高考数学B版真题及模拟：不等式及解法

不等式及其解法高考理数

(北京市专用)A组

自主命题·北京卷题组1.(2018北京,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则

()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤

时,(2,1)∉A答案

D本题主要考查不等式组的解法,元素与集合的关系.若(2,1)∈A,则有

解得a>

.结合四个选项,只有D说法正确.故选D.易错警示注意区分集合条件中的“或”与“且”.本题容易把三个不等式的中间联结词认

为是“或”而错选A.2.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则

()A.

-

>0

B.sinx-siny>0C.

-

<0

D.lnx+lny>0答案

C解法一:函数y=

在(0,+∞)上为减函数,∴当x>y>0时,

<

,即

-

<0,故C正确;函数y=

在(0,+∞)上为减函数,∴由x>y>0⇒

<

⇒

-

<0,故A错误;函数y=sinx在(0,+∞)上不单调,当x>y>0时,不能比较sinx与siny的大小,故B错误;x>y>0⇒/xy>1⇒/ln(xy)>0⇒

/lnx+lny>0,故D错误.解法二:取x=1,y=

可排除A、D;取x=π,y=

知B错误.故选C.思路分析解法一:利用函数的单调性来判断,得出正确选项.解法二:利用特值法验证.评析本题考查比较大小,可以借助函数的单调性解决,对学生的逻辑推理能力有一定要求.3.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,

b,c的值依次为

.答案-1,-2,-3(答案不唯一)解析答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一不等式的概念和性质1.(2018课标全国Ⅲ,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则

()A.a+b<ab<0

B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab

D.ab<0<a+b答案

B本题考查不等式及对数运算.解法一:∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,∴ab<0,排除C.∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.∵

=

=

=log20.2,∴b-

=log20.3-log20.2=log2

<1,∴b<1+

⇒ab<a+b,排除A.故选B.解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,∵

+

=log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,即

<1,∴a+b>ab,∴ab<a+b<0.故选B.方法总结比较代数式大小的常用方法(1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断

差的正负.变形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法.(2)作商法:即通过判断商与1的大小关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对

商式分子、分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.(4)特值验证法:对于一些给出取值范围的题目,可采用特值验证法比较大小.2.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,则

(

)A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc答案

C解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B错;易知y=logcx是减函数,∴0>logcb>logca,∴logbc<logac,D错;由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=

.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有

()A.

>

B.

<

C.

>

D.

<

答案

D解法一:

⇒

<

<0⇒

<

<0⇒

⇒

>

⇒

<

.解法二:依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证得A、B、C均错,只有D正确.评析本题考查不等式的基本性质,由c<d<0转化出

与

的大小关系时易出错.当然,本题用特值法验证较易排除错误选项.4.(2014山东,5,5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是

()A.

>

B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>siny

D.x3>y3

答案

D∵ax<ay,0<a<1,∴x>y,∴x3>y3.1.(2013广东,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为

.考点二不等式的解法答案{x|-2<x<1}解析

由x2+x-2<0得(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集为{x|-2<x<1}.2.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集

用区间表示为

.答案(-5,0)∪(5,+∞)解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.当x<0时,-x>0,f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-4x(x<0),∴f(x)=

(1)当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;(2)当x=0时,f(x)>x无解;(3)当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).评析本题考查函数的性质、求函数解析式及解不等式等知识,考查学生的分类意识与运算

求解能力.C组

教师专用题组1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.

()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100答案

D利用特值法验证.令a=3,b=3,c=-11.5,排除A;令a=4,b=-15.5,c=0,排除B;令a=11,b=-10.

5,c=0,排除C,故选D.2.(2013陕西,10,5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有

()A.[-x]=-[x]

B.[2x]=2[x]C.[x+y]≤[x]+[y]

D.[x-y]≤[x]-[y]答案

D

A不成立,如[-π]=-4,-[π]=-3;B不成立,如x=1.6时,[2x]=3,2[x]=2;C不成立,如x=y=1.6,则

[x+y]=3,[x]+[y]=2.由排除法知选D.3.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

()A.(-∞,4)

B.(-∞,1)C.(1,4)

D.(1,5)答案

A①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,∴x<1.②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③知x<4.4.(2014浙江,6,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则

()A.c≤3

B.3<c≤6C.6<c≤9

D.c>9答案

C由

得

解得

则有f(-1)=c-6,由0<f(-1)≤3,得6<c≤9.5.(2014课标Ⅰ,9,5分,0.70)不等式组

的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是

()A.p2,p3

B.p1,p2C.p1,p4

D.p1,p3

答案

B设x+2y=m(x+y)+n(x-2y),则

解得

∵

∴

(x+y)≥

,-

(x-2y)≥-

,∴x+2y=

(x+y)-

(x-2y)≥0.故命题p1,p2正确,p3,p4错误.故选B.6.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是

()A.a+

<

<log2(a+b)

B.

<log2(a+b)<a+

C.a+

<log2(a+b)<

D.log2(a+b)<a+

<

答案

B本题主要考查利用不等式的性质比较大小.特值法:令a=2,b=

,可排除A,C,D.故选B.解题反思比较两数(代数式)大小的常用方法:①作差法;②作商法;③单调性法,适用于指数

式、对数式等的大小比较;④中间值法,常用的中间值有0,1和-1等;⑤特值法,此方法可在选择

题中使用.7.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5

的解集是

.答案(-7,3)解析∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).又x≥0时,f(x)=x2-4x,∴不等式f(x+2)<5⇒f(|x+2|)<5⇒|x+2|2-4|x+2|<5⇒(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0⇒|x+2|-5<0⇒|x+2|<5⇒-5<x+2<5⇒-7<x<3.故解集为(-7,3).评析本题综合考查函数的奇偶性以及不等式等知识,考查灵活应用知识的能力及转化与化

归思想.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组(时间:10分钟分值:20分)选择题(每题5分,共20分)1.(2018北京东城一模,3)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是

()A.a2-b2>0

B.cosa-cosb>0C.

-

<0

D.e-a-e-b<0答案

D∵a>b,∴-a<-b.由y=ex在R上单调递增可知,e-a<e-b,∴e-a-e-b<0,故选D.2.(2018北京海淀二模,3)已知x>y>0,则

()A.

>

B.

>

C.cosx>cosy

D.ln(x+1)>ln(y+1)答案

D

f(x)=

在(0,+∞)上单调递减,故A错误;f(x)=

在(0,+∞)上单调递减,故B错误;f(x)=cosx在(0,+∞)上不单调,故C错误;f(x)=ln(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,故D正确,故选D.3.(2017北京丰台期末,2)已知a>b>0,则下列不等式一定成立的是

()A.a2<ab

B.

>

C.|a|<|b|

D.

<

答案

D∵a>b>0,∴

<

.故选D.评析本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质.4.(2017北京东城期末,5)已知x,y∈R,且x>y>0,则

()A.tanx-tany>0

B.xsinx-ysiny>0C.lnx+lny>0

D.2x-2y>0答案

D对于A,当x=

,y=

时,tanx=tan

=-

,tany=tan

=

,A项显然不成立;对于B,当x=π,y=

时,xsinx-ysiny=πsinπ-

sin

=-

,B项显然不成立;对于C,由lnx+lny>0,即ln(xy)>ln1,可得xy>1,而由x>y>0,不一定得到xy大于1,C项显然不成立.

故选D.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:12分钟分值:20分)一、选择题(每题5分,共15分)1.(2018北京通州摸底,6)已知a,b∈R,a>b>0,则下列不等式一定成立的是

()A.

>

B.tana>tanbC.|log2a|>|log2b|

D.a·2-b>b·2-a

答案

D由不等式的性质知,若a>b>0,则

<

,故A错误;若a=

,b=

,则tana<tanb,故B错误;令a=2,b=

,知C错误;由不等式的性质易知D正确.2.(2018北京石景山一模,7)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

C解法一:若a>b,①当a>b≥0时,不等式a|a|>b|b|等价于a·a>b·b,此时成立.②当0>a>b时,不等式a|a|>b|b|等价于-a·a>-b·b,即a2<b2,此时成立.③当a≥0>b时,不等式a|a|>b|b|等价于a·a>-b·b,即a2>-b2,此时成立.故充分性成立.若a|a|>b|b|,①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值易得,(a-b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a-b>0,即a>b.②当a>0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值易得,a2+b2>0,此时a>b.③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值易得,(a-b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a-b>0,即a>b.故必要性

成立.综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C.解法二:构造函数f(x)=x|x|,则f(x)在R上为奇函数,f(x)=

∴f(x)在R上单调递增,∴a>b的充要条件为f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.故选C.解后反思解法一:根据不等式的性质,结合充要条件的判断方法和步骤,细心思考和计算便可

得到答案.解法二:从构造函数的角度出发,避免了对不等式的讨论,方法更加精炼,注意体会.3.(2017北京海淀二模,8)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆

盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,

大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动

90°,记Ti(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和