学习微积分的入门

序中国战国时代〔公元前7世纪〕，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇〞中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小〔最小无内〕、无穷大〔最大无外〕的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的根底。古希腊时期〔公元前3世纪〕，阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了奉献。17世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚决根底。才使微积分进一步的开展开来。1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在开展着，人类认识微积分的水平在不断深化。※微积分学(Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头)是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成局部。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术开展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学开展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的根底上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学根本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。※在高二上学期的数学学习过程中，我们认识了导数和定积分，并开始了对其应用的理解和练习。其实，早在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型——微元法。同当年的科学家一样，我们也因物理上的应用需要，开始了对微积分学的认识之旅。借着这次研究性学习的契机，我们就了解一下微积分学的开展历史，认识数学研究对社会开展的重要意义，本着“以史为镜〞的态度了解其中曲折而有趣的开展历程；并由此拓展自己的知识面，增添自己对微积分学习的兴趣。作为理科生，探究过程中的我们也能结合所学历史知识、辩证分析的方法，培养自身人文素养，增强自身的综合素质，为高中阶段的历史学习画上圆满的句号。我们也对微积分在生活中就一些简单实际应用的一些研究来提高自己在以微积分的思想方法解决问题的能力；了解在哪些情况，哪些领域会用到微积分；进一步加深对微积分的认识。另一方面，在进行小组讨论、共同研究的时候，通过组员的积极参与和组员间的合作，我们可以通过共同探索增强自己的责任感，增进相互之间的友谊，提高自身的实践探究能力，学会将理论知识和动手实践能力结合来解决现实生活中的问题，以此提高自身的综合素质。微积分的主要内容及其他研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的根本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的根本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与科学应用联系着开展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学开展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的开展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断开展。微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的根本理论说明了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。这个根本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。微积分的根本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。极限微积分中最重要的概念是“极限〞。微商〔即导数〕是一种极限。定积分也是一种极限。从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数学家们奋斗了200多年。现在使用的定义是维斯特拉斯于19世纪中叶给出的。数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时，如果存在一个有限数〔非无限大的数〕，使这个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数列的极限。数列极限的表示方法是：其中L就是极限的值。例如当时，它的极限为L=0。就是说n越大(越往前延伸)，这个值越趋近于0。导数我们知道在运动学中，平均速度等于通过的距离除以所花费的时间，同样在一小段间隔的时间内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间内的速度，但当这一小段间隔的时间趋于零时，这时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化，当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。微分学微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖〞。积分学积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的外表积或体积等。而不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。微积分的符号微分学中的符号“dx〞、“dy〞等，系由莱布尼茨首先使用。其中的d源自拉丁语中“差〞〔Differentia〕的第一个字母。积分符号“∫〞亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和〞〔Summa〕的第一个字母s的伸长(和Σ有相同的意义)。微积分学的应用微积分学的开展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大局部科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分学作为根本数学工具。微积分学课程在高校理、工科教学中，微积分是“高等数学〞的主要内容之一。其教学法由学科创立一开始就受到人们重视。微积分的根本介绍微积分学根本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算，把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分那么是导数值与自变量增量的乘积，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分〞就是微分，“无限求和〞就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论根底是不牢固的。因为“无限〞的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限〞引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限〞的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限〞的概念。在“极限〞的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。微积分是与实际应用联系着开展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的创造更有助于这些应用的不断开展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术开展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学开展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。DifferentialandIntegralCalculus数学中的根底分支。内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。函数是微积分研究的根本对象，极限是微积分的根本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。17世纪后半叶，英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼兹，总结和开展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论根底。19世纪A.L.柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的根底上；加之19世纪后半叶实数理论的建立，又使极限理论有了严格的理论根底，从而使微积分的根底和思想方法日臻完善。极限的思想方法可追溯到古代，3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率π的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，那么与圆合体而无所失矣〞。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体表达。数列极限是函数极限的根底，一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作例如，数列的极限为0。微分学的根本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着根底而重要的作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。积分学的根本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。如果对每一x∈I，有f(x)＝F′〔x〕，那么称F(x)为f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么＝F(x)＋C，其中C为任意常数。定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的根本思想是用有限代替无限；根本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设f(x)为定义在[a，b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，记，｜｜Δ｜｜＝，任取xi∈Δxi，如果有一实数I，有下式成立：，那么称I为f(x)在[a，b]上的定积分，记为I＝f(x)dx。当f(x)≥0时，定积分的几何意义是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和〞。联系微分学和积分学的根本公式是：假设f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)的原函数，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此，计算定积分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使f(x)为初等函数，计算不定积分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方法有梯形法和抛物线法。微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学根底的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比方我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇〞中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，那么与圆周和体而无所失矣。〞这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了奉献。十七世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题〔微分学的中心问题〕，一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否认了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：连续运动的路径，求给定时刻的速度〔微分法〕；运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很乖僻的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇模糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和根本微分法那么。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的开展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的开展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的根底上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟成效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术〞中停步不前，因而数学开展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于创造优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分模糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些根底方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚决根底。才使微积分进一步的开展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广阔的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西……欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。微积分历史积分的起源很早，古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法。阿基米德〔Archimedes〕用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子。文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的开展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯·麦卡托〔GerardusMercator〕创造了所谓的麦氏投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。17世纪的前半，是微积分学的酝酿时期。确实划分微积分学这门学科是在17世纪由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿几乎同时创立的，对此学界曾有极大的争论，两人曾为争夺微积分的创造权诉诸皇家学会仲裁。在他们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科。而微积分之名与其符号之使用那么是莱布尼茨所创。虽说微积分是莱布尼茨和牛顿创造的，但是指的是他们两人使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理上。在他们之前，微积分是萌芽时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。在牛顿、莱布尼茨以前，对微分、积分最有奉献的大概要算皮埃尔·德·费马了，可惜他未能体会两者之间的密切关系。而牛顿的老师伊萨克·巴罗〔I.Barrow,1630～1677〕虽然知道两者之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功，予西方数学非常深远的影响，一般认为，唯有几何的论证方法才是严格的，才是真正的数学，代数也不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题。这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能有有效的计算方法，如巴娄就是。牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点，开展了有效的微分方法，可是他的方法迟迟未敢开展。虽然他用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但因害怕当时人的批评，在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中，却把微积分的痕迹抹去，而仍以古典的几何论证方式论述。微积分实际被许多人不断地完善，也离不开巴罗、笛卡尔、费马、惠更斯和沃利斯的奉献。牛顿、莱布尼茨虽然把微积分系统化，但它还是不严格的。可是微积分被成功地用来解决许多问题，却使十八世纪的数学家偏向其应用性，而少致力于其严格性。当时，微积分学的开展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉〔L.Euler,1707～1783〕、拉格朗日〔J.U.Lagrange,1736~1813〕、拉普拉斯〔P.S.deLaplace,1749~1827〕、达朗贝尔〔J.deR.d'Alembert,1717~1783〕及白努利〔D.Bernoulli,1700~1782〕世家等人的手里。研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论。使微积分学不因根底不稳而将之错误。在这些众数学家的手中，微积分学的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程，而迈向更高深的解析学。开展现代微积分理论的一个动力是为了解决“切线问题〞，另一个是“面积问题〞。18世纪的分析学驱动18世纪的微积分学不断向前开展的动力是物理学的需要，物理问题的表达一般都是用微分方程的形式。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身又开展出了多元微分学、多重积分学、微分方程、无穷级数的理论、变分法，大大地扩展了数学研究的范围。其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决。微积分创造优先权大争论历史上，微积分是由两位科学家，牛顿和莱布尼茨几乎同时发现的。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越奉献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法，认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系；他们都各自建立了微积分学根本定理，他们给出微积分的概念、法那么、公式和符号理论为以后的微积分学的进一步开展奠定了坚实而重要的根底。总之，他们创立了作为一门独立学科的微积分学。微积分这种数学分析方法正式诞生以后，由于解决了许多以往靠初等数学无法作答的实际问题，所以逐渐引起科学家和社会人士的重视。同时，也带来了关于“谁先建立微积分〞问题的争论。从牛顿和莱布尼茨还在世时就开始出现这种争论，英国和欧洲大陆各国不少科学家都卷入这场旷日持久的、锋利而复杂的论战。这场论战持续了100多年的时间。就创造与发表的年代比较，牛顿创造微积分根本定理比莱布尼茨更早。前者奠基于1665—1667年，后者那么是1672—1676年，但莱布尼茨比牛顿更早发表微积分的成果。故创造微积分的荣誉应属于他们两人。中国古代数学中微积分的萌芽微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到古希腊的阿基米德都作出了各自的奉献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比较的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小〔最小无内〕、无穷大〔最大无外〕的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3.1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻表达。微积分思想虽然可追溯古希腊，但它的概念和法那么却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法根底上产生和开展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术〞、“会圆术〞和“棋局都数术〞开创了对高阶等差级数求和的研究。南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术〞——增乘开方法解任意次数字〔高次〕方程近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都到达了中国古代数学的顶峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法根源图〞和增乘开方法、“正负开方术〞、“大衍求一术〞、“大衍总数术〞〔一次同余式组解法〕、“垛积术〞〔高阶等差级数求和〕、“招差术〞〔高次差内差法〕、“天元术〞〔数字高次方程一般解法〕、“四元术〞〔四元高次方程组解法〕、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪创造微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。第二次数学危机及微积分逻辑上的严格化微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期。对18世纪的数学产生了重要而深远的影响。但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑根底，这在初创时期是不可防止的。科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果。根本问题只好先放一放。正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！〞数学史的开展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑根底。于是在微积分的开展过程中，出现了这样的局面：一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用，从而迅速地开展；另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的，出现了越来越多的悖论和谬论。数学的开展又遇到了深刻的令人不安的危机。例如，有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计。由于这些矛盾，引起了数学界的极大争论。如当时爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷小量〞是“已死的幽灵〞。贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判。当时牛顿对导数的定义为：当x增长为x+o时，x的立方〔记为x^3〕成为〔x+o〕的立方〔记为(x+o〕^3)。即x^3+3x^2o+3xo^2+o^3。x与x^3的增量分别为o和3x^2o+3xo^2+o^3。这两个增量与x的增量的比分别为1和3x^2+3xo+o^2，然后让增量消失，那么它们的最后比为1与3x^2。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一局部假设o是不为0的，而在论证的后一局部又被取为0。那么o到底是不是0呢？这就是著名的贝克莱悖论。这种微积分的根底所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的根底。第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了防止使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展开式的根底上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家B.Bolzano.曾著有《无穷的悖论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。分析学的奠基人，法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的根本概念和精确定义。对分析根底做更深一步的理解的要求发生在1874年。那时的德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改良为Riemann积分。这些事实使我们明白，在为分析建立一个完善的根底方面，还需要再深挖一步：理解实数系更深刻的性质。这项工作最终由外尔斯特拉斯完成，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。这样一来，数学分析所有的根本概念都可以通过实数和它们的根本运算表述出来。微积分严格化的工作终于接近封顶，只有关于无限的概念没有完全弄清楚，在这个领域，德国数学家Cantor做出了杰出的奉献。总之，第二次数学危机和核心是微积分的根底不稳固。柯西的奉献在于，将微积分建立在极限论的根底上。外尔斯特拉斯的奉献在于逻辑地构造了实数论。为此，建立分析根底的逻辑顺序是实数系——极限论——微积分微积分的现代开展人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在开展着。以以下举了几个例子，足以说明人类认识微积分的水平在不断深化。在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后，Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将Riemann积分的含义扩展。例如著名的Dirichilet函数在Riemann积分下不可积，而在Lebesgue积分下便可积。前苏联著名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等现在数学工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天地。我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。并且这门学科至今仍然很活泼。由我国数学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜测便属于这一领域。在多元微积分学中，Newton—Leibniz公式的对照物是Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及经典的Stokes公式。无论在观念上或者在技术层次上，他们都是Newton—Leibniz公式的推广。随着数学本身开展的需要和解决问题的需要，仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演着重要的角色。于是，外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。而经典的Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及Stokes公式也得到了统一。微积分的开展历史说明了人的认识是从生动的直观开始，进而到达抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地开展。人类对自然的探索永远不会有终点。微积分的诞生及其重要意义微积分的诞生是继Euclid几何建立之后，数学开展的又一个里程碑式的事件。微积分诞生之前，人类根本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了根底推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可少的工具——微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分开展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。〞有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。旋转液体的液面以等角速度ω旋转的液体，液面的形状如何求得？解答：假设它的剖面是一条曲线，Y轴是转轴，旋转面以Y轴为对称轴，此时在液面会得到一正压力R，R可以同时提供向心力，，和重力因此其中、都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕Y轴的旋转面。直接求sin(x)的导函数从几何上如何找到sin(x)的微分呢？解答：直接求把θ变动△θ，sinθ从变到，我们要了解与△θ之比，△θ是一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此与△θ之比之比可以想成是cosθ四只苍蝇飞行问题有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1,-1﹚，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：A苍蝇一直向着B苍蝇靠近，B苍蝇一直向着C苍蝇靠近，C苍蝇一直向着D苍蝇靠近，D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？﹙2﹚它们多久会相遇？﹙3﹚找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。﹙4﹚计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。﹙5﹚苍蝇A会有什么样的生理反响？解答：﹙1﹚、﹙2﹚：从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以1单位/秒的等速向B靠近，原来A、B的距离是2单位，因此需要秒的时间四只苍蝇会相遇﹙，，的推论都一样，∴四只会一起相遇﹚图一图二图三﹙3﹚：我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式表达，，而B的位置就是要注意的是：和都是的函数而A的速度是此向量要与平行，于是﹙如果﹚，初始值，，。()其轨迹如以下图所示事实上我们必须注意到，在的情形下会有的推论，我们不妨用积分式算出时刻走了多少路：﹙等式右边是速度乘上时间﹚，在的时候，，""。所以其实苍蝇A的轨迹应为上述讨论要表达的是说，加上这一点是需要的，并且加上那一点后，轨迹还是连续的﹙可以想一下如何定义在端点的连续性﹚﹙4﹚：由﹙3﹚﹙5﹚：由﹙3﹚得知在到2的时候，，换言之，在之前已转了无限多圈，于是苍蝇会“头昏〞。雪球融化假设雪球融化的速率与外表积成正比，假设有一个半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪球完全融化需要多少时间？解答：假设此雪球在时间分钟时的半径为公分，由题意可知，，又雪球融化的速率与外表积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率，雪球的体积为，外表积为，所以有为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知为常数，由，，可解出，由此可看出雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时，所以雪球在10分钟后完全融化。雨中行车假设你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着雨，假设所有雨滴皆以速度u垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？解答：图一假设每立方公尺中有α克的雨水，假设车子以速度v前进，以车子为标准坐标来看，那么雨水以水平速度v，垂直速度u朝车子而来,假设速度与水平夹角θ，那么对单位面积的挡风玻璃来说，在到间，落在其上的雨水正好是时，单位面积上高为，倾斜角度θ的圆柱内的水﹙如图二﹚图二总共有克，所以单位时间内单位面积所接收的雨水为，假设甲到乙地距离，挡风玻璃总面积，那么从甲以等速v开车到乙挡风玻璃所接收的雨水共有为一常数，与无关。假设并非以等速行车，结果又会是如何呢？假设v为t的函数，写成，单位时间内单位面积接收的雨水为，假设在时间后从甲到达乙，那么。那么从甲到乙所接收的总雨量为依然是一个常数，与v无关，也就是说不管怎么开，落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。工人拉船码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数是1/3，请问船尾受力多大？解答：在绳子与铁柱有的接触时，拉力会提供﹙接近﹚的正压力给铁柱，所以有，积分得，其中就是10公斤，，而，所以。录音带如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听﹙或者快转﹚的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？如果我知道录音带从一开始﹙左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上﹚转到一半(左方的磁带量＝右方的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮1的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？解答：如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听﹙或者快转﹚的时候，在1处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在2的地方就会被一直带动，最后会绕到轮子1上。现在我们想要考虑两个问题：记为1号轮子在时刻所绕出的磁带的半径，为2号轮子在时刻磁带形成圆形的半径，它们会随而变化，那么两半径的变化率之比﹙即﹚为何？如果我知道录音带从一开始﹙轮1没有磁带，所有磁带都在轮2上﹚转到一半﹙轮1的磁带量＝轮2的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮1的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟？第一个问题其实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的，于是会有常数，对微分后得到第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定﹙记为ω﹚，所以半径是和成正比，于是不妨令﹙比方说轮子每秒转10圈，那么一秒后半径就多了10个磁带的厚度，两秒后半径就多了20个磁带的厚度﹚另外，我们同样是以圆面积代表磁带量，所以﹙一分钟时转了总长的一半，是一比例常数﹚欲解时的α值。所以带子全部转完需要分钟。撞球问题你知道撞球的时候球杆应该打在哪里最好吗？解答：观察1：如果球杆打在撞球的中央﹙如图A处﹚那么球有速度，但是无旋转的角速度，如此一来球和布会有摩擦，布会坏掉，可见这不是最正确的点。球杆应打在让球产生全滚动而不滑动，这是最正确的点。观察2：假设球一开始有滑动，不久球会开始滚动，滚速会增加，移动速度会减少，而质心速度会增加，到最后会有，即滚动而不滑动，而摩擦力会消失。一些记号：：球的质心速度ω：球转动的角速度：球的半径：球的转动惯量：球的质量由物理学的角度来看，一刚性物体的角动量变化率等于力矩之和，写成数学式即为，另外，角动量等于物体的转动惯量乘上角速度，也就是说，于是，用到撞球的例子上即为：注：1.因为撞球的滚动是以贯穿球心的轴而转动，所以其转动惯量为(质心)2.力矩，其中是转动轴到施力点的方向向量，如果只关心力矩的大小，那么3.要到达全滚动而不滑动，那么，动量的变化率最后必须全部转变为，瞬间达成。所以最后，计算出的值：1.先计算空心球壳的转动惯量：(球壳上的点到轴的距离)(均匀球壳,质量与面积成正比)，。2.计算实心球壳的转动惯量：对球壳r，从O到R积分：，而所以结论：球杆应打在距球心高处为最正确。补充：为何滚动而不滑动的时候会有？∵滚动而不滑动∴质心的位移等于弧长，牛吃草问题有一头牛，被栓在一个半径为r的木桩上﹙如以下图所示﹚绳子的一端被固定在A点，而牛能够走到木桩的对面B。木桩的外部都是草地，请问牛有方法吃到多少草呢？解答：图一经由观察我们发现牛能吃到草的范围如右图的斜线部份﹙见图二﹚。由题意知绳长为，而在点左边的区域会是一个半圆。至于剩下的区域怎么求得呢？当绳子被木桩"拌住"的时候﹙见图三﹚。牛所到达的最远处为，其中弧长加直线长为﹙绳子的长度﹚，而曲线即所有这种点所形成的轨迹。图二图三我们可以利用解析几何将轨迹描述出来：取木桩的中心为原点，令与的夹角为θ﹙如图四﹚，于是点坐标为，而？是圆在点上的切线段，所以，待定，而长度要等于弧长，于是，解得，所以点坐标即确定：图四图五我们可先计算图五的斜线面积，它会是以下所表示的积分值：﹙其中为周期函数，故﹚∴Area至此可得吃草的范围＝上下两块Area加上左半圆扣掉木桩面积＝﹙平方单位﹚补充：图五中弧称为圆的渐伸线﹙involutes﹚对微积分学开展历史的认识早在几千年前的古代科学家的脑海里，微积分的思想雏形便已出现。之后的几千年中，在许多数学家的不懈努力下，微积分学的创立积累了愈加多的材料，根底一步步奠定，终于在17世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。此后，微积分学定义严格化，有了较为完善的定义，接着不断拓宽、深化，为我们展开了一扇又一扇数学未知世界的大门。人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在开展着，人类认识微积分的水平在不断深化。在此期间，18世纪所发生的对微积分创造优先权的长时间争论，毫无疑问的成为我们注意力的焦点由于人们在欣赏微积分的宏伟成效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术〞中停步不前，因而数学开展整整落后了一百年。而其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。这一事件，让我们认识到了在学习、研究的进程中，我们应该更着眼于对知识理论的深挖掘，而非对荣誉名声的追求，本着科学的精神不断前进。微积分学的重要性微积分是一门极为重要的数学工具，广泛地应用在生产生活中的每一个角落，微积分学实际应用常涉及生活、生产、天文、地理、军事等诸多方面的实际问题，尤其在涉及动态分析及微小量处理的问题上有非常神奇的效果。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的根底上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学根本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。例题分析结论微积分学实际应用的例题一般涉及到对动态过程的分析理解，对这类问题，我们学要结合自己的生活常识和物理知识对整个过程作出清晰的认识，再结合数学公式就能得到结果。有些时候在获得结果之后还能反推回题目得到新的认识，对整个动态过程有更深刻的认识理解。在物理学习过程中微积分是一个异常使用的工具。关于参加研究性学习体会在这次研究性活动中，通过与同学们的通力合作，顺利完成了这次学习。从中我感触良多，并从中学到很多。首先，我负责的是资料收集以及局部例题的收集。期间，我阅读了大量的书籍，及上网查阅了大量有关微积分和导数的资料。从中，我仿佛翻开了一个新世界的大门，一个微积分的世界。原来，微积分最早起源于中国，由孟子提出。然后再追溯到古希腊的阿基米德。这，可以说是古代积分思想的起源。距今大约已经有近30个世纪。可是，微积分思想现在也在不断开展，人类对微积分的认识也在不断深化。微积分总体来说，其实就是研究变化的学科，这门学科，可以在我们平时学习和日常生活中得到应用。早在在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型——微元法。它帮助我们培养自身人文素养，增强自身的综合素质，可以为高中阶段的历史学习画上圆满的句号。其次，例题的收集也不是十分简单的，毕竟，不是每一道题都适合。期间，我们也做了大量的例题，变相相当于为重新再复习打下了坚实的根底。这是有好处的，也是有用的。其次，抛开课题不说，增加了我们的合作能力。以及培养了同学之间的纯真友谊。丰富了我们高中生活的课余生活。这很有意义，也很有价值。使高中生活部再乏味和单调。相信，这次研究性学习将会给我们高中生活画上浓重的一笔。数学心得在数学领域，种种发现无不使自然世界更神秘美丽。但不管怎么说，就我看来其中对世界开展起到最大推动作用的莫过于微积分的创立，其影响不仅仅在数学领域，在物理学方面的奉献也是不容无视。说到微积分，就不能不说到牛顿和莱布尼茨，这次的数学课题以微积分为主题，追本溯源，我们感受到了前辈科学家们坚持不懈、不断探索的精神。研究不仅丰富了我们的知识，更加强了对微积分的理解，这对未来的学习将会有莫大的帮助！数学课题心得今年的数学课题是以对微分学、积分学的探究为主题的，而我作为数学组的一员，很快乐与大家一起分享我的学习感悟。通过这一次的课题研究，我发现，微积分其实并不像想象的那么难，学习微积分要有一定的技巧，掌握了方法，解题就会很快了。从收集的例题，我们可以知道方法对微积分的学习是很重要的。并且，微积分与生活息息相关，我们在物理、化学等领域都会用到微积分。每一次课题的研究都是一种能力的提升，当然，更重要的是我们要把所得到的启示运用到实处，这样才会使研究更有意义！这一次的课题研究让我受益匪浅，衷心地感谢学校对研究性学习的重视与支持！实践活动心得通过这次实践活动，我对微积分这一数学方法有了更深刻的认识。微积分，简单地说，就是把一个大事物分割成许多个小块，分得越多，与原来事物的误差就越小，最后加起来，误差就可以忽略。这样算出的结果与真实值相差微小，并且在现实生活中得以实践，所以这种方法迅速开展，成为必不可少的方法之一。作为一个理科生，我也明白这种方法在学习过程中的重要性。在物理中，通常把一个过程分割成无数个小步骤来计算。数学中。常常用微积分来求一个不规那么对称的物体的体积，这让我从理论上该受到微积分的魅力。不仅在理论上，而且在生活中，微积分也有它的类似应用。当我们遇到困难，就把困难一步一步解决。要完成一项任务，而总的容易出错，我们就分块来完成，这样可以更加精确。总的来说，这次实践活动加强了我的实践能力，动手能力，思考能力呵合作能力，是我与同学间的友情更加浓厚，同时我也了解到一些新知识，加深了对数学的热爱。实践活动心得这次实践活动，我对微积分这一概念有了更深刻的认识。真是不容易啊。微积分〔Calculus〕是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。作为数学的一个根底学科，它无论是在学习上还是生活中都给予了我们莫大的帮助。但在我看来，微积分的美妙不仅在于它广泛的应用范围，还有它那巧妙的方法——将曲线划分为无数的区域，在将它们看成一个个的规那么图形计算。先微分，后积分，你可以认为这是投机取巧，但你不得不成认它的大胆与准确。无可置疑，微积分对我们正在学习的物理，以及对我们将来或将从事的天文学、力学、化学、生物学、工程学、自然科学、社会科学及应用科学等工作上都会有相应的地位，相信随着信息技术的迅速开展，微积分更将成为一个科学研究有力的助手，帮助人们解决未知的谜团，把人类的文明进一步加深。同时，生活中也可以发现微积分的影子：从街道上奔驰的汽车，到在飞往宇宙的飞船。微积分在无意之中改变了我们的生活，我们也在享受科学带来的方便。这次活动，在了解了新知识之外，是我们对科学的无尽的追求，在这之中，我也感受到了微积分背后那巨大的未向人们开放的谜。但我相信，人类对科学探索的坚持终会叩开这扇大门，向我们展示一个别样的数学世界。最后，对领导或参与了本次活动的同学表示感谢，大家合作愉快！研究性学习活动心得这次研究性学习活动，是我们的动手能力和思维能力进入了一个新的台阶。在这次活动，我们解决了现实生活中的问题，使我们明确了我们的学习目的和学习动力，检验了我们的学习成果，我希望，这样开拓我们的眼界的研究性学习多半一点，多有深度一点。驱散迷雾——数学研究性学习心得初识微积分，颇有雾里看花之感。那还是刚高一的时候，在物理学习过程中开始接触到微元法。不得不说微元法对逻辑行、根底概念等都有较高要求，而且需要抽象思维，但这只是微积分的冰山一角，日后还将学习更为深奥的理念、复杂多变的公式，这便是我之前所担忧的“雾〞了。但如今，我们已完成了对导数、积分的课本知识学习，对微积分也有了根本认识和了解，隐隐约约嗅到了花的芬芳。原来，微积分并不像外表看起来那么难，相反地，学习起来极具技巧性，许多同学都产生了浓厚的兴趣。正因如此，今年的数学课题以对微分学、积分学的深入探究为主题，我很荣幸能作为数学组的一员并记录下学习心得、感悟与大家分享。追本溯源，课题研究从微积分的历史着手，不仅丰富了组员们的历史知识，更在前人的总结、完善中汲取经验，并学着去分析、推导，深化了对微分、积分的理解，而且微积分不只是数学的分支，同样应用在理论物理研究、统计学等多个领域。确切地说，每一次的研究性学习都是一次能力的提升，其好处对将来的学习理解自然是不言而喻的，更重要的是，我们应学会把所识所学运用到实际生活中，那么理论知识才变得有意义！其实，很多知识都被看似障碍重重的迷雾包裹着，但这一次的学习，让我明白，凭着热心、慧心、信心、细心，一定能拨开迷雾，去感受百花争艳的科学春天！最后，当然要感谢学校对研究性学习的重视和支持，以及组长的领导和谋划，组员的配合，也希望数学组能取得一个好成绩！微积分的数学美——数学课题心得罗素，这位抽象数学思想大师曾直言不讳地说：“数学，如果正确地看它，那么具有至高无上的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐的那种华美装饰，它可以纯洁到崇高的地步。能够到达严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美境地。一种真实的喜悦精神，一种精神上的亢奋一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在数学里得到。〞微积分作为结束人类农耕文明，迎来新时代的开端的序曲。以其至小却又至大的美，从我们身体的每一个微孔向内心以最小的微元向里渗透；又以无处不在无不包容的累积将我们包裹。微积分它继欧氏几何之后，成为又一里程碑式的事件，在开展中出现了立即被应用到科学技术之中。却又因其不严密性产生了无数悖论或谬论。然而实践是检验真理的唯一标准，人的认识都是客观对象的反映，其中与客观对象相符合的认识就是真理，不符合的就是谬误。随着微积分理论不断完善，其中一批杰出的数学家用级数收敛概念使积分理论变得十分完善同时其应用也渐渐向世界各处推广开来。实线是检念真理唯一标准，真理是具体的有条件的。从微积分的开展，完善中我们可以看到微积分的真理条件越来越宽泛，却也永远走不出无限小的前提。我们应该学会有勇气、有思想的去认识真理，即使认识是反复的、无限的。数学是一门需要创造性的学科，牛顿和莱布尼茨几乎同时发现了微积分，他们的创造和许许多多，有名无名的创造，共同创造了现今的美妙的世界。当回首中国的封建数学开展历程，我们看到，创造性在金科玉律下被紧紧束缚，数学渐渐落后于西方。我国数学开展的全盛时期在宋元两代，到了明清，封建统治日趋腐败，国内政治经济上的不景气影响数学方面的研究工作，使之濒于停滞不前的状态，但时西方数学正被我们的有知识数学家们吸收着。利玛窦的《几何原本》《同文算指》中文译本在中国传开后，梅文鼎的数学研究也为那个时代作了不少奉献，随后爱好数学的康熙皇帝的时期，《数理精蕴》编成。在此之后，直到鸦片战争用大炮再度翻开中国国门前，我国的数学研究在1712年后，工作重新陷入寂静，没有取得什么大成果。而此时，18世纪的欧洲微积分已渐渐走向成熟。其实一句话，数学研究也需要“改革〞与“开放〞，徐光启、梅文鼎懂得了这个道理，给我们这些后人留下不少的启示。美国当代数学家克莱因说过：“数学的一系列技巧还远不能代表数学，如同调配颜色不能当作绘画一样，技巧是将数学的激情推理，美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解就会认识到，‘数学在现代生活和思想中起了重要作用’，这一断言并不是天方夜谭。〞当微积分进入生活生产中，我们没有技巧，只有朝着最终的目标，分着、合着。做数学课题就是一种追求数学世界纯粹的美的过程。奇妙的数学应用题就是如此的出乎人的预料，又是如此的符合逻辑。它用简单的分合方法给了解世界的新途径。像汽车行驶在雨中所接触到的雨量，微小的雨珠在积分后告诉我们。这个问题竞与车速无关，与是否有风也无关。当然，这是理想模型所解出的结果，奇妙的解答了数学的美，也包括那不可代替的微积分的美。细细数来，极限思想的的统一性，使用的简单、协调性，互逆过程的对称性，贝克莱悖论的奇异性，它们共同组成了微积分的美。导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法精确细微〕；〔2〕同几何中切线联系〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便〕等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。3．曲线的切线用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定，设为曲线上一点，过点的切线方程为：4．瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，5．导数的定义对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导，才能得到f(x)在点处的导数．(3)由导数定义求导数，是求导数的根本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(a)求函数的增量；(b)求平均变化率；(c)取极限，得导数。6．导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为7、导数与函数的单调性的关系㈠与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。㈡时，与为增函数的关系。假设将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。㈢与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，那么为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，防止讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。微积分教程微积分〔Calculus〕是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个根底学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的根本介绍微积分学根本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分那么是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论根底是不牢固的。因为“无限〞的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限〞引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限〞的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限〞的概念。在“极限〞的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。微积分是与实际应用联系着开展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的创造更有助于这些应用的不断开展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术开展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学开展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分的本质【参考文献】刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术出版社，20231．用文字表述：增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。2．用式子表示：微积分的根本方法微积分的根本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结，笔者认为，微积分的根本方法在于：先微分，后积分。笔者所看到的是，现在的教材没有注意对这些根本问题的总结，根本上所有的教材每讲到积分时都还重复古人无限细分取极限的思想，讲到弧长时取极限，讲到面积时又取极限，最后用一个约等号打发过去。这样一来不仅让学生听得看得满头雾水，而且很有牵强附会之嫌，其实懂得微积分的本质和根本方法后根本不需要再那么重复。微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学根底的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比方我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇〞中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，那么与圆周和体而无所失矣。〞这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了奉献。十七世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题〔微分学的中心问题〕，一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否认了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：连续运动的路径，求给定时刻的速度〔微分法〕；运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很乖僻的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇模糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和根本微分法那么。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的开展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的开展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的根底上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟成效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术〞中停步不前，因而数学开展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们