【课件】等差数列的概念（第一课时）课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列4.2.1等差数列的概念

（第一课时）

在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.

下面我们从一类取值规律比较简单的数列人手，研究几个问题中的数列：第四章数列【情景1】北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为：9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】

测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为：

25.0,24.4,23.8,23.2,22.64.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④思考上述4个数列的取值规律是什么？有何共同点？9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

34，36，38，40，42，44，46，48②25，24，23，22，21．

③ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④追问：你能写出①它的递推公式吗？an+1-an=9如果用{an}表示数列①，则有：a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列.①这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.d

=a2－a1=a3－a2=…=an－an-1(n≥2)②等差数列的递推公式：an－an－1=d

(n≥2)思考：以下4组数列有什么共同的取值规律？【情景1】9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】25.0，24.4，23.8，23.2，22.6【情景4】ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...公差d=9公差d=2公差d=﹣0.6公差d=﹣br等差数列的文字语言

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.等差数列的符号语言：

an－an-1

=

d

(d是常数,n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(d是常数,n∈N*)注意：1.判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-

an

是不是同一个常数.2.公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，千万别把顺序弄颠倒了！而且公差可以是正数，负数，也可以为0.

2.等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.1.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差.2.求下列各组数的等差中项:课本P15探究你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义,可得an+1－an=d等差数列的递推公式所以a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，‧‧‧于是a2=a1＋d，a3=a2＋d=(a1＋d)＋d

=a1＋2d，a4=a3＋d=(a1＋2d)＋d

=a1＋3d，‧‧‧‧an=a1＋(n－1)d，(n≥2)当n=1时，a1=a1＋(1－1)d=a1，也就是说，上式当n=1时也成立.这时，我们把an=a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.迭代法等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得:a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－an－1＝d，即a2＝a1＋d；即a3＝a2＋d＝a1＋2d；即a4＝a3＋d＝a1＋3d；即an＝a1＋(n－1)d；将以上n－1个式子累加得，等差数列的通项公式为:an＝a1＋(n－1)d.不完全归纳法累加法an+1-an=d练习：

求下列等差数列的通项公式（1）9，18，27，36，45，54，63，72...（2）38，40，42，44，46，48...（3）25，24，23，22，21.

（1）an=9+（n－1）×9=9n

（2）an=38+（n－1）×2=2n+36（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；等差数列的通项公式a1

、an、n、d知三求一首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．在数列{an}中,

an=pn+q(p、q是常数)，证明数列{an}是等差数列.证明:an+1－an=[p(n+1)+q]－(pn+q)=

p(n∈N*),故该数列为等差数列.结论：数列{an}是等差数列⟺an=pn+q(p、q是常数).问题

我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）①4个量an、a1、n、d，可“知三求一”．②d≠0时，an=dn+(a1－d)可看成an关于n的一次函数(形式:an=kn+b)．①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.③等差数列{an}的单调性与公差d有关.当d>0时，等差数列{an}为递增数列；

当d＝0时，等差数列{an}为常数列；

当d<0时，等差数列{an}为递减数列．

an＝a1＋(n－1)d.例1(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;

(2)求等差数列8，5，2，···的第20项.解:(1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)

＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，

a1＝5－2＝3.∴{an}公差为－2，首项为3.(2)由已知条件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋

(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.例2－401是不是等差数列－5，－9，－13，···的项？如果是，是第几项？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得数列{an}的通项公式为

an＝a1＋(n－1)d

＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

设

－4n－1＝－401，解得

n＝100.

∴－401是这个数列第100项.例3.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.思考:an=a1

+(n-1)dam=?an-am

=?推论：an=am+(n－m)d,n≠m【求公差的方法】(两项差除以下标差)设基本量法(方程组法)等差中项的定义和性质

当堂练习(1)证：(2)解：练习：已知数列{an}满足

，

，

.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．

方法符号语言结论定义法{an}是等差数列