【数学】等差数列的性质及应用（第二课时）课件 2023-2024学年高二上人教A版（2019）选必二

第四章数列4.2.1等差数列的性质及应用

（第二课时）复习引入1.等差数列的定义

2.等差中项的定义如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

3.等差数列的通项公式2A=a+b4.等差数列的函数特征

函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.例1

已知等差数列{an}的首项a1=2,d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

(1)求数列{bn}的通项公式.

(2)b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,请说明理由.

l

4.已知数列{an},{bn}都是等差数列,公差分别为d1,d2,数列{cn}满足cn=

an

+2bn

.

(1)数列{cn}是否是等差数列?若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求数列{cn}的通项公式.课本P175.已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?

(2)依次取出数列中的所有奇数项(偶数项),组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?

(3)依次取出数列中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列,它是等差数列吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?课本P17d

cd

pd

等差数列

即若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m

，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为

的等差数列偶数列{a2n}也是等差数列，公差为2d，奇数列{a2n-1}也是等差数列，公差为2d.md等差数列的性质35问题1

观察等差数列:2,4,6,8,10,12,14,16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？

问题2观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？探究：对于等差数列:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,…说出a4是哪两项的等差中项？观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.证明：证明上述猜想。反例：常数列如：a2+a8＝2a5如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7误区1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22(×)误区2：若{an}为等差数列,am+an＝ap+aq,则m+n＝p+q(×)与首末项“等距”的两项之和等于首末项的和反例:常数列思考例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗?nanO‧‧‧‧spqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)问题4

2+3=5，a2+a3=a5成立吗？【注】等式两边作和的项数必须一样多！不成立练习

已知

a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.法1：∵∵法2：设此数列的公差为d,根据题意得：[P16-例3]某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备使用年限为10年，超过10年它的价值将低于进价的5%，设备将报废，请确定d的范围。解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，依题意得an－an－1=﹣d(n≥2)，即{an}是公差为﹣d的等差数列.∴an=220－d+(n－1)(﹣d)=220－nd.[引例]首项为-21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，求公差d的取值范围.a1=220－d，例4已知等差数列{an}的首项a1=2,d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

(1)求数列{bn}的通项公式.

(2)b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,请说明理由.例5、已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解：设等差数列的前三项分别为

，

，

，即

，

，.则

，解得

，又∵{an}是递减等差数列，所以d<0.故

，

，通项公式.令

，解得

，所以-34是数列的第10项.例6

(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数．练习（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80，求这三个数；（2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两个数的积为70，求这四个数.(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出.(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.等差数列的设项方法和技巧:D201.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用an表示第n排的座位数吗?第10排有多少个座位?nanO•1569121518•2••••3463课本P173.在等差数列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.课本P17性质：在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝...＝ai＋an＋1－i＝...2．由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有dcd2dpd＋qd′总结：课堂检测：1.在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(

)A．9

B．12C．15D．18AC3.已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为(

)A．0B．37C．100D．－37C2.如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14B．12C．28D．364.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(

)A．11.5B．12.5C．13.