现代数学与中学数学1《微积分-从黎曼到勒贝格》

现代数学与中学数学江西师范大学数学与信息科学学院第一讲微积分的根本思想——从黎曼到勒贝格微积分根本定理若f(x)在[a,b]上连续，则若F`(x)在[a,b]上连续，则导数（切线斜率）xi-1xi定积分（面积）微积分开展的三个阶段创立〔17世纪〕：Newton〔力学〕Leibniz〔几何〕(无穷小)严格化〔19世纪〕:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(ε-N,ε-δ语言)，实数理论)外微分形式〔20世纪初〕：Grassmann,Poincare,Cartan〔微积分根本定理如何在高维空间得到表达〕微积分继续开展的三个方向外微分形式(整体微分几何)〔微积分根本定理如何在高维空间得到表达〕复数域上的微积分〔复变函数〕微积分的深化和拓展〔实变函数〕1.Riemann积分回忆

(1)Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义〔非负函数〕：函数图象下方图形的面积。xi-1xi其中(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xixi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积

注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积xi-1xi例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由[0,1]中每个有理点长出的单位线段组成。上积分下积分01〔3)Riemann积分的局限性a.微积分根本定理

定理：假设f(x)在[a,b]上可微且f`(x)在[a,b]上Riemann连续,那么注：推荐大家看看龚昇写的《话说微积分》，《简明微积分》,数学历史的启示〔《数学教学》，2001.1〕,微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3〕1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；b.积分与极限交换次序〔一般要求一致收敛〕

例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数列

故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：不一定成立。则{fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但不Riemann可积。Riemann积分xi-1xi为使f(x)在[a,b]上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积〞中提出〔参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1〕yiyi-1用mEi表示Ei的“长度〞Lebesgue积分思想yiyi-1f(x)在Ei上的振幅不会大于δ其中mEi表示Ei的“长度”，即：对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假设我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-1013.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei的“长度〞如何定义〔测度论〕；(2)怎样的函数可使Ei都有“长度〞〔可测函数〕；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质〔积分论〕；yiyi-14.集合论中的一些例子(1)Achilles追龟

问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数〞一样，从而跑过的点的“个数〞也一样。0(甲)½（乙）3/4

7/8

15/161甲的速度为1，乙的速度为1/2(2)Hilbert旅馆问题1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…问以下情况是否能把新来的人安排下：1又来了有限个人{b1,b2,b3,…，bn}3每个人带无限多个亲戚〔亲戚可排个队〕4又来了[0,1]个人2每个人带一个亲戚{b1,b2,b3,…,bn,…}Hilbert旅馆问题解答1b1,b2,b3,

…,bn,a1,a2,a3,…1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…4不能安排进去〔[0,1]是不可数集〕2b1,a1,b2,a2,b3,a3,…3a1,a2,a3,a4,…a11,a12,a13,a14,…a21,a22,a23,a24,…a31,a32,a33,a34,………1、周