研究生数理统计课件第3章参数估计2

常用的估计量评价标准：1．无偏性2．有效性3．一致性§3.4估计的优良性的评价标准对同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，采用哪一个估计量好呢?而它的期望值等于未知参数的真值..真值1．无偏性估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，——这就导致无偏性这个标准.定义1设是未知参数θ的估计量,存在，且有:那么称为θ的无偏估计量。则称是的渐近无偏估计量.例设总体X的数学期望为μ方差为σ2

，是X的样本，求证均为μ的无偏估计量。为σ2

的无偏估计量。为σ2

的无偏估计量。证明：证：例1可见：一个未知参数可以有不同的无偏估计量。例2

设是总体的样本.使为的无偏估计量。求故当时,解：的大小来决定二者谁更优。和一个参数的无偏估计量往往不止一个,假设和都是参数

的无偏估计量，我们通过可以比较由于二、有效性定义2设都是参数θ的无偏估计量，假设有那么称有效。例3设X1,X2,…,Xn是取自总体

X

的一个样本,⑴验证都是的无偏估计.⑵问那个估计量最有效?解

⑴由于都是总体均值的无偏估计量;故⑵因为所以更有效定义3设那么称的一致估计量。为参数θ的估计量，三、一致性定理设是θ的估计量，如果存在，且qˆ则是θ的一致估计量。qˆ例4设X1,X2,…,Xn是取自总体

X

的一个样本,证明样本均值是总体均值的一致估计量。例5设X1,X2,…,Xn是总体X~U〔0，θ〕的一个样本,证明Y=max{X1,X2,…,Xn}是θ的一致估计量。估计湖中鱼数的问题，假设根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计值为1000条。Question:这个数是湖中鱼数的真值吗？湖中鱼数的真值[]=>希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数的真值.§3.5区间估计定义设θ是总体X的一个未知参数，X1,X2,…,Xn为X的样本，假设对于事先给定的一个数α，0<α<1,存在两个统计量使得那么称是一个随机区间；给出该区间含真值θ的概率；注意：α表示该区间不包含真值θ的概率。为θ的置信区间，1－α为置信水平。通常,

采用95%置信水平,有时也取99%或90%.

即置信水平为这时重复抽样100次,那么在得到的100个区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的有5个左右。例假设具体算法⑴由样本X1,X2,…,Xn寻找一个样本函数

其中θ是待估的未知参数⑵对于给定的置信水平1－α，找a,b,使得(3)解不等式由此可得θ的置信水平为1－α的置信区间3.5.1单个正态总体参数的区间估计设X1,X2,…,Xn为总体N(μ,σ2)的一个样本，在置信水平1－α下，确定μ和σ2的置信区间。设方差⑴已知方差，估计均值μ由于：对于给定的有可得所以μ的置信水平为1-α的置信区间为：简记为注：

μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。

上例中同样给定,可以取标准正态分布上α分位点-Z0.04和Z0.01，那么也有那么μ的置信度为0.95的置信区间为像N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时,以的区间长度为最短，记L为区间长度，那么可见L随n的增大而减少〔α给定〕.幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120131,115,109,115,115,105,110cm;假设标准差置信度为95%;试求总体均值μ的置信区间解由样本值算得：查正态分布表得，由此得置信区间例1设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49?解

设需要抽取容量为n的样本,其样本均值为查表得于是μ的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度例2解得取⑵方差未知，估计均值μ因：故：所以μ的置信区间为简记为或：用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115;设温度在置信度为95%时,试求温度的真值所在范围。例3查表得由样本值算得：解得区间：⑶方差的置信区间〔均值μ未知〕因：置信区间：即：故：标准差σ的置信区间注意：在密度函数不对称时，如习惯上仍取对称的分位点，但其置信区间的长度并不最短。例6

某自动车床加工零件，抽查16个测得长加工零件长度的方差。解

度〔毫米〕：怎样估计该车床查表所求σ2的置信度为0.95的置信区间解⑴μ的置信区间为⑵σ2的置信区间为所以σ2的置信区间为所以μ的置信区间为因：3.5.2两个正态总体参数的区间估计设X1,X2,…,Xn1为总体的一个样本Y1,Y2,…,Yn2为总体的一个样本,X与Y相互独立。⒈均值差的置信区间⑴均为已知因：所以的置信水平为1-α的置信区间为⑵未知所以的置信水平为1-α的置信区间为因：⒉方差比的置信区间所以的置信水平为1-α的置信区间为因：故：练习题1.设总体X的概率密度为X1,X2,…,Xn为X的样本。〔1〕求参数θ的矩估计量和最大似然估计量；〔2〕判断θ的最大似然估计量是否是θ的无偏估计；〔3〕判断θ的最大似然估计量是否是θ的一致估计。2.设总体X