高等代数-多项式课件

第五章 多项式1Polynomial概述_12代数角度代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式函数角度根及其性质，余数定理二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等概述_23与数域扩大无关的多项式性质整除、最大公因式、互素、余数定理等与数域扩大有关的多项式性质不可约、因式分解、根理论等4§5.1

目的与要求掌握一元多项式形式的准确描述;理解K[x]对于多项式的加法,数乘,乘法构成K代数;掌握用多项式的次数来解题的方法.一元多项式_1定义K:数域,

ai∈K,

0≤i≤n;

n≥0,

x:

未定元,

形如称为K上关于x的一元多项式.aixi:

称为第i

次项,ai:

第i

次项系数.n

次多项式:当an

≠0时,次数记为degf

(x)=n.anxn:首项,

an:首项系数.

a0:常数项.K上一元多项式全体记为K[x]5一元多项式_2注1

零多项式:f

(x)=0,此时规定:

degf(x)=－∞f

(x)=0

deg

f(x)=－∞

注2

零次多项式(常数多项式):

f(x)=a0

≠0.f

(x)=a0

≠0

deg

f(x)=0

ai=0,i

>0注3

f

(x)≠0

degf(x)≥0

ai=0,

i≥0例6多项式的相等定义两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且

各次项的系数相等即若则f

(x)=g(x)当且仅当m=

n,ai

=

bi

,

0≤i≤n.7多项式的运算_加法1设f

(x),

g(x)∈

K[x],

适当增加几个系数为0的项,

可设定义加法:则f(x)+g(x)∈K[x].8多项式的运算_加法29K[x]对加法构成加群,

即满足如下性质(

f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+

(g(x)+h(x))f(x)+g(x)=g(x)+f(x)0+f(x)=f(x)f(x)+

(－f(x))=

0多项式的运算_数乘1设定义c与f(x)的数乘为:则

cf(x)∈K[x].10多项式的运算_数乘2K[x]对加法与数乘构成K上的线性空间,

即

满足(1)

~

(4)且满足如下性质(5)(6)(7)(8)11多项式的运算_乘法设定义f(x)与g(x)的乘积:f(x)g(x)=h(x)其中12K[x]对加法,数乘和乘法构成K-代数,

即满足(1)

~

(8)且满足性质:(

f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))f(x)g(x)=g(x)f(x)(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)c

(f(x)g(x))=(c

f(x))g(x)=f(x)(c

g(x))1·f(x)=f(x).注1:因为(9),

(10),

(13),

K[x]称为K上存在单位元1的

结合交换代数.注2:因为(1)

~

(4),

(9)

~

(11),

(13),

K[x]对加法和乘法构成有单位元的结合交换环.13多项式的次数引理

deg

f

(x)g(x)=degf

(x)

+

deg

g(x) deg

f(x)

=

degcf(x)

,0

≠c∈Kdeg

(f

(x)+

g(x))≤

max{deg

f(x)

,degg(x)}注degf(x)g(x)=0

f(x)=a0≠0且g(x)=

b0≠0命题f

(x),

g(x)∈K[x].

f

(x)≠0,

g(x)≠0,则f(x)g(x)≠0.推论

若f(x)≠0,f(x)g(x)=f(x)h(x),则g(x)=h(x).例

f

(x),

g(x)∈R[x]且f

(x)2+g(x)2=0,

则f

(x)=g(x)

=0.14§5.2

目的与要求掌握带余除法的内容和证明方法;熟练用带余除法、待定系数法、凑项法解答有关整除问题.15整除_定义定义:设f(x),g(x)∈

K[x].若存在h(x)∈

K[x].使得f(x)=g(x)h(x),则称g(x)整除f(x),或f(x)被g(x)整除,或g(x)是f(x)的因式.记为g(x)|f(x).否则记g(x)

f(x).注1:

g(x)|f

(x),问是否必有deg

g(x)≤

degf(x)?f

(x)g(x)≠0时,

成立;

g(x)|0;

当f

(x)≠0,

0

f(x);0|0.注2:

deg

g(x)≤

degf

(x)是否必有g(x)|f(x)?注3:7|11?注4:f(x)|f(x)16整除_性质性质:

f

(x),g(x),

h(x)∈

K[x],0≠c∈K

,则f(x)|g(x),则cf(x)|g(x)f(x)|g(x),g(x)|h(x),则f(x)|h(x)f(x)|g(x),f(x)|h(x),则

u(x),

v(x)∈

K[x],

有f

(x)|u(x)g(x)+v(x)h(x)f

(x)

|

g(x),

g(x)

|

f(x),则存在c

≠0∈K,

使f(x)=cg(x).17带余除法_1带余除法定理设f(x),g(x)∈

K[x]

,

g(x)≠

0,则存在唯一q(x)、

r(x)

∈

K[x]

,

且deg

r(x)

＜

deg

g(x),

使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)注1:定理结论可叙述为：f

(x)=g(x)q(x)+r(x),这里或者

r(x)=

0，或者0≤

deg

r(x)

<

deg

g(x).q(x)称为g(x)除f(x)的商式,r(x)称为g(x)除f(x)

的余式.注2:条件deg

r(x)

＜

deg

g(x)保证了唯一性.18带余除法_2推论:

f(x),g(x)∈

K[x]

,

g

(x)≠

0,则g(x)|

f(x)当且仅当g(x)除f(x)的余式为0.注1整除关系不因数域扩大而改变.

注2若g|f+h且g|f,则g|h.例1

x|f(x)则x2|f2(x)例2

f(x)=3x4-4x3+5x-1,

g(x)=x2-x+1.求q(x),

r(x).1920§5.3

目的与要求熟练掌握最大公因式的概念、性质与结论;熟练掌握互素的概念和充要条件;了解中国剩余定理的内容和思想方法.最大公因式_定义定义:设f

(x),

g

(x)∈

K[x]

,

若d(x)

∈

K[x]使得d(x)|f(x)且d(x)|g(x)若h(x)

|f(x)且h(x)|g(x),则有h(x)|d(x)则称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.注1

d(x)是f(x),g(x)的公因式,且次数最高.注2f(x)与0的最大公因式;7与6的最大公因式.21最大公因式_唯一性设

d(x),d1(x)是f(x)和g(x)的最大公因式,据定义有d(x)|d1(x)且d1(x)|d(x),故存在c∈K,

使得d(x)

=

cd1

(x).

即f

(x),

g(x)的最大公因式最多差一个非零常数。规定

f(x),g(x)的最大公因式的首项系数为1,

则f(x),g(x)的最大公因式唯一确定,记为

d(x)=

(f(x),g(x)).注

(0,0);

(f(x),

0),

(7,6)22最大公因式_存在性引理

设f(x),g(x),h(x)∈K[x]若g(x)|f(x),

则(f(x),g(x))=cg(x);若g(x)|f(x),

g(x)|h(x),则g(x)|f(x)－h(x);对任意h(x)

∈K[x],

成立(f

(x),g(x))=

(f(x)－h(x)g(x),g(x))定理设f

(x),

g(x)∈K[x]

,则存在d(x)∈

K[x],

使得(f(x),g(x))

=d(x),

且存在u(x),v(x)∈

K[x],使d(x)

=u(x)f(x)+v(x)g(x).证明用Euclidean辗转相除法.23最大公因式_存在性注1证明方法即是计算方法.注2最大公因式与数域扩大无关.注3

设f(x),g(x),d(x)∈

K[x]

,且d(x)的首

项系数为1.

如果存在

u(x),

v(x)∈

K[x],使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)d(x)|f(x),d(x)|g(x)则

d(x)=

(f(x),g(x)).特别提示

若没有条件(2),

则(1)不能保证结论

成立(作业).24最大公因式_多个多项式定义

对m个多项式

fi(x)

∈K[x]

,

1

≤i≤

m

,若存在

首项系数为1的d(x)∈

K[x]

,

使得d(x)

|fi(x),1≤i≤

m(2)

若h(x)|fi(x),1≤i≤m

,则h(x)|

d(x)则称

d(x)是fi(x),1≤i≤m的最大公因式,

记做d(x)

=

(f1(x)

,f2(x)

,

…

,fm(x)

)命题设f(x),g(x),h(x)∈

K[x],则(f

(x),g(x),h(x))=

((f(x),g(x)),h(x))=

(f(x),(g(x),h(x)))25互素_1定义:设

f(x),g(x)∈

K[x],若(f(x),g(x))=

1,则称f(x)与g(x)互素.定理设

f(x),g(x)∈

K[x],则f(x),

g(x)互素当

且仅当存在

u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)

=

1.26互素_227性质:设

f1(x)

|g(x),

f2(x)

|

g(x),且

(f1(x),

f2(x))

=

1,

则f1(x)

f2(x)

|

g(x).设(f(x),g(x))=

1,且f

(x)|g(x)h(x),则f

(x)|h(x).设(f(x),g(x))=d(x)≠0,

且f

(x)

=

f1(x)d(x),g(x)=g1(x)d(x),

则(

f1(x)

,g1(x)

)

=

1.设(

f1(x),g(x)

)=

1,(

f2(x),g(x))

=

1,则(

f1(x)

f2(x),

g(x))

=

1.中国剩余定理_1引理

设

p1(x),

p2(x),…,

pn(x)是数域K上两两互素的

多项式,证明对于每个i,

1≤i≤n,存在多项式fi(x),使得中国剩余定理

设p1(x),

p2(x),…,

pn(x)是数域K上两

两互素的多项式,degpi(x)=mi,1≤

i≤n,则对任意n个多项式f1(x),

f2(x),…,

fn(x),存在唯一多项式

f(x),使得

deg

f(x)<m1+m2+…+mn,且对任意i,1≤i≤n,有f(x)

≡fi(x)(mod

pi(x)).28中国剩余定理_2Language插值公式设a1,a2,…,an是数域K上n个不同的数,则对

任意n个数b1,b2,…,bn,存在唯一次数小于

n的多项式适合条件L(ai)=bi,1≤i≤n.2930§5.4

目的与要求熟练掌握不可约因式的基本性质;掌握因式分解定理的存在性与唯一性的证明方法;熟练利用标准分解式解决相关问题;理解重因式的概念与判定方法.不可约多项式_定义定义

设

f(x)∈K[x],

且deg

f(x)≥1,

若

f(x)不能表

为两个次数较小的多项式之积,

则称

f(x)是不可约多项式,否则称为可约多项式.注1

多项式的可约不可约与数域

K有关.例如

x2－2在Q[x]上是不可约多项式,

但在R[x]上

是可约多项式.注2

K上不可约多项式f(x)的因式只能是K上非零

常数c及c

f(x).注3

多项式分为:可约多项式,不可约多项式,0次

多项式和0多项式.31不可约多项式_性质性质1

f(x),

p(x)∈

K[x],

且p(x)是不可约多项式,则或p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=

1.性质2设f(x),

g(x),p(x)∈

K[x],且

p(x)是不可约多项式,若p(x)|f(x)g(x),则或p(x)|f(x)或p(x)|g(x).注1

设p(x)∈

K[x],degp(x)>0,满足以下性质:对任意

f(x)∈K[x]或

p(x)|

f(x)

或

(

f(x),p(x))=1,则p(x)是不可约多项式.注2设p(x)∈

K[x],degp(x)>0,满足以下性质:对

任意

f(x),

g(x)∈

K[x],如果p(x)|f(x)g(x)必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),则p(x)是不可约多项式.32因式分解基本定理_1定理设f(x)∈

K[x],且degf(x)≥1,则f(x)

=

p1(x)

p2(x)…

ps(x),

其中

pi(x)

是不可约多项

式,1≤i≤s;若f(x)

=

p1(x)

p2(x)…

ps(x)

=

q1(x)

q2(x)…

qt(x)其中

pi(x),

qj(x)是不可约多项式,

1≤i≤s,

1≤j≤t,则必有s

=

t且经过适当调换因子顺序后,qj(x)=ci

pi(x),1≤i≤s,

其中ci是K中非零常数.多项式的标准分解式其中pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,ei≥1.33最小公倍式定义:设f(x),

g(x),

c(x)∈

K[x],且c(x)的首项系数为1，c(x)称为f(x),

g(x)的最小公倍式,如果f(x)|c(x),且g(x)|c(x)若f(x)|h(x),g(x)|h(x),则c(x)|h(x)记为c(x)=

[f(x),g(x)]34因式分解基本定理_2定理设ai≥0,

bi≥0,ai+bi＞0,1≤i≤m,pi(x)是两两互素首项

系数为1的不可约多项式,则35重因式_1多项式的导数设

f(x)

=

anxn

+

an-1xn-1

+…+

a1x

+

a0,

则其导数为f

’(x)

=

nanxn-1

+

(n-1)an-1xn-2

+…+

a1(f(x)+

g(x))’=f’(x)+g’(x)(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)(cf(x))’

=cf

’(x)(f

m(x))’=mfm-1(x)f’(x).36定义

不可约多项式p(x)称为f(x)的ei重因式(ei＞1),如果 并且

.定理

f(x)无重因式当且仅当(f(x),

f

’(x))=1.定理

设d(x)=(f(x),

f’(x)),

f(x)

=f1(x)d(x),

则

f1(x)是一个无重因式的多项式,

且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.是证明思路:设

标准分解式,则而重因式_237§5.5

目的与要求理解多项式可作为函数的根的性质;理解两个多项式相等

作为函数相等;了解多项式的性质与数域扩大的关系;能应用多项式的函数性质解决相关问题.38多项式函数_1设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

对任意b

∈K,

定义f(b)=anbn+an-1bn-1+…+a1b+a0,

则定义了数域K上的函数.定义

设f(x)∈K[x],

b∈K,

且f(b)=0,

则称b为f(x)的一个根或零点.余数定理

设f(x)∈K[x],

b∈K,

则存在唯一的g(x)∈K[x],使得

f(x)=(x-b)

g(x)+

f(b).

特别地,

b

是f(x)的根当且仅当(x-b)|

f(x).39多项式函数_2定理

设f(x)∈K[x],且degf(x)=n,

则f(x)在K内至多有n个不同的根.推论

设f(x),

g(x)∈K[x],且degf(x),

degg(x)≤n,且存在不同的n+1个数

b1,

b2,

…,

bn+1∈K,使得f(

bi)=g(bi

),1≤i≤n+1,则f(x)=g(x).定理

设f(x),

g(x)∈K[x],

则f(x),

g(x)作为多项

式相等(即次数和各次项系数相等)当且仅当f(x),

g(x)作为多项式函数相等:

即对任意b∈K,有f(b)=g(b).40例例1

sinx不是R上多项式.例2

设degf(x)>0,

n是正整数.

又若f(x)|f(xn),则f(x)的根或为0或为单位根.41多项式函数_3定义

b∈K,

若(x－b)k

|

f(x),

但则称b为f(x)的一个k重根.

若k=1,

则称b为单根.注1

f(x)有重根,则必有重因式;反之未必.命题设f(x)∈K[x],且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个根.42例子例3设b是f(x)的k重根,则b是f’(x)的k-1重根.反之未必.例4

设b是(f(x),f’(x))的k-1重根,则b必是f(x)的k重根.43多项式性质与数域扩大的关系多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大无关定理设F,K是数域,

且

.

设f(x),

g(x)

∈K[x],

则在K[x]上,

g(x)

|

f(x)

在F[x]上,

g(x)

|

f(x);在K[x]上,

f(x)

=g(x)

q(x)

+r(x)

在F[x]上,

f(x)=g(x)

q(x)

+

r(x)在K[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=

d

(x)

在F[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=

d

(x)在K[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=1

在F[x]上,

(f(x),

g

(x)

)

=

1多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关44例子例5

讨论f(x)=x2+1在R、C上的根与可约性.例6f(x)在K上不可约,则必在任何数域上无

重根.例7

f(x),p(x)是K上多项式,p(x)在K上不可

约,

且f(x)与p(x)在C上有公共根,则p(x)|f(x).例8f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,

m,n,p是正整数,

则x2+x+1|x3m+x3n+1+x3p+2.例9

f(x)∈Q[x],

若a+ib,

a,

b

∈Q是f(x)的根,证明:

a-ib也是f(x)的根.例10

求正整数m,使x2+x+1|(x+1)m–

xm–1.4546§5.6

目的与要求理解代数基本定理与C[x]上多项式标准分解式;熟练掌握Vieta定理;了解一元三次、四次方程的根式解法以及Galois在根式解问题的重大贡献.复系数多项式代数基本定理

每个次数大于0的复数域上多项式都至少有一个根.推论

复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.推论

复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上非常数多项式的标准分解式:其中ai∈C且两两互异,ei>0,1≤i≤m,47Vieta定理_根与系数的关系设f(x)=

xn

+p1xn-1

+…+

pn-1x+

pn∈K[x]在K中有n个根x1,

x2,…,xn

,则48一元三次方程的公式解_Cardan公式考虑一元三次方程式

f(x)=x3+ax2+bx+c=0

.作变换

,化为缺二次项方程

y3+py+q=0.考虑方程

f(x)=x3+px+q=0 (*)

的根.若q=0,则 是方程的根.若p=0,则 是方程的根,其中若p≠0,q≠0,令x=u+v,得x3-3uvx-(u3+v3)=0.

比较(*)式,得

或49一元三次方程的公式解_Cardan公式由Vieta定理知,

u3,v3是 的两个根.

所以令 可得式(*)的三个根为50一元四次方程的公式解_Ferrari解法设f

(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,作变换

，

问题归结为解下面方程:

x4+ax2+bx+c=0

(*)引入新的未知量u,得若中括号内是一个完全平方，则可化为两个二次方程来解．而中括号是完全平方当且仅当

解出u，则(**)变为分解因式后得到两个二次方程：,注:高于四次以上的方程一般是没有公式解．51用根公式解代数方程的历史_152一元二次方程：公元前2000年，古巴比伦

人，类似配方法一元三次方程：S.del.Ferro(1465-1526)和N.Fontan

Linebreak(即Tartaglia)(1499-1557)，根式解一元四次方程：L.Ferrari(1522-1565)，根式解以上解法收入G.Cardano(1501-1576)

在1545

年出版的《Ars

Magna（大术）》中用根公式解代数方程的历史_2挑战：找出五次方程的根式解1545年来近300年努力，

中间应该提到Lagrange,Gauss,

P.

Ruffini等名字。1824年，挪威青年数学家Abel（

-1828）证明了一般五次方程根式解的不可能性。但证明有漏洞，且未解

决一元n次方程何时可用根式求解，何时不可用根式求解。1830年，法国天才的青年数学家Galois借助于他创立的群的理论彻底解决这个问题。用域论、群论语言刻

划了f(x)可用根式解的充要条件。Galois的工作更重要的是开创了代数学的新纪元。一门全新的并在代数学中起极其重要的数学分支——抽象代数从此诞生了。53例子例1设f(x)=anxn+…+a0的n个根x1,x2,…,xn两两互异,

且xi≠0,

1≤i≤n,

求以 为根的多项式.例2设 是x3+px2+qx+r的根.

求多项式,

使得其根为例3

设f(x)∈C[x].

若对于任意的c∈R,

f(c)

∈R.

求

证f(x)∈R[x].例4

f(x)=anxn+…+a1x+a0在K上可约,

其中ana0≠0,

证明g(x)=a0xn+…+an-1x+an在K上也可约.5455§5.7

目的与要求熟练掌握实系数多项式的标准分解式;学会实系数多项式的实根的上下界的估计;掌握计算实根个数的Sturm方法;学习一些解决实系数多项式问题的方法和技巧.实系数多项式定理:设f

(x)

=

anxn

+

an-1xn-1

+…+

a1x

+

a0

是实系数多

项式.若复数a+

bi(b≠0,

a,b

∈R)是f(x)的根,

则a－bi也是f(x)的根.推论:实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,

其中b2－4ac<0.实数域上非常数多项式的标准分解式:j56其中ai,

bj,

cj∈R,

ei,

lj

>0,

bj2－4cj<0,

ai两两互异,

且x2+bjx+cj两两互素,

1≤i≤m,

1≤j≤r.实多项式根的上下界估计_1定理:设f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

是R上n

次多项式,其中an>0,an-1≥0,

…,

an-k-1≥0.

但an-k<0.并设b是负系数绝对值中的最大者.(注意b>0),则对f

(x)的任一正根c(如果存在),有:注:

求负根的下界,只需求正根的上界即可.57实多项式根的上下界估计_2证明:反证法.若

则因此c不可能是f(x)的零点。58实多项式的实根个数的估计_1Sturm序列:设f

(x)没有重根,记

g0(x)=f

(x),

g1(x)=f

’

(x).则(f

(x),f

’

(x))=1.

对f

(x)与f’(x)作辗转相除：g0(x)

=

g1(x)q1(x)

－

g2(x)g1(x)

=

g2(x)q2(x)

－

g3(x)…gs-2(x)

=

gs-1(x)qs-1(x)

－

gs(x)其中gs(x)为非零常数多项式，我们称:g0(x),

g1(x),

…,

gs(x)是一个Sturm序列.59实多项式的实根个数的估计_2对任意实数c,

得到实数列:

g0(c),

g1(c),…,

gs(c),

划去其中零,

从左往右看,

相邻两个数符号相反,

则称有一个变号数.

变号数的总和称为该数列的变号数,记为V(c)．引理

上述Sturm序列有下列性质：相邻的两个多项式gi(x)与gi+1(x)无公共根；若gi(c)

=

0,

则gi－1(c)

=

－gi+1(c);,3)

若c是g0(x)的根,

则存在 使当时,g0(x)与g1(x)异号;

当 时,

g0(x)与g1(x)同号.60实多项式的实根个数的估计_3Sturm定理

设f(x)是实系数多项式且无重根,a<b,a,b都不是f

(x)的根,且在(a,b)间有根,则V(a)>V(b),且f

(x)在区间(a,b)内实根的个数等于V(a)－V(b).

特别,若a,

b分别是f(x)的实根的下上界,则V(a)－V(b)等于f(x)的实根总数．证明思路:

1)

当

x

增大且不经过上述Sturm序列中每个多项式

的零点时,变号数不变;当

x

增大且经过Sturm序列中除g0(x)外的某些多

项式的零点时,它们的总变号数不变;当

x

增大且经过Sturm序列中含g0(x)

的多项式的零点时,它们的总变号数恰好减1.61例子例1

求x4-4x3+12x+9的实根的上下界.例2实数列1,0,-3,4,0,2,-1,2,1,0,1的变号数.例3

求f(x)=

x4-4x3+12x+9的实根个数.例4

设f(x)∈R{x},

deg

f(x)为奇数,

则f

(x)必有实数根.例5

方程x8+5x6+4x2+2x2+1=0无实根.例6

设f(x)∈R{x},

则在

f(x)的两个实根之间

至少存在f’(x)的一个根.62例子例7已知,

ci∈R,

0≤i≤n.

证明f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn至少有一个实根.例8

设f(x)∈R[x],

若f(x)只有实根.

证明:

若α是f

’(x)

的重根,则f(α)=0.例9

设f(x)∈R[x],

且对于任意的r

∈R,

有f(r)≥0,

求

证存在g(x),

h(x)

∈R[x],

使得f(x)=

g2(x)

+h2(x)

.例10

设f(x)∈R[x],

证明:

f(x)有虚根的充要条件是存

在两个次数不相同的非零多项式g(x),

h(x)

∈R[x],使得f

2(x)=

g2(x)

+h2(x)

.6364§5.8

目的与要求学会用综合除法等方法求一些Q上多项式的有理根;理解Z上多项式在Q上可约性的关系;熟练应用Einsenstein判别法;了解Q上多项式分解问题的一些技巧与方法.有理系数多项式_1定理：设f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系数多项式,

则有理数p/q是f

(x)的根的必要条件是p|an,

q|a0,其中p,q是互素的整数．注首一的整系数多项式其有理根必为整数.定理：设 是整系数多项式f

(x)的整数根,

则都是整数.例1

判断6,－6是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根.65有理系数多项式_2综合除法：f

(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x－b)(bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b1x+b0)+f(b)banan-1bn-1ban-2bn-2ban=bn-1bn-2bn-3…a1a0…b1bb0b…b0f(b)例2

证明f(x)=x5－12x3+36x+12没有有理根.66有理系数多项式_3引理:设f(x)是有理数域上的多项式.若f(x)=bg(x),

其中b为有理数,g(x)为整系数多项式,

则f(x)在有理数域上是否可约与g(x)在有理数域上是否可约等价.定义:设多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系数多项式,

若an,

an-1,

…,

a0的最大公约

数为1,则称f(x)为本原多项式．Gauss引理:

两个本原多项式之积仍为本原多项式．67有理系数多项式_4引理:若g(x)是本原多项式,a是非整数的有理数,

则ag(x)必是非整系数多项式.定理:整系数多项式f(x)在有理数域上可约充要条

件是其在整数上可约.注1若整系数多项式f(x)在有理数域上可约,则它

必可分解为两个次数较低的整系数多项式之积.注2有理系数多项式在有理数域上的可约问题可

以转化为整系数多项式在整数上是否可约.68有理系数多项式_5Eisenstein判别法:设多项式f

(x)

=anxn+an-1xn-1+

…+a1x+a0是整系数多项式,

an≠0,

n≥1，p是一个素数,

若

p|

ai

,

０≤i≤n-1.

但

p不整除

an,

且

p2不整除a0

,则f

(x)在有理数域上不可约.69例子例3

对任意n≥1,

xn-2在Q上不可约.例4

对任意n,

m≥1,

两两不同的素数p1,

p2,

…,

pm,

证

明xn-p1p2…pm在Q上不可约.例5

设x=ay+b,

a≠0,

a,b∈Z,

f(x)

∈Z[x].

若p(y)≡f(ay+b)在Q上不可约,则f(x)在Q上也不可约.例6

若p为素数,

证明f(x)=xp-1+xp-2+…+x+1在Q上不可约.例7证明当n为素数时,在Q上不可约.70例子例8求的有理根.例9设,其中为两两不同的整数.求证f(x)在Q上不可约.例10

设,其中为两两不同的整数.求证f(x)在Q上不可约.71一元多项式性质小结与数域无关的性质:整除,带余除法,最大公

因式,互素,有否重因式.与数域有关的性质:不可约多项式,标准分

解式,多项式的根.定理:设p(x),

f(x)∈

K[x]是不可约多项式,

若

p(x)和

f(x)在复数域上有公共根,则p(x)|f(x).7273§5.9

目的与要求掌握多元多项式的字典排序法和齐次排序法;理解多元多项式与多元多项式函数的关系.多元多项式_1定义

设K是个数域,x1,x2,

…,xn是未定元,形如称为单项式,

a为单项式的系数.

当a≠0时,k1+k2+…+kn为单项式的次数.

两个单项式除系数外

其余相同,称为同类项.定义有限个单项式的和称为n元多项式.

我们总假设n元多项式表达式中同类项已经合并.n元多项式的次数是指非零的单项式

的次数中最大的单项式的次数.74多元多项式_275多项式的运算:两个n元多项式相等当且仅当它们同类项的系数全部相等．两个n元多项式多项式的加法:合并同类项n元多项式与数的数乘两个n元多项式多项式的乘法:各单项乘再求和记K[x1,

x2,…,xn]为数域K上n元多项式的全

体,

则K(x1,

x2,

…

,

xn]在上面定义的加法,

数乘,

乘法运算构成带单位元的交换的K-代数.多元多项式_3定义每个单项式 对应n元数组(i1,i2,

…,in).两个n元数组(i1,i2,

…,in),(j1,j2,…,jn)若满足:i1=j1,

i2=j2,..,il-1=jl-1,il>jl,则称(i1,i2,

…,in)先于(j1,j2,…,jn),记(i1,i2,…,in)>

(j1,j2,…,jn).这样就给n元数组一个顺序,对应地给所有单

项式一个顺序.

这样的n元多项式排列方法称为字典排列法.76多元多项式_4注1字典排列法的首项的次数未必最大;末项

次数未必最小.注2若(i1,i2,…,in)>

(j1,j2,…,jn)且(j1,j2,…,jn)>

(k1,k2,…,kn),则(i1,i2,…,in)>

(k1,k2,…,kn).若(i1,i2,…,in)>

(j1,j2,…,jn)且(p1,p2,…,pn)>

(q1,q2,…,qn),则(i1

+p1,…,in+pn)>

(k1+

q1,…,kn+qn).77例子例1字典排列法重排下列4元多项式:78多元多项式_5定义一个多项式称为k次齐次多项式,如果它

的每个单项式都是k次,即其中i1+i2+…+in=k.性质1

两个次数相同的齐次多项式之和若非零,必为同次齐次多项式.性质2任意两个齐次多项式的乘积仍为齐次

多项式.79多元多项式_6定义齐次排列法将多项式各次数相同的项放

在一起,

用次数高低表为若干个齐次多项式之和.注1

当n=1时,

不论是字典排列法或齐次排列

法,与一元多项式的次数排列法一致.注2

一般的,

一个n元多项式的齐次排列法不唯一.齐次排列法首项不唯一,但其次数为此

多项式的次数.80例子例2齐次排列法重排下列4元多项式:81多元多项式_7引理若f(x1,x2,…,xn)和g(x1,x2,…,xn)都是K上n元

非零多项式,则按字典排列法,乘积f

(x1,x2,

…,

xn)g

(x1,

x2,…

,xn)的首项等于f(x1,x2,…,xn)与g(x1,x2,…,xn)的首项之积.命题

若f

(x1,

x2,

…,

xn)≠0,

g

(x1,

x2,

…,

xn)≠0,

则f

(x1,

x2,

…,

xn)

g

(x1,

x2,

…,

xn)

≠0．推论

设h(x1,

x2,

…,

xn)≠0,

若f

(x1,

x2,

…,

xn)

h(x1,

x2,

…,

xn)

=

g(x1,

x2,

…,

xn)

h

(x1,

x2,

…,

xn)则f

(x1,

x2,

…,

xn)

=

g(x1,

x2,

…,

xn)

.82多元多项式_8引理设f(x1,x2,…,xn)是K上n元非零多项式,

则必存在K上n个数a1,a2,…,an使得f(a1,a2,…,an)≠0．命题

K上两个n元多项式f(x1,x2,…,xn),

g

(x1,x2,…,xn)相等的充要条件是对任意a1,a2,…,an∈K都有f(a1,a2,…,an)=g(a1,a2,…,an)．83例子例1

设f(x1,

x2,

…,xn),

g