《基本不等式的应用-证明与最值问题》导学案

《基本不等式的应用—证明与最值问题》导学案情景引入情景引入新知导学基本不等式与最值x＋y＝s定和⇒__xy≤4__(当且仅当预习自测1．设a>0，b>0，若a＋b＝4，则a＋b的最小值为(C)A．29C．47B．4D．3范围是(B)πA．0<B<-4πC．0<B≤-2πB．0<B≤-3π∴cosB==8ac－4≥8ac－4＝2，当且仅当a＝c时，等号成立.πa＋ba＋ba+2a＋ba＋ba+b∴a＝4，b＝4.∴所求最大值为4.H命题方向1不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法abc(a＋b＋c).[分析]本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换a→b→c→a后表达获解.＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2＋c2)≥2ab2c2b2等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证.试证下列不等式＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.(2)∵a、b、c∈R+.—因为─≥ab>0，─成立，所以2 2成立，所以2[点评]不能直接应用基本不等式证明的不等式和连续两次使用基本不等式等号不能用基本不等式的条件.命题方向2求参数的取值范围问题，＋b－c的最小值问题．观察其构成规律可以发现a－c＝(a－b)＋(b－不等条件的形式.因此，原不等式等价于a－b＋a－b+a－b++=+=2++——当且仅当a－b＝b－c，即当2b＝a＋c或a结记忆.+____2－1≥x＋y2－1≥1，解得a≥2.故a的最小值是2.易混易错警示Yihunyicuojingshi忽视等号成立的条件而致误易混易错警示例题3求函数y＝的最小值.[错解]y[辨析]误解中忽视了判定等号是否成立.1[正解]y1x2＋4，∵x2＋4≥4，∴t≥2.∴y＝t＋t在[2∞)上为增函数，∴当t＝25时，函数取最小值2．学科核心素养均值不等式在实际问题中的应用例题4某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．xx＝2430.即设计x＝50m，y＝60m时，运动场地面积最大，最大值为2430m2．课堂达标验收A．10B．252．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(A)222D．v2A．100B．50C．20D．1022ax4．已知函数f(x)＝4x＋(x>a，a>0)在x＝3时取得最小值，则axa＝4×32＝36.A级基础巩固一、选择题bb-a2b2＋1-a2b|＝|a|＋|a|≥2，等号成立时|a|＝|a=2，12．已知a>0，b>0，且2是2a与b∴ab≥2.故选B.3．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(A)A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处k4．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(3A．7B．39C．1＋22D．5x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7，1当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝3时等号成立．故选A.二、填空题45．若x<3，则实数f(x)＝x－3＋x的最大值为__－1__.4=-[3－x＋(3－x)]＋34≤-24当且仅当3－x＝3－x，即x＝1时取“＝”号.∴f(x)的最大值为－1.每次都提价2%，若p>q>0，则提价多的方案是__乙__.乙.三、解答题7．(如图)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少[解析]设矩形的一边长为xm，则另一边长为xm，因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m，长为(x－2)m.l-,得4<x<400，当且仅当2x＝x，即x＝40∈(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长为40m,20m时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m2.22[证明]∵a、b、c∈R＋，b，c，a均大于0，22又b＋b≥2b又b＋b≥2ba--2三式相加得b＋b＋c＋c＋a＋a≥2a＋2b＋2c，2一、选择题最小值为(D)5la＋b＝1lb＝.上述三个式子恒成立的有(B)A．0个B．1个C．2个D．3个2二、填空题3．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760__元.4x[解析]设水池池底的一边长为xm，则另一边长为m，则总造价为：x4≥480＋320×2x×x＝1760.4xx所以水池的最低总造价为1760元.4．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__[9，+∞)__.-3≥0，∴ab≥3或ab≤-1(舍去)，∴ab≥9.三、解答题5．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价+20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.∴6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0.∴0<S≤10，∴0<S≤100.故S的取值范围是(0,100].答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值15m.≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号．1．(2018－2019学年度山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝x－x100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；(2)为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范(40000＋16x)＋4360(10＜∴W≤－1600＋4360＝2760，即年利润的最大值为2760万元．x(2)W16x＋4360≥2x整理得x2－125x＋2500≤0．故为了让年利润W不低于2360万元，年产量x的范围是[25,100)．2．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400t，最多为600t，月处理成本y(元)与月处2理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每2得到可利用的化工产品价值为100元.(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补[解析](1)由题意可