【数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）课件-2023-2024学年高一上数学人教A版（2019）必修第一册

5.5三角恒等变换

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角差的余弦公式一问题1

已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.提示

P(cosα，sinα).问题2

观察右图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？提示

A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1.问题3

你还记得初中所学两点间的距离公式吗？提示平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝

，由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.化简得cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβ两角差的余弦公式cos(α－β)＝

，其中α，β为任意角，简记作C(α－β).注意点：(1)该公式对任意角都能成立.(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和.(3)公式的逆用仍然成立.cosαcosβ＋sinαsinβ例1.利用公式C(α-β)证明:例题探究

证明：例1

(1)cos15°的值是√例题探究1利用公式给角求值跟踪训练1

求下列各式的值：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]例题探究2整体法给值求值问题

跟踪训练2整体法给值求值问题

√给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝(α＋β)－β；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).∵β＝α－(α－β)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)课堂小结cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβ两角差的余弦公式：两角差的余弦公式应用：给角求值给值求值问题1

请同学们写出两角差的余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.问题2

试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？提示我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosα·cos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，于是我们得到了两角和的余弦公式.cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβ两角差的余弦公式：cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosα

cos(-β)

+sinα

sin(-β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβPART1两角和与差的余弦公式对于任意角α，β有cos(α-β)=cosα

cosβ

+si