数学分析第6章 微分中值定理及其应用

第六章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理及其应用一、罗尔(Rolle)定理拉格朗日中值定理第一节机动目录上页下页返回结束二、单调函数拉格朗日中值定理和函数的单调性

第六章费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理与拉格朗日中值定理且存在费马目录上页下页返回结束1罗尔〔Rolle〕定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束定理6.1证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.假设M=m,那么因此假设M>m,那么M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设那么至少存在一点使那么由费马引理得注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,机动目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束例1.设f为R上可导函数,证明:假设方程没有实根,那么至多有一个实根.证:(反证)假设有两个实根,那么函数f在上满足Rolle定理三个条件,从而存在使这与假设相矛盾.例2.

设.

证明方程在区间(0,1)中至少有一个根.从而存在一点证:构造辅助函数那么F(x)在[0,1]上连续,(0,1)上可导.且而故p(x)在(0,1)中至少有一个根.2拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数拉氏目录上页下页返回结束定理6.2证:问题转化为证作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕拉格朗日中值定理是微分学重要定理之一:公式

即为函数值之差与导数关系式,今后凡遇到函数值之差与导数值关系的问题,想法用中值定理例3.

设f在区间I上可导,且

在I上有界,证明f在I上满足Lipschitz条件.证:因为故对由Lagrange中值定理,例4.

设h>0,函数f在[a-h,a+h]上可导,证明存在证:

令那么F(x)在[0,h]上于是存在例5.

证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束3推论1:假设函数在区间I

上满足那么在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.机动目录上页下页返回结束推论2:假设函数在区间I

上满足那么在区间I上f(x)与g(x)只相差一个常数.例6.

证明对任x恒有证:

设由推论可知(常数)令x=0,得经验:欲证时只需证在

I

上机动目录上页下页返回结束4导数极限定理推论3设函数在点的某邻域内连续,在内可导,且存在,那么f在点可导,且证:

由Lagrange

中值定理故f在可导.例6.

求分段函数的导数.解:二、单调函数1定理6.3

设函数.证:“充分性〞假设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递减.在区间I内可导,那么机动目录上页下页返回结束证毕的充要条件是:(递减)在I

内单调递增“必要性〞假设f为减函数,那么对每一注:即使是严格单调的,必要性的结论也不能加强为例8.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束2定理6.4假设函数f在(a,b)内可导,那么f在(a,b)内严格的充要条件是:证:“必要性〞假设f在(a,b)内严格递减那么由定理6.3,递增(递减)“充分性〞由1)f在(a,b)内递减,矛盾3推论设函数f在I内可导,注:1)若f在(a,b)上(严格)递增(减),且在a右连续,则f在[a,b)上(严格)递增(减),(严格递减)那么f在I上严格递增2)假设f在(a,b)上(严格)递增(减),且在b左连续,则f在(a,b]上(严格)递增(减).例9.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证证明目录上页下页返回结束*证明令那么从而即作业P1242(1),4(2),5(2),8,9;6(1)(4),7(1)(3),15第二节目录上页下页返回结束思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,那么中值2)设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程2.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动目录上页下页返回结束3.假设可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束4.

思考:在即当时问是否可由此得出

不能!因为是依赖于x

的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大奉献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的奉献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的奉献主要集中在微积分学,?柯西全集?共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的?分析教程?,?无穷小分析概论?,?微积分在几何上的应用?等,有思想有创立,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的根底推动了分析的开展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,备用题求证存在使1.

设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动目录上页下页返回结束设证明对任意有证：2.不妨设机动目录上页下页返回结束二、不定式极限一、Cauchy中值定理第二节机动目录上页下页返回结束Cauchy中值定理和不定式极限

第六章一、柯西(Cauchy)中值定理(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导至少存在一点使柯西目录上页下页返回结束1定理6.5柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的奉献主要集中在微积分学,?柯西全集?共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的?分析教程?,?无穷小分析概论?,?微积分在几何上的应用?等,有思想有创立,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的根底推动了分析的开展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束分析:要证证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点机动目录上页下页返回结束思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同上面两式相比即得结论.错!例1.设至少存在一点使分析:

结论可变形为证明机动目录上页下页返回结束证:设那么在[a,b]上满足柯西中值定理条件,因此在(a,b)内至少存在一点

,使即例2.设a<b且ab>0,证明存在一点使分析证明令那么F(x),G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件,因此存在使得内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)下面研究:洛必达法那么洛必达目录上页下页返回结束二、不定式极限两个无穷小(大)量之比的极限两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限,统称为不定式极限.分别记为型或型的不定式极限.(A可为实数或)定理6.6型不定式极限(洛必达法那么)机动目录上页下页返回结束1、

之间)不妨假设在指出的邻域内任取那么为端点的区间上满足柯故分析:西定理条件,机动目录上页下页返回结束在以(

在证:注1.定理6.6中换为之一,注2.假设理1条件,那么条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法那么定理1目录上页下页返回结束一般假设例4.求解:它是型的不定式极限.由定理有机动目录上页下页返回结束例5.求解:原式思考:

如何求

(n

为正整数)?机动目录上页下页返回结束例6.求解:它是型的不定式极限例7.求解:注意:不是未定式不能用洛必达法那么!机动目录上页下页返回结束原式型不定式定理6.7(洛必达法那么)机动目录上页下页返回结束2、机动目录上页下页返回结束证:机动目录上页下页返回结束由(3)有另一方面注1:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.定理2目录上页下页返回结束综合(4)(5),对一切满足不等式注2假设解:原式例9.求解:原式机动目录上页下页返回结束例8.

求例9.证明证明:例如不存在,不能说明机动目录上页下页返回结束1)不是对任何比式的极限都能按洛必塔法那么求解,首先应看是否为不定式的极限,其次看是否满足法那么条件.即是说,假设不存在.说明:2)屡次应用洛必塔法那么时,每次应检查它是否满足法那么条件,否那么出错例如,机动目录上页下页返回结束解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化机动目录上页下页返回结束3、其他不定式:通分转化取倒数转化取对数转化例10.求解:

原式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化解:原式机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例11.求例12.

求解:原式例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例13.

求解:这是K=0时上面结果仍成立例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例14.

求解:这是而例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例15.

求解:这是而解:机动目录上页下页返回结束例16.解:先求而例3目录上页下页返回结束例17:求内容小结洛必达法那么令取对数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上页下页返回结束原式～分析:分析:3.原式～～机动目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束P1332,3,4,5(1)(3)(5)(6)(7)(10)(12),6,10洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有?无穷小分析?(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线〞问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.那么〞.他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动目录上页下页返回结束15求以下极限:解:备用题机动目录上页下页返回结束令那么原式=解:(用洛必达法那么)(继续用洛必达法那么)机动目录上页下页返回结束解:原式=第三节目录上页下页返回结束第六章微分中值定理及其应用§3泰勒公式

问题的提出缺乏1、精确度不高；2、误差不能估计。问题一带有Peano余项的Taylor公式2带有Peano型余项的Maclaurin公式二带有Lagrange型余项的Taylor公式拉格朗日形式的余项证明:几点说明：2带有Larange型余项的Maclaurin公式三常见的Maclaurin公式1带有Peano型余项的Maclaurin公式2带有Lagrange型余项的Maclaurin公式四常用Maclaurin公式的初步应用1利用上述的Maclaurin公式,可求出其它一些函的Maclaurin公式或Taylor公式2求某种类型的极限例3：求极限解解3在近似计算的应用罗尔定理Lagrange定理柯西定理泰勒公式罗必塔法那么条件，结论五小结作业P1411(1)(2),2(2),3(2),5(1)函数极值的定义§4函数的极值与最大(小)值复习定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法Fermart定理定义注意:例如,此外不可导点也可能取极值(是极值点情形)一极值的判别１极值的第一充分条件２极值的第二充分条件定理6.11(不是极值点情形)3极值的第三充分条件解,现列表讨论00不存在1-3二极值的判别应用举例012301234533.544.555.566.57105110115120125130135140145150155

例２求函数

的极值点与极值。

对函数求导,找出稳定点和不可导点解得,稳定点x=6所以,X=6为极小点,

极小值f(6)=108解该定理１２仍然是判定极值的充分条件,例如极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.稳定和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;第三充分条件(注意使用条件)小结思考题:

下命题正确吗？不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．三最大值与最小值

在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性；最值的求法。ab再看下面图像步骤:1.求稳定点和不可导点;2.求区间端点及稳定点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,那么这个极值就是最值.(最大值或最小值)-0.500.511.522.500.511.522.533.544.55

例

5剪去正方形四个角同样大小的正方形后制成一个无盖合,

问剪去小正方形边长为何值时,可使盒子的容积最大.

例5.生产某种商品x个单位的利润是

P(x)=5000+x-0.00001x2(元)

问生产多少个单位时获得的