第三章-3.3-第1课时

2023/12/27第三章3.3第1课时学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论的思想.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一一元二次不等式的概念思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？答案不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.梳理(1)一般地，含有一个未知数，且未知数的

的整式不等式，叫做一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般表达形式为

或____________(a≠0)，其中a，b，c均为常数.最高次数是2ax2＋bx＋c>0(a≠0)ax2＋bx＋c<0知识点二“三个二次”的关系思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系.梳理一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有______________________有______________________没有实数根两相异实根x1，x2(x1<x2)两相等实根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_____________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________∅∅{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}知识点三一元二次不等式的解法思考根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.答案先化为x2－3x＋2>0.∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.梳理解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.[思考辨析判断正误]1.mx2－5x<0是一元二次不等式.(

)2.若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(

)3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}.(

)4.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(

)×××√题型探究类型一一元二次不等式的解法命题角度1二次项系数大于0例1

求不等式4x2－4x＋1>0的解集.解答解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.跟踪训练1

求不等式2x2－3x－2≥0的解集.解答命题角度2二次项系数小于0例2

解不等式－x2＋2x－3>0.解答解不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.反思与感悟将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.跟踪训练2

求不等式－3x2＋6x>2的解集.解答解不等式可化为3x2－6x＋2<0，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，解答命题角度3含参数的二次不等式例3

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}.当a＝1时，不等式的解集为∅.当a＝1时，解集为∅；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再进行分类讨论.跟踪训练3

解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.解当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅.综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.解答类型二“三个二次”间对应关系的应用例4

已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.解答反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟踪训练4

已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.解方法一由题设条件知a>0，且1，2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.方法二把x＝1，2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，解答达标检测1.不等式2x2－x－1>0的解集是解析∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，√1234答案解析2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是√解析∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，1234答案解析3.不等式x2＋x－2<0的解集为

.1234解析由x2＋x－2<0，得－2<x<1，故其解集为{x|－2<x<1}.答案解析{x|－2<x<1}4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.解当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以当a＝2时解集为R.当a－2≠0时，解得－2<a<2.综上所述，a的取值范围为(－2，2].1234解答规律与方法1.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y