物理竞赛讲义十四振动、波

当振源按简谐振动的规律振动时，在媒质中所形成的波称为简谐波。任何复杂形式的机械波，都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。简谐波的波动方程和它的解——波函数在播的传播方向上，平衡位置为x的质点在t时刻偏离平衡位置的位移的函数形式，波函数yxt。对于平面简谐波的波函数，可以表述为下面三种形式：（x、t）y（y（x,t）Acos④（t土—）+0v0txAcos2冗（—土）+0T九0x=Acos2冗（vt土）+0]九0机械波是机械振动在媒质中的传播，而媒质中的每一个质点都在做受迫振动，因而对这些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。在坐标系建立后，波函数yxt描述的是：在播的传播方向上，平衡位置距离坐标（x、t）原点为x处的媒质质点，在t时刻偏离平衡位置的位移。波（振）幅A,从波动角度讲，描述机械波的强度，对于横波，是波峰的高度或是波谷的深度；对于纵波，是从平衡位置到疏部（或密部）中心的距离。从振动角度讲，是媒质质点做受迫振动的振幅。在不考虑能量损失的情况下，平面简谐波的波幅由振源决定。波长入，从波动角度讲，在同一传播方向上，两个相邻的具有相同振动状态（位相相差2n）的媒质质点的平衡位置之间的距离，从振动角度讲，媒质中的某一质点在完成一次全振动时，这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。当波源相对媒质静止不动时，波长由媒质和振源的频率决定。周期T,从波动角度讲，媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波长的距离所用的时间，从振动角度讲，媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。频率v，从波动角度讲，单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。圆频率3，从波动角度讲，2n秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在2n秒内完成的全振动的个数。波速v，媒质中质点的振动状态在波传播方向上的传播速度，由媒质的情况决定。位相3（t土x/v）+90，在波的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x处的媒质质点，在t时刻的振动状态。90，平衡在坐标原点处的媒质质点，在t=0时刻的振动状态。频率和角频率：作振动的物体在单位时间内完成全振动的次数。通常用符号f或u表示，它是表示振动快慢的物理量。频率的单位是赫兹，符号是Hz。1Hz=1s-i。常见的秒摆的频率是f=0.5Hz。角频率又称圆频率，用符号3表示，它是人们在研究质点作匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点的射影作的是简谐运动，而且质点圆周运动的角频率是其射影的简谐运动的频率的2n倍，也就是在2ns内质点射影作的简谐运动的次数恰与质点的匀速圆周运动的角频率相对应，用公式表示为3=2nf=2n/T。角频率的单位是弧度/秒，单位符号rad/s。参考圆：实验证明做匀速圆周运动的质点在x轴上的射影的运动与作简谐运动的振子具有相同的运动规律。在初等数学阶段，我们常用质点的匀速圆周运动来描述简谐运动，这个圆叫参考圆。相位：是描述做简谐运动的物体的运动状态的物理量，也称位相或周相，简称相。当振动物体的角频率和它的初始位置确定之后，该物体的相就被确定了。物体振动一个周期，它的位相在0〜2n范围内变化,位相的各不同的值表示了振动物体在一个周期内各不同时刻的运动状态，就是说物体的位相一定，其位移大小、方向，速度的大小、方向，加速度的大小、方向就都确定了。初相位：作简谐运动的物体t=0时的相位叫做初相。对一个简谐运动来说，初相Q是一定的，而相位(3t+Q)都随时间的变化而变化。根据振动方程x=Acos(wt+Q)，最简单的情况是初期0=0,当t=0时，则x=A，v=0,说明振动的质点是从一侧的最大位移处开始计时的。相差：也称相位差或位相差，通常是在比较两个同频率的振动时引进的物理量。两个角频率相同的简谐运动相位之差(wt+Q02)-(wt+Q01)=Q02-Q01=^Q0它表示了两个简谐运动的不一致到了什么样的程度，当两个角频率相同的简谐运动的相位差△Q=2nn时(n为整数)，两振动的步调一致，它们总是同时、同向运动，同时达到同一侧位移最大处，同时同方向地经过平衡位置。也就是说它们是同相位。当两个角频率相同的简谐运动的相位差=(2n+1)n时(n整数)，表示两个简谐运动的步调相反。它们的振动方向总相反，速度方向也总是相反，同时到达异侧的位移最大值处，同时经过平衡位置但速度方向相反。也就是他们是反相位。当介质的振动方向和振动的传播方向垂直时，这种波叫横波。横波是最简单的波之一。机械横波只能发生在固体之中。当介质的振动方向与振动的传播方向在同一条直线上时，这种波叫纵波。空气中声波是纵波。向河水中投入一块石头，可以看到水面有波传播，这种水面波既不是横波，也不是纵波。水面波是因重力以及表面张力的作用在水表面传播的波。在水面波传播的过程，水的质点运动比较复杂，一般是沿椭圆轨道作周期性的运动。各种频率的机械波在一定的介质中传播时，都具有相同的速度。因此频率不同的机械波在同一介质中传播时波长不同；同频率的机械波在不同的介质中传播时，由于波速不同，波长也就不同。波长与波速成正比，和波的频率成反比。图线是波传播的某一时刻各个质点的位置，也是整个波的形态。所以也叫波形图。几个波源产生的波在同一介质中传播时，无论相遇与否，都保持它们各自的频率、波长、振动的方向，并按照各自的原来传播方向继续前进，不受其它波的影响(运动的独立性原理)。在两列波相遇处，介质质点同时参加两个波的振动。在波相遇处质点的位移是各列波单独存在时在该点所引起振动位移的矢量和，也就是说质点的振动是这些振动的合振动。特别是当两列频率相同、振动方向相同、有固定相差的波相遇时，会出现特殊的波的干涉现象。波的衍射和干涉现象是波所特有的性质。有无干涉和衍射是判断波动的重要依据。波的叠加原理：大量的事实证明，从几个波源产生的波在同一介质中传播时，无论它们是否相遇，每个波都按照自己的传播方向前进，每个波都独立地保持自己原有的特性。相遇处质点的位移是各波单独地通过时在该点所引起位移的矢量和，这就是波的叠加原理。相干波：频率相同，振动方向相同，相位差恒定的两列波叫相干波。相干波在传播过程中，在空间相遇。在重叠处两列简谐波所引起的质点的简谐运动具有相同的频率，相同的振动方向。由于各点的相位不同，振幅也不尽相同。在两相干波的相遇区内，就出现有的地方振动增强，有的地方振动减弱。并且振动加强和振动减弱的区域彼此互相间隔，这种现象叫波的干涉。振动最强处（即振幅为2A0处）叫干涉相长。振动最弱处（即振幅为0）叫干涉相消。总之，干涉现象是两列同频率、同振动方向、而且相位差恒定的波相叠加而产生的。其合振动的振幅不随时间改变，只是在空间位置上周期性变化的分布。各种振动着的物体都可以向周围的介质发出弹性波，都是声源。常见的声源如杆，弦，气柱，膜，板的振动。声波：机械波之一。各种振动着的物体都是声源。声源的振动迫使跟它毗连的空气层以同样的周期T振动起来。由于空气受到压缩或稀疏时，有弹性力的作用产生，就进而引起附近部分的空气的振动。这样，声源的振动就由于空气介质的压缩和稀疏以声速向各个方向传播出去。在气体或液体中声波是纵波，在固体中声波可以是纵波也可以是横波。声波不是声音，声波进耳后，迫使耳膜的振动，大脑的听觉神经引起的听觉才是声音。频率范围在 20~20000Hz能使人产生听觉，故命名为声波。从物理学来看频率在20〜20000Hz以外的振动与这个频率以内的振动没有本质的区别。因此，物理学中把10-4〜20Hz的在液、固体中传播的弹性振动叫次声波。例如：地震波，海洋中的海啸，都是次声波。频率高于20000Hz且低于5X108Hz的弹性振动叫超声波。蝙蝠发出的就是超声波。5X108〜1012Hz的声波是特超声波。声波在介质中的传播速度叫声速。不同的介质中声速不同。声速与介质的温度、分子量有关。0°C时空气中的声速为332m/s，氢气中的声速1263m/s，水中1450m/s，钢棒中为5050m/s。机械波在遇到障碍时会发生反射和衍射现象，声波在传播过程中遇到障碍物也会发生反射和衍射现象。当障碍物的尺寸比声波的波长大得多的情况下，衍射现象不显著，声波的反射现象才会突出地显示出来。回声是声波反射的例子，人耳听到回声的条件是：第一要有声波的反射。第二从障碍反射回来的声波比发出的声波至少要滞后0.1s以上的时间间隔。利用超声波的定向发射性质，可以探测水中物体，如探测鱼群，潜艇等。也“可以用它来测量海深。超声波在军事上更有着十分重要的用途。乐音具有音调、音色、响度三个特性。音调：音调是听觉分辨声音高低的一种属性。根据音调可以把声音按高低排列成音阶，它反映了人耳对声音频率的感受，低频率的声音音调低，高频率的声音音调高。但是音调与频率不成正比，它还与声强和波形有关。音调的单位是：美（mel）。声强：声传播时也伴随着能量的传播。用单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量（声波的能量流密度）表示。声强的单位是瓦/米2。声强的大小与声速成正比，与声波的频率的平方、振幅的平方成正比。超声波的声强大是因为其频率很高，炸弹爆炸的声强大是因为振幅大。声强变化范围非常大，数量级有时会相差很多，因此改用对数标度。规定强度I=10-6W/cm2（相当于103Hz时，能够引起听觉的最弱的声强）为测定声强的标准，引入声强级：L=log（I/I0）作为声强级的量度。声强级的单位是贝尔。响度：指感觉到的声音的强弱，即听觉判断声音强弱的属性。根据它可以把声音排成由轻到响的序列。人耳感觉的响度客观上取决于声音的强度。声强相同的声音在1〜AXlO^Hz的范围内听起来最响。在此范围之外，随着频率的降低或升高，响度感觉越来越弱，直到频率降低到20Hz或升高到20000Hz,人耳便听不到这些频段的声音了。音色(音品)：人们在主观感觉上借以区别同样响度和音调的两个声音的特性。它是一种复杂的感觉，主要决定于声音的波形，但也同响度和音调有关。乐器等发出的声音不是只有一个频率的纯音，而是由频率最低的基音和基音整倍数的泛音组成复杂的波形曲线。基音相同的两个乐音给人的感觉不同是由泛音的多少，泛音的频率，以及泛音振幅的不同，传入耳中声音的波形不同，使得同样的音调有不同音品。泛音太少声音听起来单调，泛音越多越好听，基音的高倍数泛音多，声音给人的感觉活泼明快；低倍泛音多，声音给人深沉浑厚的感觉。噪声：噪声有两种意义：(1)物理上指不规则的，间歇的，随机的声振动。(2)指任何难听的，不谐和的声或干扰。噪声听起来有嘈杂、刺耳的感觉。噪声环境污染的三个来源之一，危害极大。超声波及其应用：声波的范围大于2X10A4\Hz的声波叫超声波。高频的超声波方向性好，因为波长短，衍射不明显，超声波能定向传播。超声波的穿透本领大，在液体、固体中传播时，衰减很小。在不透明的固体中，超声波能穿透几十米的厚度。超声波碰到杂质或介质分界面有显著的反射。超声波应用很广泛。利用超声波的机械作用可进行超声焊接、钻孔、除尘。利用超声的空化作用可用来使油水混合物乳化，使一些在常温常压下不能发生的化学反应得以进行。利用超声的方向性好可进行超声探测定位。利用超声的穿透和反射性能进行固体的超声探伤，研究物质的内部结构。还可以利用超声波的生物作用，进行种子处理使农业增产，也可以进行超声治疗一些人类的疾病。傅科摆傅科摆是由法国实验物理学家傅科于1851年在巴黎万神殿所做的一个著名实验。该实验有力地证明了地球的自转。傅科摆的摆长为67m，摆锤直径为0.3m,质量为28kg，悬挂在万神殿屋顶的中央。当摆球摆动时，如地球不转动，摆球的振动面将保持不变，摆球的下端摆尖画出的线条将位于同一直线。由于地球的自转，位于北半球的摆尖下端画出的线段将随地球的自转而发生变动，而且在相对于下一次摆尖下端画出的线段的逆时针方向上，而地面上的观察者观察到的现象是摆的振动面发生了顺时针旋转。南半球正好相反。傅科摆每摆动一次，摆尖在直径为6m的沙盘边缘线路移动约3mm,每小时偏转11。20/。在不同的地点的傅科摆实验，发现摆振动面的旋转周期T随傅科摆在地球上的位置不同而不同，Txsina，a为傅科摆所处的纬度。在两极处的旋转周期为24h。某轻质弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m可视为质点的小球，小球平衡时弹簧长度较原长长4.9cm，求此振动系统自由振动的周期。(本题中g取9.8m/s2)解析：mg=kAx k=mg：Ax\m |Ax*.*T=2兀 T=2冗 q0.14冗(s)Yk \g

如图所示，一竖直放置、内径处处相同的U型玻璃管，管内装有总长度为L的水银柱。现将U型管的右臂向上稍稍提起，然后迅速复位，管内左右两部分的液面就会上下振动起来，试求液面的振动周期。解析:设U型玻璃管的截面积为S，水银密度为P，则水银的质量为：m=P-LS若U型管的右侧液面下降了△x，U型管的左侧液面上升△x,两侧水银压强差为:Ap=p-g-2Ax回复力为：F=Ap-S=p-g-2AxS••・k=FAx=2p-gS T=2^,-L；2g若沿地球两极间的地轴钻一个洞，当一物从北极无初速地落入这无底洞时，物体将如何运若沿地球两极间的地轴钻一个洞，当一物从北极无初速地落入这无底洞时，物体将如何运阴天，面对高高的均匀钢管做成的旗杆，一阵风吹来，旗杆来回摆动。“旗杆有多高？”同学们七嘴八舌地猜着。你能写出估测的原理、实验手段和旗杆高度的计算公式吗？解析：设x为杆重心相对竖直平衡位置的位移，贝I」：F=mgsin9当9<5。时，tg92x ,= ••F=—2mgx•—=—kx2mgk=hhh故杆做简谐振动。i'mJT=2兀 .•・Tkjh=2兀2gt h t2•g如旗杆全振动n次历时t（用秒表测出），贝I」：T=—=2兀| h= n \2g 2n2-n2半径为R的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计。在环上与两个小重物等距（如图所示）处钻个小孔O,将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起一O..来；使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样），两小重物/"一詁一的位置关系可以用它们之间的角距离2a表示，求此装置的振动周期，摆长L为多少的单摆自由振动时，振动周期和图示的摆相同？

解析：此装置(物理摆)无能量损失地做角振幅e不大的微小简谐振动时机械能守恒，小m重物经过的是一段半径为r=叽2(1-cosa)的圆弧。2k小重物通过平衡位置时速度最大：v=®・A=丝・9cosa)v=m2cosa)v=m2k-9・Rcosa)ar=2Rsin=R2此时摆的动能为：Ekm1此时摆的动能为：Ekm1=2x—mv224k2・92・R2・2(1-cosa)由机械能守恒：2mgh=2xmv2m2m在平衡位置时两球的重心C距0点的距离为L：L=R-Rcosa当振幅最大时，偏角为8，重心升高的最大高度为h:m mh=L(1-cos9)=R(1-cosa)(1-cos9)m m m2mg・R(1一cosa)(1一cos9)=m4冗2・2mg・R(1一cosa)(1一cos9)=m m T2g(1g(1一cos9)=m4冗2・92-RT2sin9_—=2与摆长为2Rsin9_—=2与摆长为2R的单摆的周期相同)1一cos9m4冗2・92-RmT2如图所示，用一个小重球A和一根长为L的轻杆组成一个单摆，杆的一端用铰链固定在天花板的B点上。未发生形变时长度可忽略不计的两根相同的理想弹簧，一端固定在小球上，另一端分别固定在天花板上的C点和D点，C、D与B的距离均为L。已知弹簧和杆的运动都在同一竖直平面内进行，求单摆微小振动的周期？解析：单摆微小振动时只能以杆长为半径沿圆周运动，两弹簧所成的夹角总为900。设杆偏斜某一微小角度时，弹簧1与天花板所成的角为a，弹簧2与天花板所成的角为8广弹簧1的长度为：2Lcosa，作用在小球上的作用力为：2KLcosa，此力在圆周切线上的分力为：2KLcosasina。同理，弹簧2作用在小球上的作用力在圆周切线上的分力为：2KLcos8sin8。/.T=2kg•/a+e=900/.T=2kg=p-g-s-x2=p-g-s-x2=—(2p-g-s)x221=k-x2，2解析：E=p-g-x-$—-p-g-x-sp2若系统对平衡位置的位移为x,系统的势能E是x的二次函数1（2p•g•s）x2p2则系统做简谐振动，其周期为：T=2心m=2K''土丄^=2冗-k 2p…sg 2g如图所示，为回音壁示意图。试解释人站在A点，对着图中的M点发音时，站在对面N点的人确听不到声音，而对着图中的C点发音时，站在D点的人确可以听解析：以C点为声源，声波可通过多次反射达到D点，以M点为声源，CIMn+d声波不可能通过多次反射达到N点。轻杆（质量不计）长为L，可饶轴O在水平面内转动，杆的另一端有与杆垂直的完全弹性档板，距杆端L/2处穿有一可沿杆滑动的小球，质量为m。开始时杆的角速度为W，求杆转动一周所用的时间？不计一切摩擦。解析：如图所示，设等边三角形的周长为s:s=动一周所用的时间？不计一切摩擦。解析：如图所示，设等边三角形的周长为s:s=3x2x—ctg300=3\：3L2杆与球的运动中作匀速运动，可使学生加深了解）s6弋3t= =v0 o球做匀速运动（用一带线小球穿在光滑杆上，拉动小球沿三角形轨道1.如图所示，质量为M的框架放在水平面上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端固定小球。小球上下振动时，框架始终没有离开地面。当框架对地面的压力为零的瞬间，小球的加速度为：[D]A.小球。小球上下振动时，框架始终没有离开地面。当框架对地面的压力为零的瞬间，小球的加速度为：[D]A.gB.C.0D.解析：当框架对地面的压力为零的瞬间，整体