八上数学培优专题六

闽侯县实验中学八年级数学第二课堂综合实践活动备课组八上数学培优专题六几何综合应用1.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当运动时间为t秒时，AP的长为

厘米，

QC的长为

厘米；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．范例分析：1.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当运动时间为t秒时，AP的长为

厘米，QC的长为

厘米；（用含t的式子表示）范例分析：（1）AP=t，QC=4﹣t．1.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？范例分析：①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴∠BPQ=30°∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴∠BQP=30°∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；综上所述：当t=秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．1.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．范例分析：（3）∠CMQ=60°不变．理由如下：∵在△ABQ与△CAP中，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．2.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．范例分析：2.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；范例分析：证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°∵AE=EB=BD，∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°，∴∠EDB=∠ECB，∴EC=ED；2.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；范例分析：（2）证明：∵EF∥BC∴∠AEF=∠ABC=60°∠AFE=∠ACB=60°∴∠AEF=∠AFE=∠A∴△AEF为等边三角形；2.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．范例分析：（3）答：EC=ED；理由：∵∠AFE=∠ABC=60°∴∠EFC=∠DBE=120°∵AB=AC，AE=AF∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=FC