导数与导函数

函數極限的定義當函數f(x)定義域中的x逐漸趨近於定數a時(x≠a)

則對應的函數值f(x)也逐漸趨近於α，

即若x→a(x≠a)，則f(x)→α此時我們稱為x趨近a時，f(x)的極限為α，記為極限的運算性質函數極限的求法(f(x)為多項式、有理式或根式)(1)函數值不會出現分母為0的情形，

以x＝a直接代入f(x)，。(2)以x＝a直接代入，函數值出現的情形

通常要把使分子、分母產生0的公因式約去之後，

再把x＝a代入，便可求得極限。(3)以x＝a直接代入，函數值出現的情形

此時因根號之故

無法將分子、分母產生0的公因式找出，

則以有理化方式處理，便可求得此公因式。例題左極限、右極限(1)當x>a且x→a(x從a的右側趨近a)，我們稱為f(x)於a的右極限，記作。(2)當x<a且x→a(x從a的左側趨近a)

，我們稱為f(x)於a的左極限，記作。極限存在當左極限與右極限相等時

則極限存在極限不存在當左極限與右極限不相等時

當左極限或右極限不存在時

此時稱極限不存在函數的連續性函數f(x)若滿足下列三個條件，則稱函數f(x)於點x＝a為連續：(1)f(a)存在(2)存在(3)注意：如有任一項不滿足，則稱不連續圖形分類Continue(連續型)

圖形上每個所在點處極限均存在DifferentialFunctionSmoothFunctionSmoothCurveContinuousFunctionContinueFunctionwithCornerJump(跳躍型)

跳躍處左右極限不相等Jumpatx=1DiscontinuousFunctionStepFunctionRemoved(跳空型)

跳空處左右極限存在且相等，

但該點值不同或不存在DiscontinousFunctionwithRemovedPointatx=1RemovedataPointx=1WithaCorneratx=1DiscontinuosFunction導數與導函數導數的定義我們稱極限值

為f(x)在x＝a處的導數，

以f'(a)表示之，即亦可說f(x)在x＝a處是可微分的導數的定義在導數的定義中，設x－a＝h，則x＝a＋h，當x→a時，意指h→0，那麼f(x)在x＝a的導數我們也可以表示成：

為函數f(x)在區間[a,b]的平均變化率。為函數f(x)於a的瞬時變化率。導數的意義導數的物理意義(1)位移函數f(t)在t＝a處的導數為此運動物體在時刻a的瞬時速度。(2)速度函數v(t)在t＝a處的導數為此運動物體在時刻a的瞬時加速度。導數的幾何意義曲線y＝f(x)在x＝a的導數f'(a)，即為此曲線在點(a,f(a))的切線斜率。如果定義域任一處，函數f(x)的導數

均存在，此時形成一個新的函數，

我們就稱為f(x)的導函數。

亦可說f(x)是可微分的

求導函數的過程稱為微分。函數y＝f(x)的導函數，有下列的表示方法：導函數

對於

導數、導函數、微分、可微分這些名稱，

實際上是指同樣的概念，

只是名詞、動詞、形容詞的差別而已。可微分與連續的關係(1)可微分的函數必定是連續。(2)連續函數不一定可微分。例如：函數f(x)＝│x│在x

＝0處雖然為連續，但是在x

＝0處卻不可微分，所以函數f(x)＝│x│不是一個可微分函數。可微分函數

可微分函數(DifferentialFunction)，

亦可稱為平滑函數(Smooth

Function)，

其圖形稱為平滑曲線(Smooth

Curve)DifferentialFunctionSmoothFunctionSmoothCurveContinuousFunction不可微分的函數Jump(跳躍型)

Stepfunction(階梯函數)

Corner(尖角型)

Continueos

RemovedJumpatx=1DiscontinuousFunctionStepFunctionDiscontinousFunctionwithRemovedPointatx=1ContinueFunctionwithCornerRemovedataPointx=1WithaCorneratx=1DiscontinuosFunction微分公式(1)公式1：若f(x)＝xn，則(n為自然數)公式2：若f(x)＝k，則(k為常數)公式3：若y＝kf

(x)，則(k為常數)微分公式(2)公式4：若y＝f(x)＋g(x)，則y＝f'(x)＋g'(x)公式5：若y＝f(x)－g(x)，則y＝f'(x)－g'(x)公式6：若y＝f(x)g(x)，則y＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)公式7：若，則連鎖規則(1)設y＝g(f(x))，且f‘(x)、g’(f

(x))均存在，

則y‘＝g’(f

(x))×f‘(x)即

(2)設n為有理數，f(x)為可微分函數，若y＝(f(x))n，則y'＝n(f(x))n－1×f'(x)第一、二階導函數(1)對一般可微分的函數f(x)而言，其導函數為f'(x)，或者記為(2)若函數f'(x)仍可微分