不确定离散markov跳变系统的鲁棒模型预测控制设计

不确定离散markov跳变系统的鲁棒模型预测控制设计

0鲁棒模型预测控制器设计作为一种随机混合系统，marov跳跃系统存在于现实生活中，如制造系统、能源系统、通信系统和经济系统。而这些系统的特点是在其运行过程中常常会受到外部环境变化等随机突发因素的影响,从而使得系统的结构和参数会发生跳变,而在任意两次跳变之间,系统将按照线性规律演化。具体地,上述系统的模型是在各个模态下用连续状态方程描述,而模态间的跳变则遵循时间连续模态离散的Markov随机过程。近年来,输入饱和受限问题越来越引起人们的关注,原因是饱和是一种常见的非线性特性之一,其对系统的性能有很大的影响,如果在控制器设计时没有考虑饱和,那么系统运行到饱和区时,系统的稳定性就不可再预见。文献首次将非线性的饱和控制问题转化为凸包中的一组线性控制对一般的线性系统进行了研究,大大得降低了保守性。最近,文献用同样的方法研究了带有饱和执行器的跳变系统的镇定问题。模型预测控制是处理约束的有效控制策略,已经在工业领域得到广泛应用。基于跳变系统的模型预测控制也逐渐成为研究的热点,文献研究了确定的离散Markov跳变系统的预测控制问题,文献进而研究了有噪声输入的情形,文献研究了不确定离散Markov跳变系统的鲁棒预测控制。但是,具有饱和执行器的跳变系统的模型预测控制问题,目前还没有文献涉及。本文进一步考虑到工业过程中往往存在不确定性,对于系统参数和跳变模态均存在不确定性的离散饱和跳变系统,提出了鲁棒模型预测控制器的设计方法。在每一个采样时刻,将饱和约束转化为特殊的线性约束,此时的预测控制器的求解是一个正半定规划问题,利用线性矩阵不等式的求解工具,可以获得以状态反馈形式描述的预测控制律,最后仿真示例表明采用该方法所得的控制器使得所形成的闭环系统鲁棒均方稳定。1dflf型考虑一类离散时间Markov跳变系统xk+1=Aμ(rk)xk+Bμ(rk)ukΡr{rk+1=j|rk=i}=pt(i,j)(1)式中,rk是系统的模态;xk∈Rn是系统的状态向量,uk∈Rm是施加到被控对象上的控制输入向量,μ=[μ1,μ2,…,μL]T∈RL表示不确定参数向量,Aμ(rk),Bμ(rk)为含参数不确定性的增益矩阵,属于如下矩阵凸多面体集合Ω(rk)={L∑l=1μl[Al(rk),Bl(rk)],L∑l=1μl=1,μl≥0}(2)式中,Aμ(rk),Bμ(rk)是依赖模态rk的适当维数的矩阵,rk是取值于有限状态集S={1,2,3,…,N}的离散时间Markov链,其中一步转移概率阵为P={pt(i,j)},i,j∈S。假设跳变转移率并不确切已知,属于如下凸多面体集合。[pt(i,1),pt(i,2),⋯,pt(i,Ν)]∈Co{[p1(i,1),p1(i,2),⋯,p1(i,Ν)]⋮[pΜ(i,1),pΜ(i,2),⋯,pΜ(i,Ν)]}(3)式中,[pη(i,1),pη(i,2),…,pη(i,N)](η=1,2,…,M)是凸多面体的所有顶点,Co表示凸包。定义1称Markov跳变系统(1)是均方稳定的,如果对于任意初始模态r0和初始状态x0满足式(4)E{xΤkxk|x0,r0}→0(k→∞)(4)定义对称多面体ϕ(Hi)={xk∈Rn:|hiqxk|≤1,q=1,2,…,m}其中hiq表示矩阵Hi的第q行。另定义依赖于模态的椭圆Ω(Pi)={xk∈Rn∶xTkPixk≤1},其中Pi为正定对称矩阵。引理1给定矩阵Gk(i)∈Rm×n和Hk(i)∈Rm×n,如果xk∈ϕ(Hk(i)),则σ(Gk(i)xk)可以表示为σ(Gk(i)xk)=2m∑f=1θf(DfGk(i)+D-fΗk(i))xk式中,函数σ是标准的饱和函数,即σ(Gk(i)xk)=[σ(Gk1(i)xk),σ(Gk2(i)xk),⋯,σ(Gkm(i)xk)]Τ其中σ(Gkq(i)xk)=sign(Gkq(i)xk)min{1,|Gkq(i)xk|}sign(·)为符号函数,0≤θf≤1,2m∑f=1θf=1。令v为m×m的对角矩阵的全体,其对角线上的元素为1或者0。对v中的每个矩阵记作Df,f=1,2,…,2m,而D-f=(I-Df)显然如果Df∈v,则有D-f∈v。Df的作用在于取出Gk(i)的某几行加入约束,D-f保证了Hk(i)中对应的行不会起作用。根据排列组合的原理,v中总共有2m个元素。引理2设P∈Rm×m为正定对称阵,矩阵Ms∈Rm×n,s=1,2,…,r。如果r∑s=1ps=1且0≤ps≤1则有(r∑s=1psΜs)ΤΡ(r∑s=1psΜs)≤r∑s=1psΜΤsΡΜs(5)本文的目的是通过求解下式的无穷时域二次目标函数的最优解来获得控制量。mUkinmaxAl(i),Bl(i),pη(i,j),l,η≥0,i,j∈SJ∞(k)(6)式中,Uk=[uk|k,uk+1|k,…,u∞|k]为控制输入,J∞(k)=E{∞∑n=0[xΤk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+uΤk+n|kR(rk+n)uk+n|k]|x0,r0}其中xk+n|k,uk+n|k表示在k时刻对k+n时刻状态和输入的预测值,矩阵Q(rk+n),R(rk+n)为正定对称阵。由于不易直接求解min-max问题(6),因此通过先得到J∞(k)的上界,然后最小化此上界来求得控制变量Uk。2i,ki+dfyki+ki+d-1fki+ki考虑以下在每个采样时刻k对带有饱和执行器的跳变系统(1)的min-max问题minUkmaxAl(i),Bl(i),pη(i,j),l,η≥0,i,j∈SJ∞(k)(7)s.t.E{V(xk+n+1|k)|x0,r0}-E{V(xk+n|k)|x0,r0}≤-E{xΤk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+uΤk+n|kR(rk+n)uk+n|k|x0,r0}(8)式中,Vk(xk,rk)=xTkP(rk)xk为离散的随机李亚普诺夫函数。约束(8)的引入保证了系统存在一个鲁棒性能上界,并且其性能上界为Vk(xk,rk),这在引理3中将给出证明。引理3最优问题(7)等价于下面的SDP问题minγ,Τk(i),Yk(i),Ζk(i)γ(9)s.t.[1xΤkxkΤk(rk)]≥0(10)[1zkq(i)zΤkq(i)Τk(i)]≥0(11)[Τk(i)***Τk(i)γQ-1(i)**DfYk(i)+D-1fΖk(i)0γR-1(i)*Λk00Φk]η=1,2,⋯,Μ,l=1,2,⋯,L(12)式中,zkq(i)表示Zk(i)的第q行,Λk=[√pη(i,1)(Al(i)Τk(i)+Bl(i)(DfYk(i)+D-1fΖk(i))Τ,⋯,√pη(i,Ν)(Al(i)Τk(i)+Bl(i)(DfYk(i)+D-1fΖk(i))Τ]Τ,Φk=diag{Τk(1),⋯,Τk(Ν)}证明为了保证maxAl(i),Bl(i),pη(i,j),l,η,≥j∈SJ∞(k)有界,则有E{xT∞x∞|x0,r0}=0,进而可知E{V(x∞,∞)|x0,r0}=0。对式(8)从n=0到n=∞求和,可得maxAl(i)Bl(i),pη(i,j),l,η≥0,i,j∈SE{∞∑n=0[xΤk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+uΤk+n|kR(rk+n)uk+n|k]|x0,r0}≤xΤkΡk(rk)xk,因此优化问题(7)等价于最小化xTkPk(rk)xk。考虑饱和反馈控制律uk+n|k=σ(Gk(rk+n)xk+n|k)(13)将其代入不等式(8),可得E{[(Al(rk+n)xk+n|k+Bl(rk+n)σ(Gk(rk+n)xk+n|k))TPk+1(rk+n+1)×(Al(rk+n)xk+n|k+Bl(rk+n)σ(Gk(rk+n)xk+n|k))-XTk+n|kPk(rk+n|k)xk+n|k+xTk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+σ(Gk(rk+n)xk+n|k)T×R(rk+n)σ(Gk(rk+n)xk+n|k)]|x0,r0}≤0(14)假设xk+n|k∈Ω(Ρk(rk+n)γ),且Ω(Ρk(rk+n)γ)⊂ϕ(Ηk(rk+n))(15)则有引理1可知,uk+n|k=2m∑f=1θf(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))xk+n|k(16)将式(16)代入式(14)可得E{xΤk+n|k[ΞΤfkl(rk+n)Ν∑j=1pη(rk+n,j)Ρk+1(j)Ξfkl(rk+n)-Ρk(rk+n)+Q(rk+n)+ΨΤfk(rk+n)R(rk+n)Ψfk(rk+n)]xk+n|k|x0,r0}≤0其中Ψfk(rk+n)=2m∑f=1θf(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))Ξfkl(rk+n)=Al(rk+n)+Bl(rk+n)Ψfk(rk+n)由引理2可知,下式成立[Al(rk+n)+Bl(rk+n)(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))]Τ×Ν∑j=1pη(rk+n,j)Ρk+1(j)×[Al(rk+n)+Bl(rk+n)(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))]-Ρk(rk+n)+Q(rk+n)+[DfGR(rR+n)+D-fΗk(rk+n)]ΤR(rk+n)×[DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n)]≤0(17)令Τk(rk+n)=γkΡ-1k(rk+n)Yk(rk+n)=Gk(rk+n)Τk(rk+n)Ζk(rk+n)=Ηk(rk+n)Τk(rk+n)并对式(17)两边同乘Tk(rk+n),并假设rk+n=i,i∈S,利用Schur补可得式(12)。令xTkPk(rk)xk≤γ,从而通过最小化γ达到最小化xTkPk(rk)xk的目的,由Schur补很容易得到式(10)。满足式(15)的一个充分条件为hq(i)[Ρk(i)γ]-1hΤq(i)≤1(18)对式(18)利用Schur补可得[1γhq(i)Ρ-1k(i)(γhq(i)Ρ-1k(i))ΤγΡ-1k(i)]≥0(19)即得式(11),从而引理得证。由引理3可知,Gk(rk+n)=Yk(rk+n)T-1k(rk+n)为状态反馈控制器增益,且当η=1时,引理3就演变为只具有不确定系统参数的饱和跳变系统的鲁棒预测控制问题,同样,当L=1时,将演变为只含有不确定跳变转移模态的饱和跳变系统的鲁棒预测控制问题。更一般的情况,当η=L=1时,即引理3退化为一般的饱和跳变系统的预测控制问题,以上三种情形至今也还没有文献涉及。下面来分析鲁棒模型预测控制方法的稳定性。定理1设xk,rk是系统(1)在采样时刻k的状态和模态,则控制输入uk=σ(G*k(rk)xk)作用于跳变系统(1)所形成的闭环系统是鲁棒均方稳定的,G*k(rk)其中为从SDP问题(9)在采样时刻k求得的控制器增益。证明假设在k采样时刻,SDP(9)的解为γ*k,Y*k(rk),Ζ*k(rk),Τ*k(rk)从而有G*k(rk)=Y*k(rk)[Τ*k(rk)]-1Η*k(rk)=Ζ*k(rk)[Τ*k(rk)]-1Ρ*k(rk)=(γ*k)-1Τ*k(rk)Ψ*fk(rk)=2m∑f=1θf(DfG*k(rk)+D-fΗ*k(rk))Ξ*fkl(rk)=Al(rk)+Bl(rk)Ψ*fk(rk)从式(12)可知xΤkΡ*k(rk)xk≥xΤk[Ξ*fkl(rk)]Τ×Ν∑j=1pη(rk,j)Ρk+1(j)Ξ*fkl(rk)xk+xΤkQ(rk)xk+xΤk[Ψ*fk(rk)]ΤR(rk)Ψ*fk(rk)xk即E{xΤkΡ*k(rk)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k(rk+1)xk+1+xΤkQ(rk)xk+xΤk[Ψ*fk(rk)]ΤR(rk)Ψ*fk(rk)xk|x0,r0}(20)因为P*k+1(rk+1)是k+1时刻的最优解,所以有xΤk+1Ρ*k+1(rk+1)xk+1≤xΤk+1Ρ*k(rk+1)xk+1(21)由式(20)、式(21)式可知E{xΤkΡ*k(rk)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k+1(rk+1)xk+1+xΤkQ(rk)xk+xΤk[Ψ*fk(rk)]ΤR(rk)Ψ*fk(rk)xk|x0,r0}(22)从而,可知E{xTkP*k(rk)xk|x0,r0}是随时间非增的函数,考虑到R(rk)为正定的,当时k→∞,可得E{xΤkQ(rk)xk|x0,r0}→0(23)又由于βE{xΤkxk|x0,r0}≤E{xΤkQ(rk)xk|x0,r0}(24)式中,β=minj∈Sλmin(Q(j)),由式(23)式(24)可得当k→∞时,E{xTkxk|x0,r0}→0,从而定理得证。由定理1的证明可知,E{xΤkΡ*k(rk)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k(rk+1)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k+1(rk+1)xk+1|x0,r0}即椭圆Ω(Ρ*k(rk)γ*k)={xk∶xΤkΡ*k(rk)xk≤γ*k}为k时刻的闭环系统的不变集。具有饱和执行器的跳变系统的鲁棒模型预测控制具体算法如下。(1)在k时刻,测量xk,用Matlab中的线性矩阵不等式(LMI)工具箱中的mincx求解器来求解优化问题(9),从而得到G*k(rk)=Y*k(rk)[T*k(rk)]-1的值;(2)施加k时刻的控制作用uk=σ(G*k(rk)xk);(3)在k+1采样时刻,令k=k+1,重复步骤(1)、(2)。3[1.2.5]功能模型考虑文献中的跳变模型xk+