高一数学 基础秘诀

PAGEPAGE1高一数学同步提高（上）基础秘诀部分1.1集合,子集、全集、补集[基础秘诀]什么是集合及集合的元素?集合的元素有哪些特性?[解]集合的元素有三个特性:1.____________;2.____________;3.____________.试总结集合的表示法及集合的分类.[解]集合的一般表示法有三法:____________________________________.特殊集合的表示法,主要是:实数集的子集的区间表示法;(2)常用集合的符号.(提前讲授“区间”,区间是实数集的子集的最简表示法,学会后立即使用它!)用描述法写出下列区间的定义:[a,b]={x|axb};(a,b)=______________;=______________;=____________;=____________;=___________.用符号语言写出奇数集、偶数集的定义.[解]奇数集:____________________;偶数集:__________________.用符号语言写出子集、真子集、补集的定义.[解]AB__________________________;规定______A(任意).A⊊B___________________________________.∁SA=___________________________.试区别集合与集合、集合与元素的关系.1.2集合的基本运算(交、并、补)[基础秘诀]用符号语言写出交集,并集的定义.[解]A∩B=____________________________.A∪B=____________________________.画出下列集合图(全集为S)，并总结“集合傻瓜图”(7图).(1)A∩(∁SB)；(2)(∁SA)∩(∁SB)；(3)(∁SA)∪(∁SB).你知道下列定律,原理和公式吗?(1)反演律:(2)容斥原理:(3)有限集合的子集数目公式:2.不等式[基础秘诀]试总结“绝对值的性质表”.[解]绝对值的性质表:1.,|a|=|OA|2.|a|=|a|3.;4.,取等号ab0;,取等号ab05.对任意的aR,求证:[证明]试总结“绝对值不等式的解法”.[解]有四法:(1)公式法:利用同解定理(2)分域法:零点分段,化去绝对值.(3)图解法.(4)平方法:注意等价.解不等式ax+b>0.[解]写出“一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解法步骤”.[解]三步:1.使a>0;2.计算判别式——求根;3.表出解集.什么是“数轴标根法”？[解]“数轴标根法”是解有理不等式(包括一元二次不等式、分式不等式)的一个,它的步骤是三步:1.标准化:将不等式分解为标准式(xx1)(xx2)⋯(xxn)>0(或<0);2.数轴标根,区间标号;3.表出解集.[评注]“数轴标根法”是一个美妙的“傻瓜方法”,可用它化简一元二次不等式的解法;可用它解高次不等式、分式不等式.第3节简易逻辑[基础秘诀]你学习了几个逻辑联结词,它们与集合的子、交、并、补有何关系？怎样判断复合命题的真假?试用逻辑联结词写出“反演律”.试概述四种命题的真假关系,“否命题”与“命题的否定”有何区别?怎样判别p是q的什么条件（充分、必要、充要）？第1节函数，函数的表示法[基础秘诀]问1什么叫函数？试评注函数的三要素.[解]函数的定义(用映射定义):__________________________________________.函数的三要素是:(1)定义域;(2)对应法则;(3)值域.问2怎样表示函数?[解](1)基本表示法有三法:解析法,列表法,图象法(2)分段法(3)复合法(4)函数符号问3怎样求函数的定义域?[解]求函数定义域的步骤:(1)列条件组,即列出自变量满足的充要条件;(2)解条件组;(3)表出定义域.确定定义域的法则:(没学的空白以后填)(1)有分式——分母0;(2)有偶次根式——被开方式0;(3)有零指数幂——底0;(4)有分数指数幂——___________________;(5)有对数——_______________________;(6)有tanx——____________________;(7)有cotx——____________________;(8)有_____________;(9)有抽象式——由函数符号的意义来确定;(10)有实际问题——由问题的实际意义来确定.问4怎样求函数的值域?[解]求函数值域的通法:(没学的空白以后填)正变换原理：①直接法②不等式法③__________④换元法逆变换原理：⑤方程法(反解法)⑥判别式法⑦____________图解原理：⑧图解法微分原理：⑨_____________问5怎样求函数的解析式?[解](1)待定系数法;(2)换元法:设法;凑法.第2节函数的单调性,奇偶性[基础秘诀]总结单调性判别法.[解](1)定义法:设,则f(x)在[a,b]上是增函数;f(x)在[a,b]上是减函数________________.(2)图象法:________________.(3)复合法:________________.[评注]“函数f(x)=在其定义域上是减函数”正确吗？总结奇偶性判别法.[解]函数奇偶性判别法有:(1)定义法：f(x)是奇函数f(x)是偶函数______________________.(2)图象法:奇函数图象关于原点对称;偶函数________________.(3)函数f(x)的定义域关于原点不对称f(x)非奇非偶.(4)函数f(x)是又奇又偶函数f(x)=0.(5)奇函数f(x)在原点有定义f(0)=0.反函数,图象变换[基础秘诀]写出反函数的定义.总结求反函数的步骤.[解]求反函数要区分两类函数:(一)求无附加条件的函数的反函数:1.反解;2.改写.(一)求有附加条件的函数的反函数:1.求定义域和值域;2.反解;3.改写.函数y=f(x)与反函数y=f1(x)有哪些关系?[解]1.互换性:_____________________;2.互逆性:_____________________;3.对称性:_____________________;4.单调性:_____________________.什么是函数图象法?[解]对于函数的图象,要学会作图,识图和用图,解决的方法主要是:1.描点法;2.图象变换法.试总结图象变换的傻瓜法则(现在要求学会“对称变换”和“平移变换”).[解]1.对称变换:(1);(2);(3);(4);(5).2.平移变换:.指数,指数函数[基础秘诀]试总结“指数公式表”.[解]指数公式表:(表中字母的取值范围自我标注)1.an=aaa(n个a);2.a0=1(a0);3.an=;4.;5.aman=am+n;6.(am)n=amn;7.(ab)n=anbn;8.;9.(n为奇数);(n为偶数)总结指数函数的图象和性质.[解]对数,对数函数[基础秘诀]试总结“对数公式表”.[解]对数公式表:1.互化：ab=Nb=logaN(a>0，a1，N>0)2.恒等：=N3.换底：logab=,推论1________________,推论2________________.4.logaMN=logaM+logaN5.logaMn=nlogaM试对比地总结指数函数与对数函数的图象和性质.[解]试总结指数与对数的符号法则.[解]试指出下列函数的单调性:g1(x)=(a>0),x(0,+∞);(2)g2(x)=(a<0),x(0,+∞)．总结函数g(x)=(a0)与f(x)=的单调性有何不同?(真假猴王)[解]总结指数对数问题的解题方法.[解](1)化同底.(2)取对数.(3)换元法.二次函数[基础秘诀]写出二次函数的三种形式.[解]二次函数的三种形式：(1)一般式y=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式y=a(xx0)2+y0,其顶点为(x0,y0).(3)零点式y=a(xx1)(xx2),其=b24ac0,顶点横坐标为.总结二次函数的图象和性质.[解]二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是对称轴垂直于x轴的抛物线,当a>0时上凹,当a<0时下凹.它的性质：(1)定义域：(，+).(2)值域：当a>0时为____________；当a<0时为________________.(3)对称性：对称轴方程为_____________.(4)单调性：当a>0时，减区间是__________，增区间是___________；当a<0时，减区间是__________，增区间是___________.(5)二次函数y=ax2+bx+c(a0)当x为何值时y=0、y>0、y<0?[评注]必须将二次函数与二次不等式、二次方程融会贯通，此即掌握“三个二次”.试给出“求二次函数f(x)=ax2+bx+c在闭区间[p,q]上的最值”的最快求法.(这是“傻瓜化”!)[解]最快求法分两步：第一步判定是否属于[p,q]；第二步当x0[p,q]时，比较f(x0)，f(p)，f(q)得最值.当x0[p,q]时，比较f(p)，f(q)得最值.[评注]这里废弃了“配方法”,将“图象法”抽象化.最简分式函数[基础秘诀]写出最简分式函数的两种形式.[解]最简单的分式函数在高考中经常出现,我们简称为“最简分式函数”,它有两种形式：(1)一般式y=(c0，且adbc).(2)中心式y=(k0),其中心为(x0,y0):x0=,y0=.[评注]怎样把一般式化为中心式?可用凑法或待定系数法.其中凑法是各校常讲的方法,是个笨法,我们废弃它,而用待定系数法:例如,把化为中心式,求其单调性.解:设中心式为,又过点(1,0),代入后解得,故所求中心式为,其单调性是:在(,2),(2,+)上分别单调递减.总结最简分式函数f(x)=的图象和性质.[解]函数y=(c0，且adbc)的图象是等轴双曲线,其中心为,渐近线方程为x=,y=.函数的性质是:(1)定义域:.(2)值域:.(3)单调区间是,请你回答:怎样判定增减?(4)对称性:有对称中心;有两条对称轴,其方程是_________.[评注]我们评注两个重要问题:1.为什么最简分式函数y=的图象是等轴双曲线?解:将反比例函数的图象平移,得到y=的图象,即是函数y=的图象.因为反比例函数的图象是等轴双曲线,所以函数y=的图象是等轴双曲线.至于为什么反比例函数的图象是等轴双曲线呢?这需要旋转变换才能证明(将在高等数学中学习).2.怎样快速(几秒钟内)画出函数y=的图象?(这是“傻瓜化”!)解:第一步,画“十字线”:x=,y=;第二步,选画一个特殊点,以确定等轴双曲线位于十字线的一、三象限还是二、四象限.试给出“求分式函数f(x)=在区间[p,q]上的值域”的最快求法.(这是“傻瓜化”!)[解]最快求法分两步:第一步判定x0=是否属于[p,q];第二步当x0[p,q]时,则比较f(p),f(q)得值域;当x0[p,q]时,定义域为,则比较f(p),f(q),,+得值域.第八节函数的综合应用[基础秘诀与数学方法]高考六个重点函数是(现在高一学过了四个)：(1)__________________(2)_________________(3)__________________(4)__________________(5)_________________(6)__________________函数的基本性质有六条(现在高一学过了五条):(1)__________________(2)_________________(3)__________________(4)__________________(5)_________________(6)__________________什么是“基本函数法”?什么是“辅助函数法”?什么叫数学模型?什么叫数学模型方法?第1节数列[基础秘诀]写出数列的定义、表示法及数列的分类,怎样研究数列的性质?[解]什么叫数列的通项公式与递推公式?二者有何区别?[解]通项公式是___________________________;递推公式是__________________________