高数数一讲导数概念

第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解n

阶导数的概念，会求常见函数的n

阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第一节导数的概念第四章一元函数的导数与微分一.导数产生的背景二.导数的概念三.导数存在的必要条件四.函数的增量与导数的关系请点击一.导数产生的背景

1.

物理背景2.几何背景请点击1.物理背景在真空中,当时间由t变到t+

t时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为物体由t到t+

t一段的平均速度是例1求物体在时刻t的瞬时速度

vt,就是令

t0的极限过程：从物理学看,当

t0时,应该有这是否也说明了一个什么问题?Pl

l力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.直线的一端为原点,线段OP的长度为l,质量为m,则m是l的函数：m=f(l).求点P处的线密度

.O例2给l一个增量

l,则

l这一段

(

PP')的平均密度是而在P点处的线密度就是

l0平均密度的极限：比较两个极限式：与

平面曲线上切线的概念割线PQ切线PT切点2.几何背景—

平面曲线的切线问题沿曲线趋近于点

A时的极限位置.平面曲线y=f(x)的切线：曲线在点

A(x0,y0)处的切线AT

为过曲线上点

A的任意一条割线AA’

当点

A’(x0+

x,y0+y)定义切线方程:其中,(1)建立一个函数关系y=f(x)xI.(2)求函数由x0到x0+

x的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求

x0的极限：小结二.导数的概念1.导数的定义3.导函数2.左、右导数4.导数的几何意义请点击设函数f(x)在

U(x0)有定义,且

x0+

xU(x0).则称函数f(x)在点

x0处可导,极限值a称为

f(x)在如果极限存在,点x0处的导数.记为定义1.导数的定义k0为常数.如果函数f(x)在点

x0处可导,则设函数f(x)在[x0,x0+

)内有定义,若存在,则称a为f(x)在点x0处的右导数.记为2.左、右导数定义设函数f(x)在(x0–

,

x0]内有定义,若存在,则称a为f(x)在点x0处的左导数.记为定义定理好像见过面啊！3.导函数若

x(a,b),函数

f(x)皆可导,则说

f(x)在(a,b)内可导.这时

f(x)是关于x的一个新函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：定义函数在点x0I处的导数:若f(x)在

(a,b)内可导,且

存在,则称

f(x)在[a,b]上可导,f

(x)称为

f(x)在

[a,b]上的导函数,简称为导数.

先求导、后代值.定义4.导数的几何意义此时,切线方程为:函数f(x)在点x0的导数f

(x0)就是对应的平面曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率

k:yOxx0y=cf

(x0)=0yOxf

(x0)=

x0Oxyx0yOxx0f

(x0)不存在f

(x0)不存在切线平行于x轴：曲线y=f(x)在点x0处的切线可能平行于x轴、垂直于x轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x轴：（曲线为连续曲线）在点

x0处无切线：f

(x0)不存在.在任意一点

x处,有在点(1,

1)

处故所求切线方程为：求曲线y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点

(1,1)

处的切线方程.即

y=2x–1.y–1=2(x–1),例3解三.导数存在的必要条件设f(x)在点

x0可导,即有于是故函数f(x)在点x0可导的必要条件是它在点

x0连续.只是必要条件！定理y=|x|在点x=0连续,但不可导.故f

(0)不存在.y=|x|Oxy例4解在点x=0处的连续性和可导性.又

当n

N时,函数在在点x=0处连续.例5解当n=1时,不存在,故n=1时,函数在x=0处不可导.当n>1时,故n>1时,函数在

x=0处可导.其导数为

f(x)在x=0处可导,从而f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1

f(x)在x=0处连续,f(0)=a.例6解设a+bx,x0求

a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可导,由可导性：故b=–1,此时函数为f(x)=1

x,x≤0e–x,x>0四.函数的增量与导数的关系可表示为

y=f'(x0)

x

+o(

x).若函数f(x)在点x0

处有

(

有限

)

导数

f

(x0),则函数f(x)在该点的增量

y=f(x0+

x)

f(x0),定理得故证由