线性系统理论(第四章)

线性系统的能控性与能观测性线性系统的时间域理论第4章线性系统的能控性与能观测性60年代初，卡尔曼（R.E.Kalman）提出和研究了能控性和能控性和能观测性是系统的两个基本结构特征。4.1能控性和能观测性的定义对能控性和能观测性的直观讨论能观测性这两个重要概念。001每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意的能控性：状态是否可由输入影响。从物理的直观性来讨论能控性和能观测性。状态空间描述：输入和输出构成系统的外部变量，状态为系统的内部变量。始点达到原点，则是能控，反之不完全能控的。所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则是能观测性：状态是否可由输出反映。能观测的，反之不完全能观测的。002线性系统的能控性与能观测性全能控。例：给定系统的状态空间描述为：将其表为标量方程组的形式，有表明：和可通过选择输入而由始点达到原点，完全能观测的。输出只能反映，和无直接、间接关系，不完003线性系统的能控性与能观测性，输入取何种形式，如例：如图所示电路中，两个状态变量为两电容的端电压和，输入能够使或不能将和分别转移不同的任意目标值。者转移到任意目标值，但不可能做到使，，不完全能控。004线性系统的能控性与能观测性状态不能由输出反映，不完全能观测。例：如图所示电路中，若，当，即且为任意值时，必定有005线性系统的能控性与能观测性其中：为维状态向量，为维输入向量，为线性时变系统的状态方程能控性定义时间定义区间，和分别为和的元为的连续函数的矩阵。006线性系统的能控性与能观测性的一个非零初始状态，存在一个时刻，定义1：线性时变系统，如果对取定初始时刻，和一个无约束的容许控制，使状态由转移到时，则称此是在时刻为能控的。都是在时刻为能控的，则称系统在时刻是定义2：线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态完全能控的。007线性系统的能控性与能观测性态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不能控的，则定义3：线性时变系统，取定初始时刻，如果状称系统在时刻是不完全能控的。①使时刻的非零状态在上的一段有限时间转移到坐标解释：原点，对其轨迹不加以限制和规定。②无约束表示对输入幅值不加限制。容许控制表示输入的所有分量在上平方可积。008线性系统的能控性与能观测性③取定时刻，对时变系统是完全必要的，定常系统与的选取无关。④非零状态零状态，能控。

零状态非零状态，能达。线性定常系统能控等价能达。时变系统不能等价。⑤不完全能控系统，某些参数的很小的变动，可使其变为完全能控。009线性系统的能控性与能观测性其中：和分别为，能观测性表征状态可由输出的完全反映性，应同时考虑能观测性定义和的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。系统的状态方程和输出方程。010线性系统的能控性与能观测性研究能观测性问题，输出和输入都为已知，只有内部变状态方程解的表达式为量，即初始状态是未知的。输出响应的表达式为：011线性系统的能控性与能观测性也即系统的零输入方程：则研究的可由的完全估计性。令：的能观测性。等价于研究时由来估计的可能性。012线性系统的能控性与能观测性的一个非零初始状态，存在一个有限时刻，定义1：线性时变系统，如果对取定初始时刻，使对所有有，则称此在时刻是不能观测的。都不是时刻的不能观测状态，则称系统在时定义2：线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态刻是完全能观测的。013线性系统的能控性与能观测性态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不能观测的，则定义3：线性时变系统，取定初始时刻，如果状称系统在时刻是不完全能观测的。4.2线性连续时间系统的能控性判据其中：为维状态向量，为维输入向量，和分线性定常系统的能控性判据别为和常阵。状态方程014线性系统的能控性与能观测性线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，结论1：[秩判据]其中，为矩阵的维数。称为系统的能控性判别阵。015线性系统的能控性与能观测性其中：为维状态向量，为维输入向量，和线性时变系统的能控性判据分别为和的时变矩阵且满足解的存在线性时变系统，状态方程为唯一性条件。016线性系统的能控性与能观测性设和是阶连续可微的，则线性时变结论1：[秩判据]系统在时刻为完全能控的一个充分条件是，存在一个有限时刻使成立：017线性系统的能控性与能观测性其中：018线性系统的能控性与能观测性例：考虑如下的线性时变系统：判断系统的能控性。019线性系统的能控性与能观测性通过计算，求出020线性系统的能控性与能观测性因为对的秩为3，所以系统在时刻是完全能控的。021线性系统的能控性与能观测性4.3线性连续时间系统的能观测性判据其中：为维状态向量，为维输出向量，和分线性定常系统的能观测性判据别为和常阵。时的状态方程和输出方程022线性系统的能控性与能观测性线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是，结论1：[秩判据]其中，为矩阵的维数。称为系统的能观测性判别阵。或023线性系统的能控性与能观测性其中：为时间定义区间，和分别为和线性时变系统的能观测性判据的时变矩阵。线性时变系统024线性系统的能控性与能观测性设和是阶连续可微的，则线性时变结论1：[秩判据]系统在时刻为完全能观测的一个充分条件是，存在一个有限时刻使成立：025线性系统的能控性与能观测性其中：026线性系统的能控性与能观测性4.4对偶性原理其中：状态，输入和输出分别为，对偶系统和的列向量。考察线性时变系统027线性系统的能控性与能观测性为系统的对偶系统，其中协状态、输入和输出分别为、和的行向量。定义如下构成的线性时变系统：028线性系统的能控性与能观测性线性定常系统相应的对偶系统和之间有着如下的一些对应关系。029线性系统的能控性与能观测性①令为系统的状态转移矩阵，为其对偶系统的状态转移矩阵，则必成立：②系统和对偶系统的方块图是对偶的。030线性系统的能控性与能观测性③系统的运动是状态点在状态空间中由至的正时向转移，而对偶系统的运动是协状态在状态空间中由至反时向转移。对偶性原理系统和其对偶系统在能控性和能观测性上具有对应结论关系。的完全能控等同于的完全能观测。的完全能观测等同于的完全能控。031线性系统的能控性与能观测性4.5能控规范形和能观测规范形：成标准形式，称为能控规范形或能观测规范形。能控规范形完全能控或完全能观测系统，构造一个非奇异变换阵，变换完全能控的单输入—单输出线性定常系统单输入—单输出情形其中，为常阵，和分别为和常阵。032线性系统的能控性与能观测性完全能控特征多项式为定义如下个常数则033线性系统的能控性与能观测性构造如下的变换阵在系统为能控的条件下是非奇异的。034线性系统的能控性与能观测性结论：对完全能控的单输入—单输出线性定常系统，引入线性非奇异变换，即可导出其能控规范形为：035线性系统的能控性与能观测性其中：036线性系统的能控性与能观测性例：给定能控的单输入—单输出线性定常系统为：定出其特征多项式037线性系统的能控性与能观测性和常数则能控规范形为038线性系统的能控性与能观测性变换阵039线性系统的能控性与能观测性能控规范形中的状态向量为040线性系统的能控性与能观测性能观测规范形完全能观测的单输入—单输出线性定常系统特征多项式为常数如前041线性系统的能控性与能观测性能观测，则能观测性和能控性间的对偶关系，则能观测性规范形的变换阵为：状态完全能观测，为非奇异的。042线性系统的能控性与能观测性结论：完全能观测的单输入—单输出线性定常系统，引入线性非奇异变换，即可导出其能观测规范形为：043线性系统的能控性与能观测性其中：044线性系统的能控性与能观测性例：能观测的单输入—单输出线性定常系统为：先定出其特征多项式045线性系统的能控性与能观测性常数则能观测规范形为046线性系统的能控性与能观测性变换阵047线性系统的能控性与能观测性讨论①能控规范形和能观测规范形中，与特征多项式的系数有直接联系。等价的完全能观测系统具有相同的能观测规范形。②代数等价的完全能控系统具有相同的能控规范形，代数048线性系统的能控性与能观测性4.7线性系统的结构分解不完全能控和不完全能观测系统。能控+不能控结构分解，有助于更深刻地了解系统的结构特性，揭示状能观测+不能观测能控能观+能控不能观+不能控能观+不能控不能观态空间描述与输入—输出描述间的本质差别。049线性系统的能控性与能观测性能控性和能观测性在线性非奇异变换下的属性设为对进行线性非奇异变换所导出的结论1结果，两者之间成立：其中为非奇异常阵。则必成立：和为能控性矩阵，和为能观测性矩阵。050线性系统的能控性与能观测性对线性系统作线性非奇异变换，不改变系统的能控性和能观测性，也不改变其不完全能控和不完全能观测的程度。线性定常系统按能控性的结构分解不完全能控的多输入—多输出线性定常系统其中：为维状态向量，051线性系统的能控性与能观测性能控性判别矩阵：任意地选取个线性无关的列，记为，另任中，意地选择个列向量，记为，使它们和为线性无关。组成变换矩阵：必是非奇异的。052线性系统的能控性与能观测性不完全能控系统，引入线性非奇异变换即可导出结论系统结构按能控性分解的规范形表达式。其中，为维能控分状态向量，为维不能控分状态向量。053线性系统的能控性与能观测性系统为不完全能控。例：给定线性定常系统054线性系统的能控性与能观测性在中取线性无关的列再任取构成矩阵：为非奇异。055线性系统的能控性与能观测性计算：056线性系统的能控性与能观测性按能控性分解的表达式为：057线性系统的能控性与能观测性①系统被分解为能控部分和不能控部分，其中，能控部分为讨论如下的维子系统：而不能控部分为如下的维子系统：058线性系统的能控性与能观测性②控振型，另一部分为的特征值，称为系统的不能控振型。外输入的引入，只能改变能控振型的位置，而不能改变不特征值由两部分组成，一部分为的特征值，称为系统的能能控振型的位置。059线性系统的能控性与能观测性③能控分解方块图060线性系统的能控性与能观测性不能控部分，即不受输入的直接影响，也不受其间接影响。④变换矩阵，可有多种选取方法，可导出多个分解结果。线性定常系统按能观测性的结构分解不完全能观测的线性定常系统其中：为维状态向量，061线性系统的能控性与能观测性能观测性判别矩阵：任意地选取个线性无关的行，记为，另任中，意地选择个行向量，记为，使它们和为线性无关。组成变换矩阵：062线性系统的能控性与能观测性必是非奇异的。063线性系统的能控性与能观测性不完全能观测系统，引入线性非奇异变换则可导出结论系统结构按能观测性分解的规范形表达式。其中，为维能观测