同济版多元积分总结(经典)

PAGEPAGE1小结在过往的日子中很多同学说过他们最怕多元积分那一部分，今天我就此发表一下我的看法：如果用高洪波的话来说很多人一直都是自己吓自己。其实这一部分的内容就总体而言还是很好理解的，不难（相比于一元积分证明），但是很多人拿分拿不全，说明思路大家都知道，但是由于计算复杂不熟练，得分因而不理想，复习全书上的排版很乱，现在我就说一下我对这部分内容的理解。

这部分内容一共有3大板块：重积分，面积分，线积分。下面分开来说：

1：重积分又包括二重积分与三重积分。对于二重的重点在于积分上下限的选取以及坐标换元（只有一种换原方法）的灵活运用，同时他的两个重要性质：包括奇偶性与轮换对称性，这两个性质的思路理解对于后面的深入完全是以此类推的（三重，线，面都有这个性质，思路上只是换汤不换药），二重积分的考查形式就是计算。对于三重个人认为重中之重在于要明白柱坐标与球面坐标的概念与使用条件，与此同时运用三重的奇偶性与轮换对称性来简化，不过要注意坐标面的不同性质也会有相应的不同。

2，线积分：又分为对平面线积分与对坐标线积分，前者是一个记忆问题，只要记清公式，总体上说没有大的难度，对于后者一定要注意条件使用格林公式的条件，如果不满足可以用加一弧段减一弧段或者挖洞法。如果牵扯到原函数的问题，时刻谨记格林公式的条件加以凑微分。值得一提的是两种线都有奇偶性与轮换对称性，但是由于定义的不同两者是有差异的不能混为一谈。最后问题的终结都要化为二重积分来解决。

3.面积分：又分为对平面面的面积分与对坐标的面积分，前者是一个记忆问题如果把握清所在的是哪个平面就没有问题了（三个面：x面,y面,z面），后者一般都是用高斯，注意公式的使用条件，如果不满足可以加一平面减一平面或者挖洞法。值得一提的是两种面都有奇偶性与轮换对称性，但是由于定义的不同两者是有差异的不能混为一谈。坐标的面积分经高斯公式后化为三重积分。最后问题的终结都化为二重来解决。

补充：斯托克托在实际的应用中是联系空间线积分与空间面积分的问题，用得比较少，内容是比较直观的。其他通流量与散度也就可以迎刃而解了。那么如果实际应用的话怎么办呢？无非是重力。压力等与定积分、重积分类似，曲线积分及曲面积分也都是某种和式的极限,并且有类似的性质，他们都是从实际问题中抽象出来而产生的数学概念.由于他们的实际背景有差异，故曲线积分及曲面积分各分成两类：曲线积分分为对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）和对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）；曲面积分分为对面积的曲面积分（第一类曲面积分）和对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）.需要特别指出的是，对于定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分，这五种类型的积分的定义、性质、中值定理及物理应用都是类似的，可以把它们的定义、性质、中值定理及物理应用统一起来.首先约定，集合的测度的含义是：如果集合是实轴上的区间，则的测度即为该区间的长度；如果集合是平面上的区域，则的测度即为该区域的面积；如果集合是空间立体，则的测度即为该立体的体积；…；等等.1.定义：设函数在集合上有定义，以任意方式把集合分成部分，它们的测度分别记为.在上任取一点，作和式，记.如果不论集合如何分法，也不论在上如何取法，极限都存在并且是唯一的，则称函数在集合上可积分，并称该极限值为函数在集合上的积分，记为，即.例如，如果是实轴上的区间，为一元函数，则上述积分即是定积分；如果是平面上的区域，为二元函数，则上述积分即是二重积分；……；如果是空间曲面，为三元函数，则上述积分即是第一类曲面积分；等等.2.性质：上述五种类型的积分的性质是相通的，只要在定积分的各条性质中把换成，则定积分的各条性质就成为二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共性.例如，（1）为常数，则；（2）；（3）集合的测度；（4）如果，且，则；3.中值定理：设函数在集合上连续，则在上至少存在一点，使得集合的测度.例如，如果是实轴上的区间，为一元函数，则，；如果是平面上的区域，为二元函数，则区域的面积，；…；等等.由于考研大纲规定中值定理的考试范围只有定积分和二重积分，所以三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的中值定理不需要掌握.4.物理应用：第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的功，第二类曲面积分的物理意义是流体沿曲面指定侧的流量.除此之外，二重积分，三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分在物理上的应用主要分为三个方面，分别是转动惯量（惯性矩）、质心和引力.因为这些物理应用都是类似的，所以我们对每个物理应用仅对上述四个积分中的部分积分作介绍.（1）转动惯量：设质点的质量为，质点绕直线转动时，转动半径为，则转动惯量（此处不考虑转动惯量的方向）为.设集合的密度为，在上任取微元，则的质量为.如果绕直线转动的转动半径为，则绕直线转动的转动惯量为，从而绕直线转动的转动惯量为.如果是平面区域，密度为，相应的，，绕轴、轴和原点的转动惯量分别为，.如果是空间区域，密度为，相应的，，绕轴、轴，轴和原点的转动惯量分别为.如果是平面曲线，密度为，相应的，，绕轴、轴和原点的转动惯量分别为，.当是空间曲线时，绕轴、轴，轴和原点的转动惯量与上述类似.如果是空间曲面，密度为，相应的，，绕轴、轴，轴和原点的转动惯量分别为.（2）质心：设质点系位于某坐标系中相应于轴的坐标分别为，质量分别为则该质点系的质心相应于轴的坐标为.设集合的密度为，在上任取微元，相应的坐标为，的质量为，集合的总质量为，则集合的质心相应于轴的坐标为.如果是平面区域，密度为，相应的，则的质心相应于轴和轴的坐标分别为.特别地，当常数时，上式成为，此即平面区域的形心坐标.如果是空间区域，密度为，相应的，则的质心相应于轴，轴和轴的坐标分别为如果是平面曲线，密度为，相应的，则的质心相应于轴和轴的坐标分别为.当是空间曲线时时，的质心相应于轴、轴，轴的坐标与上述类似.如果是空间曲面，密度为，相应的，则的质心相应于轴，轴和轴的坐标分别为（3）引力：万有引力定律—设有两个质点，其质量分别为，与的距离为，则与之间的引力大小为其中是引力常数.设质点位于某坐标系中轴的坐标为，其质量为.设集合的密度为，在上任取微元，相应的坐标为，的质量为，与的距离为，