概率论与数理统计3.2 二维连续型随机变量及其概率分布课件

一.联合分布函数与边缘分布函数1.定义3.3对随机变量(X,Y)

和任意的实数x,y,定义二元函数称为二维随机变量的联合分布函数.(x,y)表示随机点落入以(x,y)为右上顶点的阴影部分的概率.第二节二维连续型随机变量及其概率分布1概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布2.联合分布函数的特征1).固定x或y,则F对y或x是单调递增的;2).3).对x和y分别是右连续的;4).即若函数F满足以上四条,就可以作为二维随机变量的联合分布函数.2概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布x1x2y1y2联合分布函数表示矩形域概率F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)3概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布3.边缘分布函数由联合分布函数可以确定边缘分布函数,反之,一般来说不可以.反例请参看3.2.5.可以证明分别是一维的分布函数.4概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布

若存在非负函数f(x,y)，使得对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)

可表示成如下形式

则称(X,Y)是二维连续型随机变量。f(x,y)称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二.联合密度函数与边缘密度函数1.定义5概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布2.联合概率密度函数的性质1)-2)为密度函数的特征.即1).非负性2).6概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布随机事件的概率=曲顶柱体的体积;点和平面曲线对应的概率为0.3.二维连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系1).对于(x,y)为f的连续点;2).特别的,7概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布4.边缘密度函数1).定义2).边缘密度函数与联合密度函数的关系联合密度边缘密度,反之不成立.8概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布(1).确定常数k；(2).求的分布函数；(4).求设二维随机变量的概率密度为例(3).(5).求边缘密度9概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布(1).所以解

(1).确定常数k；10概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布(2).当或时，当时，所以，(2).求的分布函数；11概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布(3).41或解12概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布(4).(5).13概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布例题1,例题414概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布224例已知二维随机变量(X,Y)的分布密度为求概率解(1).115概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布(2).x+y=316概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布思考已知二维随机变量（X,Y）的分布密度为求概率2241解答

17概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布5.二维均匀分布1).定义设二维随机变量的概率密度为

上服从均匀分布.在则称是平面上的有界区域，其面积为,其中18概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布

例已知二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）解(1).(X,Y)的密度函数为（a）当时，分布函数为y=2x+1

-1/2

119概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布y=2x+1-1/2（b）当时，20概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布y=2x+1-1/2

（c）当时，21概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布所以，所求的分布函数为22概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布0.5y=2x+1-1/2(2).23概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布24概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布练习题25概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布例题226概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布练习题27概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布三.条件密度函数定义,了解,不要求.28概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布四.随机变量的独立性1.定义.相互独立,如果二维连续型随机变量容易得到此式对于一般的独立的二维随机变量也是对的.2.性质.如果相互独立,则(i).相互独立;(ii).也是相互独立的.29概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布30概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布31概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布证明随机变量不是相互独立的,先求出边缘密度,再验证,或者可以直接检查密度函数是否为变量分离的.32概率论与数理统计3.2二维连续型随机变量及其概率分布五.二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为