与拉应力垂直，且为单一裂纹扩展，称为第二阶段，一般认为裂纹长度范围内的扩展为宏观裂纹扩展阶段。扩展速率为mm/每循环.*4）断裂阶段扩展到时，失稳导致快速断裂。

以上过程，对有初始裂纹体，主要是宏观裂纹扩展阶段。裂纹形成寿命：疲劳裂纹形成阶段，对应的应力循环周数。裂纹扩展寿命：宏观裂纹扩展阶段对应的循环周数。工程上一般规定0.1mm~0.2mm裂纹为宏观裂纹0.2mm~0.5mm深0.15mm表面裂纹为宏观裂纹*三.高周疲劳与低周疲劳高周疲劳：构件受的应力较低，疲劳裂纹在弹性区中扩展，裂纹扩展至断裂所经历的应力循环周数较高，或裂纹形成寿命较长（应力疲劳），称为高周疲劳。称为失效周数或疲劳寿命。低周疲劳：当构件应力较高或因应力集中，局部应力已超过材料的屈服极限，形成较大的塑性区，在交变应力作用下，塑性区中易形成宏观裂纹，裂纹主要在塑性区中扩展，裂纹形成寿命较短，故称低周疲劳，又称塑性疲劳或应变疲劳。*工程中一般规定为低周疲劳.高周疲劳和低周疲劳之间没有严格的界限四.构件的疲劳设计总寿命法

经典的疲劳设计方法是循环应力范围（Ｓ—Ｎ）曲线法或塑性总应变法来描述导致疲劳破坏的总寿命。*2.损伤容限法

疲劳寿命定义：从某一裂纹尺寸扩展至临界尺寸的裂纹循环数。疲劳设计的断裂力学方法容许构件在使用期内出现裂纹，但必须具有足够的裂纹临界扩展寿命，以保证在使用期内裂纹不会失稳、扩展而导致构件破坏。*5.2疲劳裂纹的扩展速率疲劳裂纹扩展的定量表示用或，是交变应力循环次数增量，是相应的裂纹长度的增量。疲劳裂纹扩展速率:

（或），表示交变应力每循环一次裂纹长度的平均增量（mm/次），它是裂纹长度a、应力幅度或应变幅度的函数。*研究疲劳裂纹扩展速率的目的：是为了获得裂纹的扩展理论、建立与a、（或）以及材料性质之间的关系，并写成普遍公式。

在单轴循环交变下，垂直于应力方向的裂纹扩展速率，一般可写成如下形式应力循环次数正应力裂纹长度与材料有关的常数*一.Paris公式

通过大量实验证明，应力强度因子K是控制裂纹扩展速率的主要参量。Paris经验公式为：—（也称疲劳裂纹扩展方程式）式中：C、m为材料常数，对于同一材料，m不随构件形状和载荷的性质而改变。对于金属材料，指数m大约为2~7。常数C与材料的力学性质和试验条件有关。*其中分别是交变应力最大值和最小值所计算的应力强度因子。Paris公式为最基本的公式，许多学者提出了对其的修正方案。主要有Donahue、Priddle、Walker等。Paris应力强度因子理论与实验结果符合较好的一种理论.*第I阶段门槛值

对于马氏体钢、巴尔绍姆得出如下经验公式第一阶段裂纹基本不扩展（扩展速率小于/周）*第II阶段Paris最早由实验得到这一关系一般认为关系是一条直线第III阶段

已经接近材料的或裂纹扩展率将急剧增加直至断裂*二.疲劳裂纹扩展寿命预测根据Paris公式，可以在已知原始裂纹长度的情况下，计算裂纹扩展到临界裂纹长度的循环次数。其中为应力强度因子幅度，是裂纹长度的函数，c、m为常数。（疲劳裂纹扩展寿命）*1）平均应力的影响：平均应力升高，升高，故常在表面做喷丸处理，产生压应力，减小。2）超载的影响：大载荷时能产生塑性区，然后相当于卸载，但塑性变形不能恢复，而弹性必须要恢复，产生压应力，相当于减小，故降低。3）加载频率的影响。4）其他因素的影响三.影响疲劳裂纹扩展速率的因素虽然Paris公式中只有几个参数，但实际还有其它的影响因素：*四.应变疲劳

应变疲劳属于低周疲劳。当构件应力较高或因应力集中，局部应力已超过材料的屈服极限，形成较大的塑性区，在交变应力作用下，塑性区中易形成宏观裂纹，裂纹主要在塑性区中扩展，裂纹形成寿命较短，叫做应变疲劳。1、Mason-Coffin公式根据大量实验结果，Mason和Coffin提出断裂寿命与塑性应变幅度的关系式：*其中：为疲劳韧性指数或寿命指数（材料常数），对于大多数合金约为0.5~0.7.C为疲劳韧性系数（材料常数），与材料的延性有关。上式称为Mason-Coffin经验公式，也称为Mason-Coffin定律*

出现一个宏观裂纹所需的循环周数称为疲劳裂纹的形成寿命。工程上一般规定长度为0.1~0.2mm的裂纹，或长度为0.2~0.5mm、深为0.15mm的表面裂纹为宏观裂纹。

光滑试样的裂纹形成寿命可以直接有实验求得。选取几组试件，选用不同的应变幅度，记录对应的起裂周数，得到曲线。对于缺口试件的裂纹形成寿命，由于实验测定较困难，用小型光滑试件模拟缺口应力集中部位的应力或应变状态来计算。2、疲劳裂纹的形成寿命*五.弹塑性及全屈服条件下疲劳裂纹扩展速率1.COD表达式式中：为裂纹尖端张开位移幅度。2.J积分表达式C与r是材料常数，J积分写成：其中Y为裂纹的几何形状因子。*

线弹性断裂力学

*

线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。*

§1.1线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：

Griffith理论，即能量释放率理论；

Irwin理论，即应力强度因子理论。一、Griffith理论

1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。*Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为*

另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为其中：为单位面积上的表面能。可以得到如下表达式临界状态裂纹稳定裂纹不稳定*对于平面应力问题，，则根据临界条件，有或得临界应力为

表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。*临界裂纹长度

对于平面应变有Griffith判据如下：(1)当外加应力超过临界应力(2)当裂纹尺寸超过临界裂纹尺寸脆性物体断裂*二.Orowan与Irwin对griffith理论的解释与发展Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。

设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为**Irwin在1948年引入记号外力功释放出的应变能能量释放率能量释放率也称为裂纹扩展能力准则临界值,由试验确定Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形.该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志.*前面仅是以固定边情况为例。对于一般约束情况，具有更广泛的物理意义。

取一厚度为B的板，中心有穿透裂纹长度为2a，载荷P，面积A=2aB。在裂纹长度不变的情况下，P与作用点位移Δ成正比将板拉长后固定两端。下图中直线的斜率为刚度系数，其倒数λ为柔度系数（柔度），等于单位载荷下的位移。当裂纹面积增加时，弹性裂纹体刚度下降，柔度增加，即弹性曲线斜率减小。下面需要分析三种不同边界条件的情况*1）固定位移情况在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所需的功。应变能减少量=*2）固定载荷情况

在图中，体系应变能增加，载荷作的功一半用于增加系统应变能，一半作为剩余功用于裂纹扩展。将上述两种情况的统一写成应变能增加量=矩形-*

裂纹扩展时，载荷对位移曲线从a变化到f，其斜率为3)弹性约束情况

对于一般弹性条件，可看成弹性约束，简化为裂纹体与弹簧串联的力学模型。弹簧柔度系数*上式称为应变能释放率的柔度表达式。那么知道了载荷与柔度随面积的变化率，可以计算出系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和）对前两种情况，则由*三.应力强度因子理论裂纹尖端存在奇异性,即:

基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量—应力强度因子,即：1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的断裂判据(准则)*§1.2裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值一.裂纹的类型1.按裂纹的几何类型分类穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.*2.按裂纹的受力和断裂特征分类张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹.滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.*撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.二.裂纹尖端附近的应力场.位移场1.Ⅰ型裂纹问题的描述:无限大板,有一长为的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力的作用.确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.**Irwin应用Westergaurd的方法进行分析.(1)Westergaurd应力函数

弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数.该函数满足边界条件及双调和方程.1939年Westergaurd应力函数*其中：为解析函数;为一次积分和二次积分.首先证明:满足双调和方程因为:解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程*

柯西黎曼条件*有即函数是平面问题的应力函数.则应力分量:*即(平面应力)(平面应变)物理方程:

(平面应力)*(平面应变)几何方程:

*得平面应力平面应变*(2)求解双向拉伸Ⅰ型裂纹边界条件:

选取Ⅰ型裂纹的函数*验证:a:,时又b:*采用新的坐标令--应力强度因子

**平面应变平面应力平面应变平面应力*2.Ⅱ型裂纹

设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用*第一步：解II型Westergaard应力函数

求解方法与I型基本相同，1主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。选取应力函数

进而可得到位移分量平面应变*第二步：选II型裂纹的

边界条件：，在处在处选取能够满足全部边界条件。*在裂纹表面处虚数*将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标当趋于常数,设:，右裂尖附近,

在很小范围内时

*第三步：用求II型裂尖附近的应力场和位移场

应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：若以极坐标表示复变量则可得到*平面应变平面应力把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式*平面应变平面应力3.撕开型(Ⅲ型)问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透),无限远处受与方向平行的作用.反平面(纵向剪切)问题,其位移根据几何方程和物理方程:*单元体的平衡方程:位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.边界条件:*选取函数满足边界条件取新坐标令*§1.3应力强度因子与能量释放率的关系假设裂纹闭合当,时当,时*在闭合时,应力在那段所做的功为平面应力平面应变同理

*

应力强度因子的计算

*计算值的几种方法1.数学分析法:复变函数法、积分变换；2.近似计算法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.*§2-1三种基本裂纹应力强度因子的计算一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算计算的基本公式1.在“无限大”平板中具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,距离处各作用一对集中力P

选取复变解析函数：*边界条件：

除去处裂纹自由表面上如切出坐标系内的第一象限的薄平板，在轴所在截面上内力总和为P

以新坐标表示*2.在无限大平板中,具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,在距离的范围内受均布载荷q作用利用叠加原理集中力令*当整个表面受均布载荷时3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在轴上有一系列长度为,间距为的裂纹单个裂纹时*边界条件是周期的:*采用新坐标:当时，

*取--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对的影响

若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（）可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.*二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.*3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):4.Ⅲ型周期性裂纹:*§2-2深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年,格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变得到椭圆表面上任意点,沿方向的张开位移为其中:第二类椭圆积分*1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子原裂纹面*假设:椭圆形裂纹扩展时边缘上任一点有均在的平面内*新的裂纹面仍为椭圆长轴短轴原有裂纹面:扩展后裂纹面:以，代入原有裂纹面的边缘向位移**设各边缘的法向平面为平面应变,有:当时，*在椭圆的短轴方向上，即，有--椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当时，--圆片状深埋裂纹应力强度因子*§2-3半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面浅裂纹的应力强度因子欧文假设：半椭圆片状表面浅裂纹与深埋椭圆裂纹的之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的值之比又有裂纹长度板宽度*当时，

--椭圆片状表面裂纹A处的值*二、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面使裂纹尖端的弹性约束减少裂纹容易扩展增大弹性修正系数，由实验确定一般情况下前自由表面的修正系数后自由表面的修正系数*巴里斯和薛时，接近于单边切口试样时，接近于半圆形的表面裂纹利用线性内插法利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数板厚裂纹深度浅裂纹不考后自由表面的影响*柯巴亚希.沙.莫斯表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）*§2-4其他问题应力强度因子的计算一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算复变数：取复变解析函数：取应力函数或满足双调和方程*分析第一应力不变量对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：

Ⅱ型：*Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量取复数形式的应力强度因子又*若采用选择满足具体问题的应力边界条件---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式

利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.*二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算

实际情况应看成有限宽板计算.必须考虑自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解.通过近似的简化或数值计算方法.方法:边界配置法,有限单元法等.

边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定值.边界配置法:只限于讨论直边界问题.*1.威廉氏(Williams)应力函数和应力公式Williams应力函数满足双调和方程边界条件:裂纹上、下表面,均为零

在边界上的边界条件的满足如下确定:在有限宽板的边界上选取足够的点,使这一点的边界条件满足.*为了计算方便引入无量纲量试件厚度试件宽度*2.的计算针对Ⅰ型裂纹当时,当时,,当=1时,在乘后与无关.而当=2,3…时,在乘之后与有关,当都为零*3.借用无裂纹体内的边界条件求系数

取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一样的.

取个点分析,以有限级数代替无限级数精度足够.*对于不同的点有其中标准试件*§2-5确定应力强度因子的有限元法

不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的.一些实验方法解析方法都有各自的局限性,而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算.一.位移法求应力强度因子Ⅰ型:*有限元法裂纹尖端位移外推法二.应力法求应力强度因子Ⅰ型:有限元法

利用刚度法求应力时,应力场比位移场的精度低(因应力是位移对坐标的偏导数).*三.间接法求应力强度因子(应变能释放率法)四.积分法:围绕裂纹尖端的闭合曲线:积分边界上的力:边界上的位移应变能密度线弹性问题:*§2-6叠加原理及其应用一.的叠加原理及其应用

线弹性叠加原理:当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和.叠加原理适用于证明:由叠加原理有*实例:铆钉孔边双耳裂纹叠加原理:其中:圆孔直径