第三章-第4节-4.2-第2课时

2023/12/27第三章第4节4.2第2课时学习目标1.会处理含参数的线性规划问题.2.会求常见的非线性规划的最优解．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一非线性约束条件思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)2＋(y－b)2≤r2的可行域．答案答案

梳理非线性约束条件的概念：约束条件不是

不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件．二元一次知识点二非线性目标函数答案梳理下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法z＝ax＋by(ab≠0)

是平移直线y＝

使__________________________(x－a)2＋(y－b)2令m＝(x－a)2＋(y－b)2，则目标函数为()2点

与点

距离的_____改变圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的_____

点

与定点

连线的_____绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线的____在y轴上的截距(x，y)(a，b)平方(x，y)(a，b)在y轴上的截距最大(或最小)交点斜率斜率[思考辨析判断正误]1.的几何意义是(x，y)与(0，0)连线的斜率.(

)2.目标函数x2＋y2的几何意义是(x，y)到(0，0)的距离.(

)××题型探究类型一线性规划中的参数问题解析

可行域如图.z＝2x＋y可化为y＝－2x＋z，∴z的几何意义是斜率为－2的直线在y轴上的截距，答案解析反思与感悟已知目标函数的最值，求线性约束条件的参数问题，可以先画出线性约束条件中的已知部分，由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得，常常利用数形结合的方法求解.答案解析√答案解析√解析

画出约束条件表示的可行域(如图所示).由图可知，目标函数z＝ax＋by在点A(2，1)处取得最小值，反思与感悟若线性目标中含有参数，则应关注(1)y的系数的正负；(2)目标函数斜率与可行域边界斜率的关系，若不确定，则讨论.跟踪训练2设x，y满足约束条件

若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4答案解析√解析

可行域如图所示.z＝abx＋y可化为y＝－abx＋z，由图知A为最优解，∴ab·1＋4＝8，即ab＝4.∴a＋b≥

＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴(a＋b)min＝4.类型二非线性目标函数的最值问题解答解作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，解答解答反思与感悟对于形如

的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线的斜率问题.√当直线l过B(1，0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1，1).解析答案解答解

z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例3图)知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小.反思与感悟两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.解答解答(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；解z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，解答(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围.解z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝5－(－3)＝8.所以16≤z≤64.达标检测答案1234解析√1234根据y＝－2x＋z可知z的几何意义为直线在y轴上的截距.显然y＝－2x＋z在点(1，1)和(m，m)处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m，1234解析答案解析

画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示，√1234解析答案31234答案解析1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范