电子技术基础-数字部分第四讲21.2卡诺图补充最大项及例题

2.2

逻辑函数的卡诺图化简法

KarnaughmapclearmeasureofLogicAlgebra2.2.2逻辑函数的最小项表达式2.2.1最小项的定义及性质2.2.4用卡诺图化简逻辑函数2.2.3用卡诺图表示逻辑函数二.最大项的定义及其性质1.最大项:在n变量逻辑函数中，假设M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次。那么称M为该组变量的最大项。最大项

使最大项为0的变量取值对应的

十进制数编号ABCA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C00000101001110010111011101234567

M0M1M2

M3M4

M5M6M72.最大项的主要性质，这就是：

①在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0。②全体最大项之积为0.③任意两个最大项之和为1。④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。

3.最大项和最小项之间关系

三、逻辑函数的两种标准形式1.逻辑函数的最小项表达式

Ministerexpressionoflogicfunction利用A+A=1,可把任一逻辑函数化为最小项之和的标准形式。2.逻辑函数的最大项之积形式上面已经证明，任何一个逻辑函数皆可化为最小项之和的形式。同时，从最小项的性质又知道全部最小项之和为1。由此可知，假设给定逻辑函数为Y=∑mi，那么∑mi以外的那些最小项之和必为Y，即,故利用反演定理可将上式变换为最大项乘积的形式例：Y=ABC+BC,Y=ABC+(A+A)BC=ABC+ABC+ABC=m3+m6+m7五.卡诺图化简逻辑函数(UsingKarnaughmapclearlogicfunction)卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤①将函数化简为最小项之和的形式(或列出逻辑函数真值表)；②画出表示该逻辑函数的卡诺图；．③找出可以合并的最小项(画圈)；④写出最简“与或〞逻辑函数表达式。例2.2.3用图形化简法对逻辑函数F=∑m4(1,2,4,9,10,11,13,15)进行化简解：据化简步骤,因逻辑函数已表示成最小项之和的形式，可以省去步骤①。②画出逻辑函数F的卡诺图。③画圈，将相邻“1〞格圈起来，先圈单个“l〞格，再圈2个“l〞格，4个“1〞格,合并最小项④写出最简“与或〞逻辑函数表达式AB00011110CD0001111001100100010110111ADBCDBCDABCD①“1〞格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=A；②“1〞格不能漏画，否那么简化后的逻辑表达式与原式不相等；③圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个“与〞项相对应，圈数越少，表达式中的“与〞项就越少；④圈的面积越大越好，但必为2i个方块。因为圈越大，消去的变量就越多；⑤每个圈至少包含一个新的“1〞格，否那么这个圈是多余的。“可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有一个新‘1’格〞画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题①“1〞格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=A；②“1〞格不能漏画，否那么简化后的逻辑表达式与原式不相等；③圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个“与〞项相对应，圈数越少，表达式中的“与〞项就越少；④圈的面积越大越好，但必为2i个方块。因为圈越大，消去的变量就越多；⑤每个圈至少包含一个新的“1〞格，否那么这个圈是多余的。“可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有一个新‘1’格〞具有无关项的逻辑函数及其化简①约束项：恒等于0的最小项叫做约束项.②任意项：在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于l的那些最小项称为任意项。在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0，所以既可以把约束项写进逻辑函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为l时，函数值是l还是0无所谓。③逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可以写入也可以删除。④无关项在化简逻辑函数中的应用:合并最小项时，究竟把卡诺图上的“Ⅹ〞(或φ)作为1(即认为函数式中包含了这个最小项)，还是作为0(即认为函数式中不包含这个最小项)对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最少为原那么。AB00011110CD00011110

010000110ADAD(例2.2.4)化简具有约束的逻辑函数Y=

约束条件为

=0ABCD+ABCD+ABCDABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD举例:由真值表到表达式或与式:

②该函数F的标准或与式是由那些使F＝0

的所有输入变量组合所对应的最大项相与而成的，

即F(A，B，C)＝或写成：F(A，B，C)＝M0M3M5M6由上述两种标准式的组成可看出它们的实值跟真值表一样，就是要说明哪些输入变量组合使函数F=1，哪些输入变量组合使函数F=0.ABC00000101001110010111011101101001F函数F的真值表与或式:①

该函数F的标准与或式是由那些使F=1的所有输入变量组合所对应的最小项相或而成的，

即F(A，B，C)＝或写成：F(A，B，C)＝m1+m2+m4+m7

ABC+ABC+ABC+ABC(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)ABC+ABC+ABC+ABC=将F=(0,2,3,6)用最大项之积来表示ABC+ABC+ABC+ABC=F=(1，4，5，7)ABC+ABC+ABC+ABC=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）==M1M4M5M7=3(1,4,5,7)这里“∏〞表示逻辑“与〞运算，M3表示三变量的最大项。由该例可知，一个以最小项表示的逻辑函数F转换成以最大项表示的方法如下：先将F用最小项的形式表示，然后取与最小项有相同下标的最大项进行逻辑“与〞，即可得F的最大项表示形式.任何一个逻辑函数都可以用最大项之积来表示。下面用实例说明。解：对F两次求反，并利用根本公式得：卡诺图化简法：(例1)用卡诺图法求F1(A，B，C，D)=∑(0，2，4，7，8，10,12，13)的最简与或式。001011AB00011110CD00011110011111111图1-1F1的卡诺图F1=BD+CD+ABC+ABCD001011CD00011110AB00011110011111111图1-2F1卡诺图的另一种表示(例2)求F2(D，C，B，A)=∑(3，4，5，7，9，13，14，15)的最简与或式。001011DC00011110BA00011110011111111图2-1F2的卡诺图F2=DCB+DBA+DCB+DBA图3-1F3的卡诺图F3=AC+CD+BC+AC001011AB00011110CD000111100111111111111图3-2F3卡诺图的另种画法F3=AC+AB+AD+AC001011AB00011110CD000111100111111111111(例3)求F3(A，B，C，D)＝∑m(0，1，4，5，6，7，9，10，11，13，14，15)的最简与或式。001011AB00011110CD00011110000000000(例4)求F4(A，B，C，D)=(1,3,5,7,8,9,10,11)的最简或与式。注意：卡诺圈对应的是或项，写或项名称时见0写原变量，见1写反变量.解F4的卡诺图及对0方格卡诺圈的画法如下图。所得最简或与式：F4=(A+D)(A+B)A+BA+D1图5-1F5的卡诺图F5=AB+BC+AD001011AB0001111001111φφφ11φ(例5)求F5(A，B，C，D)=∑m(1，3，4，7,13,14)+∑φ(2,5,12,15)的最简与或式。1图6-1F6的卡诺图F6=(A+B)(A+C)(A+B)001011AB00011110CD000111100101000001010φφφ(例6)求F6(A，B，C，D)＝∑m(0,1,12,13,14)+∑φ(6,7,15)的最简或与式CD000111101图7-1F7的填1卡诺图最简与或式F7=C+BD+BD0010