【一等奖教案】平面向量的坐标运算

课题：§5.4平面向量的坐标运算〔第一课时〕教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念〔1〕在稳固平面向量根本定理的根底上理解平面向量的坐标概念；〔2〕会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算〔1〕能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；〔2〕能熟练进行向量的坐标运算；〔3〕掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜测的能力；2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并效劳于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程环节具体内容及形式双边活动设计意图复习回顾判断题1、单位向量都相等；〔假〕2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量.〔假〕通过提问的方式让学生对命题作出判断；教师从学生活动出发，进行评价、拓展，为新课的讲解作铺垫.oxioxijy3、如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a=xe1+ye2.〔真〕通过第3小题复习平面向量根本定理,为下一步将基底特殊化引出新课做准备.创设问题情境通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.学生体会数学与现实生活的联系，并通过教师引导，体会特殊化的思想.激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，到达传授知识与培养学生能力融为一体的目的.师生共同探究及应用㈠平面向量的坐标表示问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量根本定理构造平行四边形，如图：ooxyija结论：假设a=xi+yj，则a=(x,y)叫做向量的坐标表示.经历前两个环节的铺垫后，教师引导学生恰当的选取基底，完成基底特殊化的过程.教师通过多媒体课件演示，使学生直观理解平面向量的坐标概念,明确求向量坐标的思路.设置探究式教学，让学生经历知识的形成、开展、应用的过程，从而到达对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣.以向量b为例讲解此题，可以让学生体会向量的坐标与点的坐标一样，有正负之分.在学生掌握课本例题的根底上进行挖掘、引申，探究新知，使得前后知识衔接自然.在教学中渗透类比和特殊化的数学思想，形成新的知识结构体系，为下一步突破教学难点做准备.应用一、初步运用定义求特殊向量的坐标.i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)应用二：(课本P111例1).用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标.12123401234xyOabcd变式探究：将例1中向量d的方向取反向得到向量e，分析b、e两向量的关系后进行探究.探究一：相等向量的坐标有关系吗？结论：相等向量的坐标也相等，表达向量与其坐标的对应关系.探究二：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？结论：此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了.学生独立完成，进一步体会特殊化思想.师生共同探究，教师板书过程.教师重点以向量b为例讲解此题，引导学生利用平面向量的坐标表示求出向量b的坐标，并提醒学生注意坐标符号.学生观察出向量b、e两向量大小相等，方向相同，应该是相等向量.教师提问：向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？教师利用多媒体课件进行动画演示，学生直接参与探究的过程，从亲身体验中获得深刻的认识.师生共同探究及应用㈡平面向量的坐标运算问题二：假设a=〔1,3〕,b=(5,1)，如何求a＋b、a－b的坐标呢？〔由特殊到一般，探究向量加减的坐标运算法则〕法则：假设a=〔x1,y1〕,b=(x2,y2),则：a＋b=(x1＋x2,y1＋y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)应用三：课本P112例2及P114练习1.探究三：例一中向量a的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？bcbcOxyaAB由图可知，a=c－b结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.探究四：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？借助探究二的探究思路，利用向量坐标表示的推导过程来组织教学.结论：向量的坐标与表示它的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.对具体的两个向量，教师启发引导学生分析规律，通过猜测、验证得出向量的坐标运算法则.例2以学生答复为主，教师板书过程；练习学生笔答，通过实物投影反应.教师利用多媒体课件演示引导学生把任意向量用起点在原点的向量来表示.寻找各知识点的联系，挖掘问题实质.让学生经历主动观察、大胆猜测、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力.让学生熟练运算法则的应用，体会向量坐标运算的优势：思路明确，过程简捷；强调步骤书写，发现问题及时解释说明.表达了向量坐标的意义，通过提出矛盾、回忆旧知、推理验证，对难点层层突破.应用四：课本P114练习2.应用五：以表格形式对练习2引申训练起点A终点B向量AB〔2，3〕〔1，1〕(3,－4)(－2,7)应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.〔教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题〕学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决此题，体会难易差异.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的根底上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的稳固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：§5．4平面向量的坐标运算〔一〕一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系三、例题例1例2例3教学环节流程安排复复习回顾向量的坐向量的坐标运算向量的坐标表示跟踪练习跟踪练习跟踪练习跟踪练习情境设置情境设置归纳总结归纳总结探究及应用探究及应用巩固提高巩固提高教案的设计说明：1、设计初衷：本节课内容难度不高，但知识点比拟繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜测、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点.2、呈现方式：根据教学大纲要求结合本节课具体的教学目标和学生的认知特点，我设计了“复习回忆——创设问题情境——合作探究和指导应用——归纳小结——布置作业〞五个教学环节.3、新课程观的表达：本节课主要采用的是“引导发现、合作探究〞的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力开展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、开展和应用的过程，在和谐、愉悦的气氛中获取知识，掌握方法.整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用.4、可能出现的问题：探究式教学需要留给学生充足的时间和空间，为学生提供活动的时机，学生情况不同，反应给教师的信息也不同，因而在时间和内容上都不是固定的，需要教师在设计时富有一定的弹性，在实施时设计方案跟着学生转变，具有一定的开放性和灵活性.二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。在这个根底上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一局部，但这局部内容表达了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。通过这局部内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。⒉教材的重点、难点和关键教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法。教学难点：准确画出二元一次不等式〔或不等式组〕所表示的平面区域。关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。3．教学大纲对这局部内容的要求了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。4．教材的内容安排和处理教参安排“简单的线性规划〞这局部内容的授课时间为3课时,本课为第一课时。根据学生的实际情况，在证明猜测时适当调整解题思路，多提供一种证明思路。另外，适当加强应用局部的教学。二、学生心理分析高二学生在经过本章前三节学习的根底上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成。他们厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行观察、思考的几何环境，给他们发表自己见解和表现才华的时机，希望教师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才华的时机。三、教学目标分析本着因材施教的原则，根据教学大纲和高考考试说明的要求，并结合我校学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下：知识目标：使学生掌握用二元一次不等式来表示平面区域。能力目标：使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用代数方法〔坐标、方程〕讨论图形性质的能力，培养学生运用数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。德育目标：〔1〕通过对推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生的辩证统一思想。〔2〕培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。创新素质目标：引导学生从已有知识中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力。情感目标：在平等的教学气氛中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，鼓励学生创新。以上五个目标确实定基于以下几点考虑：

(1)依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域的有关概念比拟抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，故本节知识内容定为了解层次。(2)本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材。(3)与实际联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识以及解决实际问题的能力。四、教学方法和教学手段课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与开展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，开展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：教学方法：我采用的主要是引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等。〔一〕引导发现法1.是符合辩证唯物主义观点；2.是符合教学原则的；3.能充分调动学生的主动性和积极性。〔二〕探索讨论法1.有利于学生对知识进行主动建构；2.有利于突出重点、突破难点；3.有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。〔三〕通过题组教学法，开展学生等价转换、数形结合等思想，培养综合运用知识解决问题的意识。教学手段：利用多媒体和教具等教学手段。新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学。五、学法指导

观察分析、联想转化、猜测证明。通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜测、证明、归纳。这样更有利于学生掌握知识；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。六、教学过程得出结论疏导归纳猜测证明引导自学引入课题引入观察教师学生结论应用评价总结练习稳固辅导达标例题示范分析应用得出结论疏导归纳猜测证明引导自学引入课题引入观察教师学生结论应用评价总结练习稳固辅导达标例题示范分析应用教学流程图教学内容教学流程图教学内容特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、开展和突破重难点的优势。教学环节教学程序〔师生双边活动〕设计意图创设情境电脑演示：一个19×19的围棋棋盘，连接棋盘最上面一行左起第3个点和最下面一行中间那个点作一条直线。【教师提问】：在直线的右上方区域(不含边界)可以放置多少颗围棋子？从学生所熟知的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际。同时由于多媒体的辅助作用，使新课的引入更显得自然生动、易于接受。导入新课3’1Ox1Ox【学生思考、答复】了上述问题后，将一维空间上升到二维空间：【教师提问二】：在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x+y－1=0}表示什么样的图形？【学生思考、答复】在此根底上，进一步深化，得出下面的问题。电脑演示一坐标平面图〔如图〕。yOl：x+yOl：x+y–1=0x【学生思考、答复】【教师】揭示课题并板书课题。〔1〕设计问题一、二的目的是为解决问题三作铺垫。通过类比，使学生知道用不等式表示区域并不是新的知识，只是将原来一维空间变换为二维空间，这也为以后解决三维空间的区域表示作铺垫。

〔2〕这时用电脑的目的，借助于电脑动态模拟演示的优势，使学生在感性认识的根底上形成理性认识。〔3〕揭示本节课的研究对象，使学生明确了学习目标，并利用前位学习形成的思维习惯直接产生对新知研究内容、方式方法的影响。尝尝试探求尝试：在平面直角坐标系中，任取一点〔x,y〕，把它们的坐标代入x+y-1中，其结果是一个实数，或等于0，或小于0，或大于0。多用几个不同的点的坐标代入(电脑演示)，讨论分析后归纳，什么情况下点〔x,y〕在直线上；什么情况下点〔x,y〕在直线的右上方；什么情况下点〔x,y〕在直线的左下方。〔学生思考〕猜测：对于直线右上方的点〔x，y〕，x+y–1>0成立；对直线左下方的点〔x,y〕，x+y–1<0成立。〔1〕给学生以直观感性的认识，培养学生观察、表述，归纳的能力。

〔2〕激发学生的思维力与想象力，能促进学生主动地探索知识,不断创新,有利于想象力、创造力的发挥。探索交流解决问题9’x+y–1=0(x,y〕yOx1、【学生】思考证明，主动探索并与同学讨论交流,尝试找到证明方法。【教师】巡视，间或参与讨论，并注意收集反应信息。

2、【学生】发表看法，教师指导完善。

学生A的证明思路：

证明：在直线:右上方任取一点(x,y)，过此点作垂直于y轴的直线交直线于点。此时有

所以,

即。

所以，对于直线

右上方的任意点(x,y)，都成立.

同理，对于直线左下方的任意点(x,y)，都成立.

所以，在平面直角坐标系中，直线右上方的平面区域可以用以二元一次不等式的解为坐标的点的集合来表示。

学生B的证明思路：

证明：在直线右上方任取一点(x,y),过此点

作垂直于x轴的直线与直线交于点，此时有

x+y–1=0(x,y〕yOx

以下解答同思路A。x+y–1<0yOl：x+y–1=0xx+y–1<0yOl：x+y–1=0xx+y–1>0(x,y〕yOxx+y–1=0〔1〕建构主义理论认为：知识产生于主体与客体的作用过程之中。数学知识不是简单机械地从一个人迁移到另一个人，而是基于对个人经验的操作、交流，通过反省来主动建构的。也就是说学生不只是模仿和接受教师的策略和思维方式，他们要用自己现有的知识去过滤和解释新的信息。〔2〕由于不同的人对同一问题有不同的体验和理解，人们可以通过交流和协作相互启发，从而不断完善自己的认知结构。〔3〕“给学生提供活动的时〔思维时间〕空〔思维空间〕，让主体主动构建自己的认知结构，培养学生的创造力〞这是建构主义的核心观点，它充分表达了学生的主体地位和教师的主导作用。学生在自主探索、自由想象和相互交流的过程中，充分感受到成功和失败的情感体验。深刻地领悟到转化的数学思想在解决问题中所起的作用。同时又培养了学生的逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的科学精神。〔4〕在教学活动中，教师应适时地用态势语言、鼓励性评语给学生以充分的肯定，为学生今后的学习打下良好的心理根底。归纳总结归纳：【学生】归纳结论，但不要求证明。结论：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。【教师】向学生强调：画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，应把边界直线画成实线。小结：对于直线Ax+By+C＝0同一侧的所有点(x,y)，把坐标(x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断不等式Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。〔同侧同号〕

概括地说，即为画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，特殊点定域〞。特别地，当时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域〞。让学生之间互相交流，一方面澄清数学思想，另一方面也培养学生表述的能力、建构数学模型的能力。本环节分为五个小步来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点。在学生独立探索的根底上，教师应适时地集中，把学生的猜测、结论加以概括、系统化，使全班学生都统一到正确的认识上来。这样，可以尽量地创造条件，给学生能有充分发表意见的“自由〞，以培养学生的“创新〞意识。例题示范12’例题示范【教师】投影例题和变式练习，并作讲解和讨论。例1画出不等式2x+y－6<0表示的平面区域。【学生】：应用“直线定界，原点定域〞的判断方法。【教师】讲解完例1的后，引导学生完成一组变式训练题。变式一：画出不等式4x－3y≤12所表示的平面区域。【教师】强调学生应把直线画成实线。变式二：画出不等式x≥3所表示的平面区域。〔该不等式有点特殊，能否将一般问题特殊化〕变式三：不等式2x－y－6<0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的_A、左上方B、右上方C、左下方D、右下方x–y+5≥0例2画出不等式组x+y≤0表示的平面区域。x≤3分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共局部。变式一：画出不等式〔x+y〕〔x－y〕≤0表示的平面区域。电脑演示：翻开新华社网站，浏览上面一则关于2003年江苏高考出现错题风波的新闻报道。然后引导学生对此题是否是错题作出自己的判断，引出变式二：(03江苏高考)如果函数的图象与轴a阿a阿a阿a阿O阿(A)a阿a阿O阿(B)a阿a阿a阿a阿O阿O阿(C)(D)〔1〕例1及变式题，主要训练学生熟悉解决二元一次不等式表示平面区域问题的步骤与方法。〔2〕例2及变式题，主要训练学生理解二元一次不等式组表示平面区域。〔3〕变式二是2003年江苏高考数学试题，媒体曾经盛传这道高考试题是错题的报道，此题的设置一方面是为了深化对二元一次不等式组表示平面区域知识的理解，另一方面学生从解高考题中能品尝到成功的喜悦，以及对这道题是否是错题作出判断，培养学生独立思考，敢于挑战的科学精神。针对练习形成技能18’画出以下不等式表示的平面区域〔课本练习〕：〔1〕x－y+1<0〔2〕2x+3y－6>0〔3〕2x+5y≥02、画出以下不等式所表示的平面区域〔课本练习〕：3、〔回到本节课开始时所提出的问题〕在一张19×19的围棋棋盘上，连接最上面第一行左边数起的第三个点和最下面一行的中间那个点作一条直线，问在直线右上方〔不包括直线〕最多可以放置多少颗围棋子？4、由直线，和围成的一个三角形区域ABC〔包括边界〕。〔电脑演示〕〔1〕将此平面区域用不等式〔组〕表示出来；〔2〕求此平面区域的面积；〔3〕找出此平面区域内〔包括边界〕的整点；〔4〕求△ABC的内心坐标。【学生】分析：第〔4〕小题学生可能想出的思路有

思路A：利用内心是角平分线的交点来求解；思路B：利用内心到三角形三条边的距离相等来求解。内心到三条边的距离分别是，，

，它们彼此相等，可以得到2个方程。如何去掉绝对值符号解方程成了解决这道题目的关键所在。【教师】引导学生观察内心和原点的关系，它们都处在这三条边所在直线的同一侧，利用“同侧同号〞这个结论可以方便的去掉绝对值而不必讨论或者采用平方来去绝对值符号。〔1〕练习1、2重在检查学生对二元一次不等式〔组〕表示平面区域的掌握情况。〔2〕练习3可以培养学生灵活运用知识、进行逆向思维的能力。

〔3〕练习3与开头前后照应，使学生明白数学既来源于实际又效劳于实际。〔4〕练习4的这4道小题主要是为了进一步培养学生灵活运用知识的能力，训练学生逆向思维能力。同时，第3小题求整点坐标为下节课解决线性规划问题的整点最优解奠定了根底。

利用多媒体电脑演示，可以提供解决此类问题的一种方法－网格法。第4小题的思路B灵活运用了本节课的结论，防止了不必要的讨论，简化解题过程。归纳小结建构知识网络【学生】思考、讨论得出小结，教师作适当的补充。1．这节课学习的主要内容是什么？2．这节课揭示了什么数学思想？3．作平面区域的步骤、考前须知以及在实际中的应用。4．请同学们认真总结在探索和交流中的体会。〔1〕引导学生对所学知识、思想方法进行总结，力图到达使学生对所学知识结构进行编码处理，强化记忆的目的。〔2〕引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中进行有效调控打下良好根底。〔3