中学数学解题策略

浅谈数学解题策略数学与计算机科学学院数学与应用数学105012010042蔡明权目录中文摘要…………P1引言………………P11.化归转化策略…………………P22.正难则反法策略………………P33.枚举与筛选策略………………P44.类比与猜想策略………………p55.归纳与猜想策略………………P76.英文摘要………P9【摘要】：数学解题策略是为实现解题目的而确定的采取的行动方针、方式和方法。实践表明：认真审题，仔细观察是制定策略的主要手段；逻辑是制定策略的有力工具；数学知识是制定策略的主要依据；实践及其他学科知识是制定策略的丰富源泉.【关键词】：数学解题；审题；观察；逻辑；知识；策略引言大多数情况下，数学解题接触的并不是标准的模式化了的问题，而是需要创造性思维才能解决的.这就注定在数学解题活动中必然有策略问题.策略是总体的行动方针.解题策略是指解答数学问题时，总体上所采取的方针、原则和方案.解题策略不同于具体的解题方法，它是指导方法的原则，是对解题途径的概括性认识和宏观把握，体现了选择的机智和组合的艺术，因而是最高层次的解题方法.

策略反映了计谋，虽然数学解题具有较一般的、常用的某些策略，但是，是否了解和掌握这些策略，能否运用它们指导解题，效果却是不一样．没有策略的解题是盲目、无序的，有策略的解题则是有预谋的．

数学解题没有标准化的模式，但它有着不同的解题策略.数学解题策略包括:模型策略、化归转化策略、归纳策略、演绎策略、类比策略、数形结合策略、差异分析策略、正难则反策略……策略往往不止一个，还需要解题者进行策略决策．下面我将对化归转化策略、正难则反策略、枚举与筛选策略、类比与猜想以及归纳与猜想进行详细论述.1.化归转化策略化归转化策略涉及三个基本要素，即化归的对象，目标和方向.化归的对象就是我们所面临的数学问题，化归的目标就是某一已知数学模型，化归的方向就是数学思想方向.1.化繁为简（以“有理化因子”为转化条件）尽可能的使问题变得简单一点，是解题的一种最基本的要求.例1.已知的值.【分析】：若将的值直接代入计算，比较繁琐，难以计算出准确结果，不难发现的有理化因子为，如果将参与计算，将用和、积德形式表示出来，然后用整体和、积的形式将原式转化，则可解题.解：设，则=2.化生为熟例1.(2005年全国高中数学联赛试题第11题)若正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x2上,则该正方形面积的最小值为_______________【解析】：我们可以采用解析几何中的常规方法去处理,利用弦长公式与点到直线距离公式去求解.如果考虑到正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质,则不妨可以从复数角度去处理问题.解：不妨设点在抛物线上,在直线上令=从而又∵在直线上,∴①又∵//∴,则②联立①②解得或∴∴【点评】：正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质的相关性是我们产生联想的基础，而对知识之间联系的熟悉程度是我们能顺利化归的保证.3.主元转化例1．若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围.【解析】：，恒成立.令，则要使它对均有，只要有解得：【点评】：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.2.正难则反策略数学问题千差万别、千变万化，如果拘泥于某几种习惯，是不会游刃有余的．解题时，人们思考的习惯大多是正面的，顺向的，可有些数学问题如果正面的、顺向进行，则难以解决，这时就应转为反面的、逆向思考，这就是正难则反策略．这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，肯定命题有困难时就转而举反例加以否定．这种逆反转换式思维实际上是一种逆向思维，体现了思维的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一．例1.设为实系数二次函数，试证明：中至少有一个不小于.【分析】：三个数中至少有一个不小于的情况有7种，而三个数都小于的情况只有一种，可见“正面”复杂，“反面”简单，所以应该走正难则反的道路.证明：假设同时有，则：①②③①+③得：，④②得：⑤④与⑤矛盾，所以结论成立.例2：已知集合，，若，求实数的取值范围.【分析】：说明集合是以方程①至少有一个实根是大于的元素组成的非空集合，方程①的实根分三种情况两正；一正根一零根；（3）一正根一负根，分别求解十分麻烦，这时采取“正难则反”的解题策略，即在为全集的情况下，求出方程①两根均为非正时的取值范围,最后利用“补集”思想求解：设全集==，若方程的两根皆为非正，即,由韦达定理得：又，故集合在中的补集为，即所求的取值范围为.【点评】:本题运用的“正难则反”的解题策略，正是运用了“补集”思想，对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的数学问题，就从问题的反面入手.一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用补集的思想方法.3.枚举法策略当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举法来解题，枚举法策略要求逐个考察了某类事件的所有可能情况，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的.例1.乒乓球团体比赛，采取五盘三胜制，即两个队进行比赛，哪个队先胜了三盘就取得了比赛的胜利，现在两队进行比赛，A队最终获胜，请问：各盘的胜负情况有多少种可能？【分析与解】：两个队的总比分有种情况，即：①队以胜；②队以胜；③队以获胜.这样，我们就可以分三类，画枝形图枚举出各盘的胜负情况.若队以胜，只能有一种情况，可以表示为说明共比赛盘，都是队获胜。若队以胜，说明共比赛盘，所以有种可能，可以这样画枝形图（如图1）.图1图2若队以胜，说明共比赛盘，队胜了盘.可能队先胜第一盘，也可能有队先胜第一盘.请你按这两类考虑后面盘的胜负情况，在括号内填胜队字母，完成枝形图（如图2）.所以各盘的胜负情况有（种）可能.这道题，我们先从整体上进行分类，然后画枝形图枚举出每一类中的可能情况，这种枚举方法可以帮助我们解答一些比较复杂的计数问题.例2、对自然数列进行淘汰.淘汰原则是：凡不能表示为两个合数之和的自然数均被淘汰.如：“”应被淘汰，但可以写成两个合数与的和，不应被淘汰.那么保留下来的数从小到大数下去，第个数是多少？【分析与解】：根据题意，要想直接考虑第个数是多少，比较困难，我们可以从反面枚举出所有被淘汰的数，知道淘汰了几个数，就能求出剩下的第个数是多少了.首先根据按从小到大的顺序找出三个偶合数，再找出最小的奇合数，填在下面括号内.偶合数：；最小的奇合数是,因为,说明从开始的偶数都能写成两个合数的和不能被淘汰.而,说明从开始的奇数也都不应被淘汰.所以被淘汰的数有共有个.所以保留下的第个数是.注：本题如果从正面进行解答，其过程中存在大量的可能答案，而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分，正面进行枚举肯定是行不通的，因此本题考虑从问题的反面进行枚举.4.类比与猜想策略类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它们旧有认知为基础，类比出新的结果.运用类比推理的一般步骤如下：首先,找出两类比对象之间可以确切表述的相似性；然后,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出猜想；最后检验猜想.一．结构类比：如果所求解问题的结构与某一熟悉的数学问题的结构相类似,可以将待解决问题的条件或结论与这一熟悉的数学问题相类比,通过猜测、进行适当的代换或直接利用这个熟悉的数学问题的解决办法，有可能使问题获得解决.例1：已知【分析】:题设条件与一元二次方程有根的条件在结构上相类似,故根据已知条件,可构造出一个一元二次方程,并使这个方程有两个相同的根,然后根据方程结论成立.证明：当时,由已知条件得,故结论成立；当时,构造一元二次方程因为，所以一元二次方程有两个相等的实数根.又因为方程的一个根为,所以方程的另一根，故即.2.高维与低维类比：通常把直线叫做一维空间,平面叫做二维空间,立体几何中所说的"空间"叫做三维空间,除此之外,"维数"还泛指未知数的个数、变量的个数、方程或不等式的次数等.当研究一个维数较高的问题时，先考查并解决一个与它类似而维数较低的问题，然后将解决后者时所用的方法或所得的结果试用与解决比原来的维数较高的问题，这就是高维与低维类比的手法，这种手法通常称为降维.例1.试推导一元次方程根与系数的关系.【分析】：首先利用待定系数法推导一元二次方程根与系数的关系.设一元二次方程的两个根是,则有，将右端展开,比较同次项系数得,，这启发我们用类似的方法推导一元次方程根与系数的关系.解:设次多项式的个根为,则将上式右端展开、整理，并比较等式两边同次项次数得：这就是次多项式的根与系数的关系定理（韦达定理）.【点评】：通过一元次方程与一元二次方程的类比,导出一元次方程根与系数的关系.这就是高次与低次类比解决问题的范例.韦达定理在多项式理论中有广泛的应用,且常常应用于相应的次方程的根与系数的讨论.注意,韦达定理的逆定理也是成立的,即若数满足上述方程组,则它们是次多项式的根.运用类比推理应注意的几个问题运用类比推理应注意的几个问题运用类比推理应注意的几个问题运用类比推理应注意的几个问题第一，要善于观察事物的特点．注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处，并追究造成这种共同或相似的原因．要大胆放宽眼界，不受自己的研究对象与学科的限制．第二，要善于联想．从一事物联想到与它性质相似的其他事物；从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理．第三，类比常与归纳、演绎综合运用，另外它也离不开分析．归纳、类比和探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的，因此必须自觉掌握创造性思维等特征，并运用到实际工作中去．5.归纳与猜想在解决数学问题时，往往从特殊探求一般；或者从现有的条件、结论，通过观察、类比、联想，进而猜想我们未知的知识和结论.这种思考方法就是归纳与猜想.归纳和猜想是学习数学、解决数学问题的行之有效的方法之一.它能使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从特殊问题中总结出一般规律.我们若对一些我们不熟悉的甚至无从下手的数学问题进行有目的观察试验、归纳、猜想常能得到一些有益的启发，为解决数学问题提供一定的方向和依据.例1.依次计算数列,前四项的值，由此猜测的有限表达式.解：由此猜想：下面用数学归纳法证明这一猜想：证明：①当②假设当即：则当时，时，等式也成立.由①②知对任何的等式都成立.例2.依次计算数列前四项的值，由此猜测的有限表达式.解：由此猜想：证明：①当②假设当即：则当时，时，等式也成立.由①②知对任何的等式都成立.【点评】：归纳猜想策略是“归纳——猜想——证明”思想过程，它是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明.以上两个例子都是从特殊问题中总结出一般规律，然后进行大胆猜想，最后再利用数学归纳法对其进行验证，从而得出最终结论.参考文献：[1]杨永寿，马玉堂，初等数学解题思维策略研究[M]，甘肃出版社编，1999．[2]曾建国,数学解题策略选讲[M]．哈尔滨：工业大学出版社，2011，01.[3]王学贤，中学数学解题策略.[M]．天津：新蕾出版社，1995.[4]吴凤珍，中学数学解题策略与分析[M].哈尔滨：哈尔滨地图出版社，2005.[5]殷堰工，数学解题策略精编[M].上海：上海科技出版社，1994.[6]陈清华．现代数学与中学数学讲义[EB]．福州：福建师范大学，2008[7]朱华伟，钱展望，数学解题策略[M].科学出版社，2009.英文摘要Onmathematicsproblem-solvingstrategiesMathematicsproblem-solvingstrategiesisinoedertoachievethepurposeofproblemsolvingandcertainactionprinciple,wa