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PAGEPAGE109级高数（下）期末考试题及参考答案一、选择题（每小题2分，共计12分）1．微分方程是(B)（A）可分离变量方程（B）齐次方程（C）一阶线性方程（D）伯努利方程2．函数的定义域是（A）（A）（B）（C）（D）3．对于函数，在点处下列陈述正确的是(C)（A）偏导数存在连续（B）可微偏导数存在（C）可微连续（D）可微偏导数连续4．设：则三重积分等于（B）（A）4（B）（C）（D）5．设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取负方向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则A（A）（B）（C）（D）二、填空题（每小题2分，共计12分）1．微分方程的通解为_______.2．设函数，则。3．交换积分次序后，________4．设平面区域D：，则5．设曲线L是连接和的直线段，则曲线积分____6．函数在处的泰勒级数为_________.三、求解下列问题（每题7分，共63分）1．求微分方程的通解解：令，则，，分离变量：两边积分，得即，，2.设，求，所以3．设，且具有二阶连续偏导数.求解：，，4．求椭球面在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程。解：令，，切平面方程的法向量为切平面方程为，即法线方程为5．计算二重积分，其中D是由及所围成的平面区域。区域D：6．计算，其中Ｌ为由Ａ（－２，０）至Ｂ（２，０）的那一弧段。解：(1分)（3分）补线：从-2到2则（4分）由格林公式，（6分）于是，（7分）7．用高斯公式计算积分，其中曲面为抛物面被所截下部分的下侧。解：补面：，取上侧。则由高斯公式，于是，8．求级数的收敛区间。解：所以，当，即时，级数收敛。考察端点：时，级数成为，收敛。时，级数成为，收敛。因此，级数的收敛域为9．将函数展开为的幂级数．所以，的展开式为=收敛区间为，即四、（9分）将一长为1米的铁丝分成两段，一段弯成正方形，另一段弯成一个圆周.问两段各为多长时，才能使所得正方形与圆的面积的和最小？解：设将铁丝分成的两段长度分别为，则由题设条件，正方形和圆的面积之和为题目欲求函数在满足条件时的最小值。令，（5分）则，，解得唯一驻点由问题的实际背景知，一定

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