工程数学概率 第二章

第二章随机变量及其分布〔二〕一、二维随机变量二、边缘分布三、相互独立的随机变量四、两个随机变量的函数的分布定义1设随机实验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，那么由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。定义2设是二维随机变量，对于恣意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或结合分布函数。第一讲二维随机变量二维分布函数的几何意义处的函数值:在随机点落在以为顶点的左下方矩形开域上的概率。所以机动目录上页下页前往终了结合分布函数的性质：①是变量和的不减函数，即对恣意固定的，当时，对恣意固定的，当时，②③关于右延续，即例1.设的分布函数为求常数的值及概率解由分布函数的性质得机动目录上页下页前往终了定义：假设二维随机变量的一切能够取值是有限对或可列无限多对时，那么称为离散型随机变量。一、二维离散型随机变量的分布律。称为二维随机变量性质：例1、将骰子抛两次，X—第一次出现的点数，Y—第二次出现的点数，求〔X,Y〕的分布律。解：XY123456123456机动目录上页下页前往终了例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以分别表示第一、二次获得的球上标有的数字，求的分布律。解能够取值均为1,2,3.机动目录上页下页前往终了同理可得所以的分布律为01/61/121/61/61/61/121/60123123定义：设二维随机变量的分布函数为假设存在使得对恣意实数总有那么称为二维延续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的结合概率密度。二、二维延续型随机变量①②f(x,y)的性质:③假设在点延续，那么有④,即延续型随机变量在某点的概率为0。G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。注：机动目录上页下页前往终了例3设二维随机变量的概率密度试求：⑴常数的值；⑵分布函数⑶概率⑷概率解⑴由概率密度的性质得从而得⑵由分布函数的性质⑷⑶将看作平面上随机点的坐标，有机动目录上页下页前往终了例4设二维随机变量的概率密度为试求概率解积分区域如右图所示机动目录上页下页前往终了的分布函数为例5知试求：⑴的概率密度⑵解⑴由概率密度的性质知⑵机动目录上页下页前往终了的概率密度为例6知⑴求常数A的值；⑵求的分布函数解⑴由性质可得机动目录上页下页前往终了所以⑵由于①当或时，②当时，〔如以下图3-5(1)〕③当时，〔如以下图3-5(2)〕机动目录上页下页前往终了④当时，〔如以下图3-5(3)〕⑤当时，〔如以下图3-5(4)〕故机动目录上页下页前往终了机动目录上页下页前往终了边缘分布第二章二、边缘分布律一、边缘分布函数三、边缘概率密度第二讲一、边缘分布函数的分布函数为分别的分布函数为设记和的边缘分布函数。，称为关于和那么同理可得研讨问题：知结合分布，怎样求X,Y的边缘分布。解:的边缘分布函数为关于例1:知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？同理，二、离散型随机变量的边缘分布律设的分布律为那么关于的边缘分布律为记做记做同理通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律三、延续型随机变量的边缘概率密度假设是二维延续型随机变量,其概率密度为那么:同理关于X和Y的边缘概率密度。分别是解:例2.上服从均匀分布,密度和的概率密度为xy01y=xxy01y=x解:例2.上服从均匀分布,密度和的概率密度为例3知解机动目录上页下页前往终了例4知解机动目录上页下页前往终了由对称性得注：结合分布边缘分布书76页：例5机动目录上页下页前往终了相互独立的随机变量第二章二、n个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性第四讲均有一、两个随机变量的独立性定义1假设二维随机变量对恣意的实数成立，那么称随机变量是相互独立的。即1)对于离散型的随机变量2)对于延续型的随机变量几乎处处成立。例1设随机变量相互独立，试确定a,b,c的值？解：由于相互独立例2设随机变量的概率密度为试问与能否相互独立?解由于关于的边缘概率密度故与是相互独立的。例3.〔约会问题〕张三与李四决议在老地方相会，他们到达时间均匀分布在晚上7:00—7:30,且时间相互独立,求：两人在5分钟之内能见面的概率。解设张三到达的时间为X；李四到达的时间为Y，所以，所求概率为二、n个随机变量的独立性〔自学〕参93页定理设随机变量相互独立，h,g是延续函数，那么随机变量也相互独立。机动目录上页下页前往终了二维随机变量的函数的分布第二章一、离散型随机变量函数的分布第五讲二、延续型随机变量函数的分布机动目录上页下页前往终了一、二维离散型随机变量的函数的分布设离散型随机变量的分布律为设为二元函数，求的分布律。当时，Z相应的值为且有例：机动目录上页下页前往终了例1假设随机变量(X,Y)的分布律为分别求的分布律，并判别能否独立？解且=0.19.Zp01230.070.370.370.19所以，机动目录上页下页前往终了同理可得下表化简整理，得各函数的分布律为：机动目录上页下页前往终了由于而不相互独立。故例2假设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为的泊松分布。求的分布律。解由题意可知故故泊松分布具有可加性二、二维延续型随机变量的函数的分布Ⅰ.Z=X+Y的分布知(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度。Z=X+Y的分布函数为解：令x=u-y,那么而机动目录上页下页前往终了特别地,当X与Y相互独立时,有上式称为的卷积公式,记为例3假设X和Y相互独立,且都服从规范正态分布，解由题意可知X与Y的概率密度分别为由卷积公式可得Z的概率密度为结论：正态分布的可加性〔〕假设随机变量相互独立，并且,那么例4设随机变量(X,Y)的概率密度为⑴⑵求随机变量X的概率密度⑶求概率解⑴的概率密度为机动目录上页下页前往终了由如右图当时，当时，所以机动目录上页下页前往终了或用另一个公式同样可解出来，但留意图形坐标是关于z和x的。⑵关于X的边缘概率密度为机动目录上页下页前往终了⑶由⑴式可得例5设随机变量X,Y相互独立，X服从区间(0,1)上的均匀分布，Y服从的指数分布，试求随机变量Z=X+Y的密度函数。机动目录上页下页前往终了例5设随机变量X,Y相互独立，X服从区间(0,1)上的均匀分布，Y服从的指数分布，试求随机变量Z=X+Y的密度函数。解〔方法一〕由题意可知，用卷积公式那么随机变量Z=X+Y的密度函数为机动目录上页下页前往终了其中即(如右图)机动目录上页下页前往终了综上所述随机变量Z=X+Y的密度函数为〔方法二〕用分布函数法由独立性可知机动目录上页下页前往终了⑴先求随机变量Z=X+Y的分布函数当时，当时，机动目录上页下页前往终了当时，⑵再对随机变量Z=X+Y的分布函数积分可得机动目录上页下页前往终了例6设随机变量(X,Y)的概率密度为试求随机变量的概率密度。解结合概率密度的非零区域可得机动目录上页下页前往终了①时②时③机动目录上页下页前往终了所以故Z=X-Y的概率密度为机动目录上页下页前往终了例7设随机变量(X,Y)的概率密度为试求随机变量的概率密度。解由题可得关于X和Y的边缘概率密度为机动目录上页下页前往终了由于所以X与Y相互独立,那么X与-Y也相互独立.令可得那么要求随机变量的概率密度,用卷积公式(课后练习)Ⅱ.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布(随机变量相互独立〕X和Y的分布函数解的分布函数为的分布函数为所以推行当独立同分布时，随机变量的分布函数为例8设随机变量X的概率密度为随机变量相互独立且与X有一样的分布,试求随机变量的概率密度和解X的分布函数为机动目录上页下页前往终了的分布函数为所以M的概率密度为所以，机动目录上页下页前往终了例9设系