复变函数课件

留數1.定義

2.分類

3.性質

4.零點與極點的關係§5.1孤立奇點1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n

(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。2.分類以下將f(z)在孤立奇點的鄰域內展成洛朗級數，根據展開式的不同情況，將孤立點進行分類。考察：特點：沒有負冪次項特點：只有有限多個負冪次項特點：有無窮多個負冪次項定義設z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0

的去心鄰域內，若f(z)的洛朗級數沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負冪次項，稱z=z0為m級極點;有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性質若z0為f(z)的可去奇點若z0為f(z)的m(m1)

級極點例如：z=1為f(z)的一個三級極點，z=

i為f(z)的一級極點。若z0為f(z)的本性奇點4.零點與極點的關係定義不恒等於0的解析函數f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：定理事實上，必要性得證！充分性略！例如定理:證明“”

若z0為f(z)的m級極點例解顯然，z=

i是(1+z2)的一級零點綜合1.留數的定義

2.留數定理

3.留數的計算規則§5.2留數(Residue)1.留數的定義定義設z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內的洛朗級數中負冪次項(z-z0)–1的係數c–1

稱為f(z)在z0的留數，記作Res[f(z),z0]

或Resf(z0)。由留數定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)2.留數定理定理證明Dcznz1z3z2由複合閉路定理得：用2i除上式兩邊得:得證！

求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點的留數。

一般求Res[f(z),z0]是採用將f(z)在z0鄰域內展開成洛朗級數求係數c–1的方法,但如果能先知道奇點的類型，對求留數更為有利。以下就三類孤立奇點進行討論：3.留數的計算規則規則I規則II事實上，由條件當m=1時，式(5)即為式(4).規則III事實上，例1解例2解例3解例4解故由留數定理得：

(1)要靈活運用規則及洛朗級數展開來求留數，不要死套規則。如是f(z)的三級極點。---該方法較規則II更簡單！

(2)由規則II的推導過程知，在使用規則II時，可將m取得比實際級數高，這可使計算更簡單。如複變函數與解析函數1.複變函數的定義

2.映射的概念

3.反函數或逆映射§5複變函數1.複變函數的定義—與實變函數定義相類似定義

例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數值集合2.映射的概念——複變函數的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區分函數與映射（變換）。

在複變函數中用兩個複平面上點集之間的對應關係來表達兩對變數u，v

與x，y

之間的對應關係，以便在研究和理解複變函數問題時，可借助於幾何直觀.複變函數的幾何意義是一個映射（變換）例3解—關於實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(映射)見圖2例4解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=43.反函數或逆映射例設z=w2

則稱為z=w2的反函數或逆映射∴為多值函數,2支.定義設w=f(z)的定義集合為G,函數值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數（逆映射）.例已知映射w=z3

，求區域0<argz<在平面w上的象。例1.函數的極限

2.運算性質

3.函數的連續性§6複變函數的極限與連續性1.函數的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實變函數相比較要求更高.(2)A是複數.2.運算性質複變函數極限與其實部和虛部極限的關係：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.定理2

以上定理用極限定義證!例1例2例33.函數的連續性定義定理3例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續。證明xy(z)ozz

定理4連續函數的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續函數;

連續函數的複合函數仍為連續函數。有界性：第二章解析函數

第一節解析函數的概念第二節函數解析的充要條件第三節初等函數1.複變函數的導數定義

2.解析函數的概念§2.1解析函數的概念

一.複變函數的導數(1)導數定義定義設函數w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數，記作

如果w=f(z)在區域D內處處可導，則稱f(z)在區域D內可導。

(1)Δz→0是在平面區域上以任意方式趨於零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(2)求導公式與法則①常數的導數c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1(n是自然數).證明對於複平面上任意一點z0，有----實函數中求導法則的推廣③設函數f(z),g(z)均可導，則

[f(z)±g(z)]

=f

(z)±g

(z)，

[f(z)g(z)]

=f

(z)g(z)+f(z)g

(z)④複合函數的導數(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數的導數，其中:w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數，且

(w)

0。思考題例3問：函數f(z)=x+2yi是否可導？例2解解例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導。證明(1)複變函數在一點處可導，要比實函數在一點處可導要求高得多，也複雜得多，這是因為Δz→0是在平面區域上以任意方式趨於零的原故。(2)在高等數學中要舉出一個處處連續，但處處不可導的例題是很困難的,

但在複變函數中，卻輕而易舉。(3)可導與連續若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續.?二.解析函數的概念定義

如果函數w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區域D內每一點都解析，則稱

f(z)在D內解析，或稱f(z)是D內的解析函數

(全純函數或正則函數）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。

(1)w=f(z)在D內解析在D內可導。

(2)函數f(z)在z0點可導，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整個複平面處處可導，故是整個複平面上的解析函數；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個複平面上的解析函數；

(3)w=zRez在整個複平面上處處不解析(見例4)。定理1設w=f

(z)及w=g(z)是區域D內的解析函數，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)

g(z)(g

(z)≠0時)均是D內的解析函數。定理2設w=f(h)在h

平面上的區域G內解析,

h=g(z)在z平面上的區域D內解析,h=g(z)的函數值集合G，則複合函數w=f[g(z)]在D內處處解析。

共形映射

分式線性映射1.曲線的切線

2.導數的幾何意義

3.共形映射的概念§1共形映射的概念1.曲線的切線設連續曲線(z)(z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

定義切線隨切點的移動而連續轉動的有向曲線稱為有向光滑曲線.(z)~~~~~~~~~~2.解析函數導數的幾何意義(輻角和模)則~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~即(1)即(z)(w)~~~~~~~x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(z)(w)——保角性由上述討論我們有(z)(w)3.共形映射的概念~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定理若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對值不變，而旋轉方向相反，此時稱第二類共形映射。從而，定義中的共形映射稱為第一類共形映射。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1.分式線性映射的定義

2.分式線性映射的性質§2分式線性映射1.分式線性映射的定義定義~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的複合：稱為：平移整線性反演事實上，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~roxyP

規定無窮遠點的對稱點為圓心o~~~~~~~~~~~~~~~~~oTP1ox,uy,vzw2.分式線性映射的性質（詳見P195）~~~~~~~~~定理1~~~~~~~定理2定理3

在分式線性映射下，圓周或直線上沒有點趨於無窮點，則它映射成半徑為有限的圓周；若有一點映射成無窮遠點，它映射成直線。

解析函數與調和函數的關係

在§3.6我們證明了在D內的解析函數,其導數仍為解析函數,所以解析函數有任意階導數。本節利用這一重要結論研究解析函數與調和函數之間的關係。內容簡介§3.7解析函數與調和函數的關係定義定理證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區域D內解析，則即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說明：由解析的概念得：現在研究反過來的問題：如定理

公式不用強記！可如下推出：類似地，然後兩端積分得，

調和函數在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用。本節介紹了調和函數與解析函數的關係。例1解曲線積分法故

又解湊全微分法又解偏積分法又解不定積分法1.複數列的極限

2.級數的概念第四章級數CH4§4.1複數項級數1.複數列的極限定義又設複常數：定理1證明2.級數的概念級數的前面n項的和---級數的部分和不收斂---無窮級數定義設複數列：

例1解定理2證明

由定理2，複數項級數的收斂問題可歸之為兩個實數項級數的收斂問題。性質定理3證明

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4解例2例3解練習：1.冪級數的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數的運算和性質§4.2冪級數1.冪級數的概念定義設複變函數列：---稱為複變函數項級數級數的最前面n項的和---級數的部分和

若級數(1)在D內處處收斂，其和為z的函數---級數(1)的和函數特殊情況，在級數(1)中稱為冪級數2.收斂定理同實變函數一樣，複變冪級數也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數的收斂範圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數都收斂，級數(3)在複平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數都是發散的，這時，級數(3)在複平面上除z=0外處處發散。顯然，

<

否則，級數(3)將在

處發散。將收斂部分染成紅色，發散部分染成藍色，

逐漸變大，在c

內部都是紅色,

逐漸變小，在c

外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。故播放

(i)冪級數在收斂圓內部收斂，在收斂圓外部發散，在圓周上可能收斂可能發散，具體問題要具體分析。定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數的收斂半徑。(ii)冪級數(3)的收斂範圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(2)的收斂範圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.4.收斂半徑的求法

定理2(比值法)證明

定理3(根值法)

定理3(根值法)

定理2(比值法)例1解

綜上例2求下列冪級數的收斂半徑並討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數收斂該級數發散p=1p=2

該級數在收斂圓上是處處收斂的。

綜上該級數發散。該級數收斂，故該級數在複平面上是處處收斂的.5.冪級數的運算和性質

代數運算

---冪級數的加、減運算---冪級數的乘法運算---冪級數的代換(複合)運算

冪級數的代換運算在函數展成冪級數中很有用.例3解代換解代換展開還原

分析運算

定理4---冪級數的逐項求導運算---冪級數的逐項積分運算

泰勒(Taylor)級數

羅朗(Laurent)級數1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數1.泰勒(Taylor)展開定理現在研究與此相反的問題：一個解析函數能否用冪級數表達?(或者說,一個解析函數能否展開成冪級數?解析函數在解析點能否用冪級數表示？）由§4.2冪級數的性質知:一個冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數都一定能用冪級數表示。定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得Dkz---(*)得證！證明(不講)(不講)證明(不講)

2.展開式的唯一性結論解析函數展開成冪級數是唯一的，就是它的Taylor級數。利用泰勒級數可把解析函數展開成冪級數，這樣的展開式是否唯一？事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數:由此可見，任何解析函數展開成冪級數就是Talor級數，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運用級數的代數運算、分析運算和已知函數的展開式來展開函數展開成Taylor級數的方法：3.簡單初等函數的泰勒展開式例1解

上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數展開成z的冪級數:解(2)由冪級數逐項求導性質得：

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,

它的展開式的收斂範圍為z<1.定理1.預備知識

2.雙邊冪級數

3.函數展開成雙邊冪級數

4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數

由§4.3

知,f(z)在z0

解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域

z-z0

<R內展開成z-z0的冪級數。若f(z)在z0點不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數，但如果在圓環域R1<

z-z0

<R2

內解析，那麼，f(z)能否用級數表示呢？例如，由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

內解析,f(z)可以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項,即

本節將討論在以z0為中心的圓環域內解析的函數的級數表示法。它是後面將要研究的解析函數在孤立奇點鄰域內的性質以及定義留數和計算留數的基礎。1.預備知識Cauchy積分公式的推廣到複連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z2.雙邊冪級數---含有正負冪項的級數定義形如---雙邊冪級數正冪項(包括常數項)部分：負冪項部分：級數(2)是一冪級數，設收斂半徑為R2，則級數在

z-z0=R2內收斂，且和為s(z)+;在

z-z0

=R2外發散。

z0R1R2z0R2R1

(2)在圓環域的邊界

z-z0

=R1,

z-z0=R2上,3.函數展開成雙邊冪級數定理證明由複連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中係數cn的積分分別是在k2，k1上進行的，在D內取繞z0的簡單閉曲線c，由複合閉路定理可將cn寫成統一式子：證畢！級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。

(2)在許多實際應用中，經常遇到f(z)在奇點

z0的鄰域內解析，需要把f(z)展成級數，那麼就利用洛朗（Laurent）級數來展開。級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。4.展開式的唯一性結論一個在某一圓環域內解析的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f(z)的洛朗級數。事實上，Dz0R1R2cDz0R1R2c

由唯一性，將函數展開成Laurent級數，可用間接法。在大都數情況，均採用這一簡便的方法求函數在指定圓環域內的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接採用公式(5')求Laurent系數的方法。例1解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:沒有奇點注意首項(2)對於有理函數的洛朗展開式，首先把有理函數分解成多項式與若干個最簡分式之和，然後利用已知的幾何級數，經計算展成需要的形式。小結：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數的方法：解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習：

(2)根據區域判別級數方式：在圓域內需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數，在環域內需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數。

(3)Laurent級數與Taylor級數的不同點：

Taylor級數先展開求R,找出收斂域。

Laurent級數先求f(z)的奇點，然後以z0

為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使f(z)解析的環，在環域上展成級數。

解析函數的充要條件

初等函數1.解析函數的充要條件

2.舉例§2.2解析函數的充要條件

如果複變函數w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內處處可導，則函數w=f(z)在D內解析。

本節從函數u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數w=f(z)的可導性，從而給出判別函數解析的一個充分必要條件，並給出解析函數的求導方法。問題如何判斷函數的解析性呢？一.解析函數的充要條件

記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有證明（由f(z)的可導C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導函數u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函數w=f(z)點z可導，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+

(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(

1+i

2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy)+i(bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=

1+i

2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy,Δv=bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.

（由函數u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：定理2

函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯繫.當一個函數可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數來.

利用該定理可以判斷那些函數是不可導的.使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數的連續性，

ii)驗證C-R條件.iii)求導數：

前面我們常把複變函數看成是兩個實函數拼成的,但是求複變函數的導數時要注意,並不是兩個實函數分別關於x,y求導簡單拼湊成的.二.舉例例1

判定下列函數在何處可導，在何處解析：解(1)設z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則例2

求證函數證明由於在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數，且滿足C-R條件：故函數w=f(z)在z≠0處解析，其導數為例3證明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數，且f

(z)≠0，那麼曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這裏C1

、C2常數.那麼在曲線的交點處，i)uy、

vy

均不為零時，由隱函數求導法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.ii)uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水準的，另一條是鉛直的,它們仍互相正交。練習:a=2,b=-1,c=-1,d=21.指數函數

2.三角函數和雙曲函數

3.對數函數

4.乘冪與冪函數

5.反三角函數與反雙曲函數§2.3初等函數

本節將實變函數的一些常用的初等函數推廣到複變函數情形，研究這些初等函數的性質，並說明它的解析性。內容簡介一.指數函數它與實變指數函數有類似的性質：定義

這個性質是實變指數函數所沒有的。

例1例2例3二.三角函數和雙曲函數推廣到複變數情形定義正弦與余弦函數的性質思考題由正弦和余弦函數的定義得其他三角函數的定義(詳見P51)定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數雙曲正弦和雙曲余弦函數的性質三.對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數。即，(1)對數的定義故特別

(2)對數函數的性質見§1-6例1例4四.乘冪與冪函數

乘冪ab定義

—多值—一般為多值—q支

(2)當b=1/n(n正整數)時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。(1)當b=n(正整數)時，乘冪ab與a的n次冪意義一致。解例5

冪函數zb定義①當b=n(正整數)w=zn在整個複平面上是單值解析函數

除去b為正整數外，多值函數，當b為無理數或複數時，無窮多值。5.反三角函數與反雙曲函數詳見P52

重點：指數函數、對數函數、乘冪．

唯一決定分式線性映射的條件1.分式線性映射的存在唯一性

2.舉例§3唯一決定分式線性映射的條件定理1.分式線性映射的存在唯一性證明①式(1)是三對點所確定的唯一的一個映射。~~~~~~~~~~~~所求分式線性映射因此，式(1)說明分式線性映射具有保交比不變性。由分式線性映射的存在唯一性定理知：以下討論這個映射會把C的內部映射成什麼？(不可能把d1的部分映入D1，d1的另一部分映入D2).事實上，由以上討論給出確定對應區域的兩個方法：事實上由上一節和本節的討論，還有以下結論：~~~~~~~~~~~~~~

例1解2.舉例uv(w)xy(z)例2解uvo(w)xy(z)o

例3解uv(w)xy(z)11例4解uvo(w)xy(z)oR例5解xy(z)1-1i-iouv(w)o1.冪函數

2.指數函數§4幾個初等函數所構成的映射1.冪函數冪函數：xy(z)uv(w)xy(z)上岸下岸uv(w)冪函數所構成的映射特點：把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域，但張角變成了原來的n倍，因此，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例22.指數函數帶形區域角形區域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)uv(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)xy(z)uv(w)EABDC例5解答：xy(z)uv(w)xy(z)-11例6uv(w)解見P244例7

複變函數的積分1.有向曲線

2.積分的定義

3.積分存在的條件及其計算法

4.積分性質§3.1複變函數積分的概念1.有向曲線CA(起點)B(終點)CC2.積分的定義定義DBxyo

3.積分存在的條件及其計算法定理

證明

由曲線積分的計算法得4.積分性質由積分定義得：例1解又解Aoxy例2解oxyrCîíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

oxy例3解解:例4分析§1的積分例子:§3.2Cauchy-Goursat基本定理由此猜想：複積分的值與路徑無關或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數的解析性及解析區域的單連通有關。先將條件加強些，作初步的探討—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。BBC推論設f