导数单元测试题及答案(理科)

《导数及其应用》单元测试题〔理科〕1．函数的导数是〔〕(A)(B)(C)(D)2．函数的一个单调递增区间是〔〕 (A)(B)(C)(D)3．对任意实数，有，且时，，那么时〔〕A． B．C． D．4．〔〕(A)(B)(C)(D)5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔〕7．二次函数的导数为，，对于任意实数都有，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．8．设在内单调递增，，那么是的〔〕Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件二．填空题〔本大题共6小题，共30分〕9．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，那么该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大.10．将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积等于11．函数在区间上的最大值与最小值分别为，那么＿＿．12．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，那么数列的前n项和的公式是13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，那么的取值范围是14．函数(1)假设函数在总是单调函数，那么的取值范围是.(2)假设函数在上总是单调函数，那么的取值范围.〔3〕假设函数在区间〔-3，1〕上单调递减，那么实数的取值范围是.三．解答题〔本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分〕15．设函数．〔1〕证明：的导数；〔2〕假设对所有都有，求的取值范围．16．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求(1)求点的坐标；(2)求动点的轨迹方程.17．函数(x>0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。〔1〕试确定a,b的值；〔2〕讨论函数f(x)的单调区间；〔3〕假设对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。18．〔1〕当时，求函数的单调区间。〔2〕当时，讨论函数的单调增区间。〔3〕是否存在负实数，使，函数有最小值－3？19．函数 〔1〕求曲线在点处的切线方程； 〔2〕假设过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.20．函数，，其中．〔1〕假设是函数的极值点，求实数的值；〔2〕假设对任意的〔为自然对数的底数〕都有≥成立，求实数的取值范围．【理科测试解答】一、选择题1．;或〔理科要求：复合函数求导〕2．，选(A)或3.(B)数形结合4．〔D〕5．〔D〕6．〔D〕7．〔C〕8．〔B〕二、填空题9．2cm,1cm,1.5cm;设长方体的宽为x〔m〕，那么长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′〔x〕＝0，解得x=0〔舍去〕或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′〔x〕＞0；当1＜x＜时，V′〔x〕＜0，故在x=1处V〔x〕取得极大值，并且这个极大值就是V〔x〕的最大值。从而最大体积V＝V′〔x〕＝9×12-6×13〔m3〕，此时长方体的长为2m，高为1.5m.10．.〔图略〕11．3212．，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，那么数列的前n项和13.14.(1)三、解答题15．解：〔1〕的导数．由于，故．〔当且仅当时，等号成立〕．〔2〕令，那么，〔ⅰ〕假设，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．〔ⅱ〕假设，方程的正根为，此时，假设，那么，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．16．解：〔1〕由题意知，因此，从而．又对求导得．由题意，因此，解得．〔2〕由〔I〕知〔〕，令，解得．当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．〔3〕由〔II〕知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使〔〕恒成立，只需．即，从而，解得或．所以的取值范围为17．解:(1)令解得当时,,当时,,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以,点A、B的坐标为.(2)设，，，所以，又PQ的中点在上，所以消去得.另法：点P的轨迹方程为其轨迹为以〔0，2〕为圆心，半径为3的圆；设点〔0，2〕关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),那么点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-218〔1〕或递减;递增;〔2〕1、当递增;2、当递增;3、当或递增;当递增;当或递增;〔3〕因由②分两类〔依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机〞：1、当递增，，解得2、当由单调性知：，化简得：，解得不合要求；综上，为所求。19．解〔1〕………2分∴曲线在处的切线方程为，即；………4分〔2〕过点向曲线作切线，设切点为那么那么切线方程为………6分整理得过点可作曲线的三条切线∴方程〔*〕有三个不同实数根.记令或1.…………10分那么的变化情况如下表极大极小当有极大值有极小值.………12分由的简图知，当且仅当即时，函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.所以假设过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分20．〔1〕解法1：∵，其定义域为，∴．∵是函数的极值点，∴，即．∵，∴．经检验当时，是函数的极值点，∴．解法2：∵，其定义域为，∴．令，即，整理，得．∵，∴的两个实根〔舍去〕，，当变化时，，的变化情况如下表：—0＋极小值依题意，，即，∵，∴．〔2〕解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．当［1，］时，．∴函数在上是增函数．∴．∵，且，．①当且［1，］时，，∴函数在［1，］上是增函数，∴.由≥，得≥，又，∴不合题意．