人教课标实验B版必修5数列 等差数列 等差数列“黄冈赛”一等奖

数列与其它知识的综合应用举例数列与其它知识的综合应用举例教学目标：重点难点：灵活地运用各部分知识分析问题和解决问题.1.通过例题和练习，加强各部分知识的相互联系，进一步巩固数列的有关概念、公式和性质，以及其它的数学知识和方法.2.熟悉利用相互联系的知识分析解决问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力.3.培养学生灵活运用各部分知识和所学的技能解决问题的意识和习惯.一、复习回顾

等差数列

等比数列

定义通项公式中项公式

前n项和公式

an+1-an=d(常数),n∈N*

an+1/an=q(常数),n∈N*

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1(a1,q≠0)

若a，A，b成等差数列，则A=(a+b)/2.

Sn=或

Sn=

1．等差、等比数列的有关概念和公式若a，G，b成等比数列，则G2=ab（a,b≠0）当q≠1时,Sn=或Sn=,当q=1时Sn=na1数列与其它知识的综合应用举例

关于等差、等比数列的证明，可以有综合法（据因导果）、分析法（执果索因），较复杂的可以统一到a1,d(或a1,q)进行计算证明。2．证明恒等式的基本方法数列与其它知识的综合应用举例二、学习新课

设直角三角形三边长分别为：a,a+d,a+2d(a>0,d>0)，由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2,即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0，∴a=3d(a=-d舍去)，∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，∴它们的比为3:4:5.例1已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比.

解：数列与其它知识的综合应用举例法1法2例2已知a、b、c成等差数列,且a+b,

b+c,c+a成等比数列，三整数a,b,c之和介于45和50之间(不含45和50),求a,b,c．由a,b,c成等差数列，设公差为d，则有a=b-d，c=b+d，由a+b,b+c,c+a成等比数列，得：又45＜a+b+c＜50，故d=0时，a=b=c=16；∴得45＜3b＜50，即15＜b＜50/3，由b是整数知：b=16.∴d(6b+d)=0,∴d=0或d=-6b.d=-6b=-96时，∴a+b+c=3b.a=112，b=16，c=-80.解：数列与其它知识的综合应用举例法1法2即(2b+d)2＝2b(2b-d)，(b+c)2＝(a+b)(c+a)，

本题与不等式联系，考查综合运用等差、等比数列概念的能力.本题字母较多，关键是审清题意，减少字母.

说明：数列与其它知识的综合应用举例例3已知：sinθ、sinα、cosθ成等差数列，sinθ、sinβ、cosθ成等比数列，求证：2cos2α=cos2β.证明：∵sinθ、sinα、cosθ成等差数列，∴有2sinα=sinθ+cosθ--①；又∵sinθ、sinβ、cosθ成等比数列，∴有sin2β=sinθcosθ--②；由①2-②×2得：4sin2α-2sin2β=1.利用三角降次公式得：2(1-cos2α)-(1-cos2β)=1，即2cos2α=cos2β.∴原式成立.数列与其它知识的综合应用举例复习由已知可得2sinα=sinθ+cosθ，sin2β=sinθcosθ，∴1-4sin2α+2sin2β=1-(2sinα)2+2sin2β=1-(sinθ+cosθ)2+2sinθcosθ=0.只须证2(1-2sin2α)=1-2sin2β,只须证1-4sin2α+2sin2β=0.证法2(分析法)：欲证2cos2α=cos2β，∴原题得证.数列与其它知识的综合应用举例

例4设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足f(x+2)=f(x+1)-f(x).如果

f(1)=lg(3/2)，f(2)=lg15，求f(2002).

∴f(2002)=f(333×6+4)=f(4)=1-lg15.解：

∵f(1)=lg(3/2)=lg15-1，f(2)=lg15，∴f(3)=f(2)-f(1)=1，f(4)=f(3)-f(2)=1-lg15，f(5)=f(4)-f(3)=-lg15，f(6)=f(5)-f(4)=-1，f(7)=f(6)-f(5)=lg15-1，f(8)=f(7)-f(6)=lg15，f(9)=f(8)-f(7)=1，……由此可以想象,从f(7)开始又重复上述数值，即f(x+6)=f(x).数列与其它知识的综合应用举例

说明：此题体现了函数与递推数列的联系，训练我们的观察分析能力．首先把已知看成是一递推数列，然后求出前若干项，观察知数列的项呈周期性变化，进而得解．数列与其它知识的综合应用举例

例5如果a,b,c成等差数列,x,y,z成等比数列,且x,y,z都是正数.求证:

(b-c)logdx+(c-a)logdy+(a-b)logdz=0.(d>0,d≠1)

∴原式成立.证明：∵左边=logdx(b-c)+logdy(c-a)+logdz(a-b)=logd[x(b-c)y(c-a)z(a-b)]，∴只须证x(b-c)y(c-a)z(a-b）=1即可.∵a,b,c成等差数列,∴b-c=a-b,且c-a=-2(a-b)又x,y,z成等比数列，∴y2=xz.∴x(b-c)y(c-a)z(a-b）=x(a-b)y-2(a-b)z(a-b）=(x.y-2.z)(a-b）=(y2.y-2)(a-b)=1(a-b)=1,∴左边=logd[x(b-c)y(c-a)z(a-b）]=logd1=0.数列与其它知识的综合应用举例

说明：①此题证法很多，同学们下去可以试一试；

②由三数a,b,c成等差数列，可以推出许多种关系（即等差数列定义的变形），如：a-b=b-c,a=b-d,c=b+d,c-a=-2(a-b)=-2(b-c)等等；

同样x,y,z成等比数列也有多种变形形式，如：x=y/q,z=yq,y2=xz,x/y=y/z,

z/x=(y/x)2等.

一般关于数列问题的证明，用a1,d或a1,q来统一式中各数使其成为以上的变形形式，比较容易化简.

数列与其它知识的综合应用举例练习：已知sin2θ、tanθ、cos2θ成等差数列,求证：tanθ、cotθ、10cos2θ成等比数列.∴tanθ、cotθ、10cos2θ成等比数列.证明：由已知得：2tanθ=sin2θ+cos2θ=1，∴tanθ=1/2，于是有cotθ=2，10cos2θ=10/sec2θ=10/(1+tan2θ)=10/[1+(1/2)2]=8.∴有22=(1/2)×8，即cot2θ=tanθ•10cos2θ数列与其它知识的综合应用举例三、归纳小结

由上面的例题和练习，我们看到了数列与其它知识的一些联系，将来我们学习了更多的知识以后，我们会看到数列与其它知识的联系更广泛，事实上，我们所学过的和将要学习的各部分知识本来就有着紧密的联系，因此，在学习中必须学好各部分的基础知识，注意知识之间的联系和综合应用，才能巩固已有的知识，培养、提高自己分析问题和解决问题的能力.数列与其它知识的综合应用举例四、布置作业

1．项数为奇数的等差数列｛an｝中奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项．2．设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a3=12，S１２＞0，S13＜0．求公差d的取值范围．3.解方程：lgx+lgx3+lgx5+…+lgx(2n-1)=2n2.4．在等差数列{an}中，a1=12，S3=S10,求Sn的最大值.5．一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1600m，已知此地每升高(垂直高度)100m，气温降低0.70C，某时刻山脚下的气温为260C，求此时山顶的气温．数列与其它知识的综合应用举例

课题：数列与其它知识的综合应用举例

一、复习二、例与练三、小结

1．等差等比数列例1例4

的有关概念

2．证明恒等式的例2例5四、作业

基本方法

例3练习：

数列与其它知识的综合应用举例五、板书设计例3

cos2θ=cos2θ-sin2θ=1-2sin2θ=2cos2θ-1

sin2θ=(1-cos2θ)/2,

cos2θ=(1+cos2θ)/2.由题意可设三边为：a,b,c,且a<b<c，则

a2+b2=c2--①,2b=a+c--②.由①、②消去a得：5b2-4bc=0，即b(5b-4c)=0,∴b=0(舍去)或b=4c/5,∴a=3c/5.∴a:b:c=3:4:5.例1数列与其它知识的综合应用举例法1：设三边分别为：a-d,a,a+d(a>0,d>0),由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2，即a2-4ad=0,∴a=0(舍去)或a=4d.∴三边为：3d,4d,5d.∴a:b:c=3:4:5.法2：例1a=7b时，a=112，b=16，c=-80.由a,b,c成等差数列，得：2b=a+c--①法1：由a+b,b+c,c+a成等比数列,得:(b+c)2=(a+b)(c+a)--②由①、②消去c得：(3b-a)2=(a+b)(2b)，即a2-8ab+7b2=0，∴a=b或a=7b.又45＜a+b+c＜50，由①知：45＜3b＜50，即15＜b＜50/3，由b是整数知：b=16.故a=b时，a=b=c=16；例2数列与其它知识的综合应用举例由a,b,c成等差数列，设公差为d，则b=a+d，c=a+2d.法2：由a+b,b+