概率论与数理统计课件

概率論與數理統計第一章隨機事件與概率§1.1隨機事件

§1.2等可能概型

§1.3頻率與概率

§1.4概率的公理化定義與性質§1.5條件概率與隨機事件的獨立性§1.6全概率公式與貝葉斯公式§1.1隨機事件

一、隨機試驗二、樣本空間三、隨機事件四、隨機事件之間的關係和運算一、隨機試驗概率論是一門研究隨機現象及其統計規律的學科.隨機現象——在個別試驗中呈現不確定的結果,而在大量重複試驗中結果呈現某種規律性的現象.這種規律性稱為統計規律性.例擲一顆骰子,對比兩種結果:骰子下落,出現6點,（大量重複拋擲,出現6點的可能性為六分之一）.以下現象都是隨機現象:⑴拋一枚均勻硬幣100次,出現正面向上的次數恰為35次;⑵嬰兒出生時的性別;⑶在鬧市區的某個街口,在一個給定時間段內發生交通擁堵的現象.為了研究隨機現象的統計規律性,就要對客觀事物進行觀察,這個過程叫做試驗.概率論所討論的試驗稱為隨機試驗,它具有以下三個特點:⑴在相同的條件下試驗可以重複進行;⑵每次試驗的結果具有多重可能性,但是試驗之前可以明確試驗的所有可能結果;⑶在試驗前不能準確地預言該次試驗將出現哪種結果.例以下幾個試驗都是隨機試驗:⑴擲一枚均勻硬幣三次,觀察正面向上的次數;⑵觀察某交通路口在一個小時內的汽車流量;⑶從某廠生產的相同型號的燈泡中抽取一個，測試它的壽命;⑷向一個直徑為50cm的靶子射擊，觀察彈著點的位置.二、樣本空間將隨機試驗的結果與集合對應起來:一個隨機試驗,每一個可能出現的結果稱為一個樣本點,記為;樣本空間是試驗的所有可能結果組成的集合,集合中的元素就是樣本點.全體樣本點組成的集合稱為樣本空間,記為,也即樣本空間可以是有限集,可數集,一個區間（或若干區間的並集）.在前面的例子中:⑴拋一枚均勻硬幣三次,觀察正面向上的次數,則｛正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反｝⑵觀察某交通路口在一個小時內的汽車流量,則⑶從某廠生產的相同型號的燈泡中抽取一個,測試它的壽命,則樣本空間可表示為⑷向一個直徑為50cm的靶子射擊,觀測彈著點的位置,則樣本空間可以如下表示:三、隨機事件從兩個角度來定義:概率論的角度;集合的角度.在概率論中,把試驗的結果稱為事件,每次試驗中,可能發生也可能不發生,而在大量試驗中,具有某種規律性的事件稱為隨機事件.從集合的角度:一個隨機試驗所對應的樣本空間的子集稱為一個隨機事件.用大寫字母等來表示隨機事件.例如拋一枚均勻硬幣三次,觀察正面向上的次數,則｛正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反｝記｛出現一次正面｝,則是該隨機試驗的一個結果,有可能發生也有可能不發生,但它的發生具有某種規律性.所以是一個隨機事件.又｛出現一次正面｝｛正反反、反正反、反反正｝，也是樣本空間的一個子集.稱某事件發生,當且僅當該集合所包含的一個樣本點在試驗中出現.當第一次正面,第二、三次反面這一樣本點在試驗中出現時,就表示事件發生了.在隨機事件中,有的可以看成是由某些事件複合而成

的,而有些事件則不能分解為其他事件的組合,這種不能分解成其他事件組合的隨機事件稱為基本事件.例擲一粒骰子,觀察其出現的點數,令

｛出現的點數為｝｛出現的點數為奇數｝則就是一個基本事件,而是一個複合事件.它由,複合而成.一般地說,只含有一個樣本點的事件稱為基本事件.每次試驗中一定發生的事件稱為必然事件.包含所有的樣本點,因此每次試驗中必有中的一個樣本點出現,故是必然事件.每次試驗中一定不發生的事件稱為不可能事件.空集中不包含任何樣本點,因此是不可能事件.為討論問題方便,將上述兩個事件也當作隨機事件,作為兩個極端情況.在前面的例子中,隨機試驗是擲一粒骰子,觀察其出現的點數,記｛出現的點數小於7｝,｛出現的點數大於7｝,樣本空間所以是必然事件;是

不可能事件.與有著緊密的聯繫,如果某一結果必然發生,那麼其反面就一定不發生.例（續）比較“擲一粒骰子”、“擲兩粒骰子”和“擲十粒骰子”.事件｛點數之和小於7｝在三種不同情形下,該事件分別是必然事件,隨機事件以及不可能事件.因此隨機事件都是相對於一定的試驗條件而言,條件變了,事件的性質也就變了.四、事件之間的關係與運算⑴事件的包含若事件的發生必然導致事件的發生,則稱事件包含在事件中.記作

.⑵事件的相等若事件包含事件,且事件也包含事件,則稱事件和事件相等,記作.⑶事件的和（並）當且僅當事件或至少有一個發生時,稱事件與事件的和事件發生,記該事件為.事件的和可推廣至有限和或者可列和的情形.事件至少有一個發生,記為事件至少有一個發生,記為稱的和事件發生;稱的和事件發生.⑷事件的交（積）當且僅當事件及事件同時發生時,稱事件與事件的交事件發生,記該事件為.事件的交可推廣至有限交或者可列交的情形.事件同時發生,記為事件同時發生,記為稱的交事件發生;稱的交事件發生.⑸事件的差當且僅當事件發生而事件不發生,稱事件與事件的差事件發生,記該事件為.例拋二枚均勻硬幣,

=｛正正、正反、反正、反反｝｛第一次出現正面｝=｛正正、正反｝,｛第二次出現正面｝=｛正正、反正｝,則與的和事件={第一次或第二次出現正面},也即

｛正正、正反、反正｝.與的交事件={第一次第二次都出現正面},也即

｛正正｝.與的差事件={第一次正面且第二次反面},也即

｛正反｝.⑹互不相容事件則稱事件與互不相容（互斥）.如果,如果一組事件中的任意兩個事件都互不相容,那麼稱該事件組是兩兩互不相容事件組.（任意一個基本事件組總是兩兩互不相容事件組）.⑺對立事件稱為事件的對立事件（逆、餘）,記為事件

由定義容易得到下列關係:是互斥事件是對立事件⑻事件的運算法則

①交換律

②結合律

③分配律

④對偶律性質④可推廣到個事件的情形:例1設｛第個元件正常工作｝,試用事件之間的關係表示由個電子元件串聯或並聯所構成的系統能正常工作的事件.解串聯系統:並聯系統:例2設｛第個元件正常工作｝,試用事件之間的關係表示下圖所描述的電子線路能正常工作這一事件.解例3設為三個事件,用事件的運算關係表示下列事件:⑴發生,和不發生;⑵中至少有一個發生;解由事件的關係及運算,容易得到⑶中不多於一個發生;⑷中至少有兩個發生.⑴⑵⑶⑷例4某城市的供水系統由甲、乙兩個水源與三部分管道1,2,3組成,每個水源都足夠該城市用水.用表示第號管道正常這一事件.試用來表示“城市供水正常”和“城市斷水”這兩個事件.水源甲水源乙城市解供水正常:城市斷水例5某工程隊承包了3幢樓房,設事件表示“第幢樓房經驗收合格”,試用表示下列事件:⑴只有第一幢樓合格;⑵恰有一幢樓合格;⑶至少有一幢樓合格;⑷至多有一幢樓合格.解⑴⑵⑶⑷例6化簡下列各式:§1.2等可能概型

一、古典概型二、幾何概型一、古典概型隨機事件發生的可能性的大小常用區間中的數值加以刻劃.這個數值稱為概率,記為規定:在現實問題中,有很大一類隨機現象具有一些共同的特徵.可以直接計算出事件的概率.比如:⑴100只燈泡,從中任取一個檢查其品質,則100個燈泡被抽取的機會相同;⑵拋一枚均勻的硬幣,出現正面和反面的機會相同.

這兩個試驗的共同特點是:①每次試驗只有有限種可能的試驗結果,即樣本點總數有限;②每次試驗中各基本事件出現的可能性是相同的.在概率論中,把具有上述兩個特點的試驗叫做古典型試驗，它的數學模型稱為古典概型.在古典概型中,記為樣本點總數,為事件所包含的樣本點個數,則規定事件的概率為

用這種方式定義的概率稱為古典概率.1.從個不同的元素中,任取個,有種不同取法.計算古典概率時常用的兩個思想:2.一件事情分幾個步驟完成,則互相之間用乘法,一件事情有若干種方法來完成,則互相之間用加法,這就是所謂的計數原理.例1（第7頁例1.7）一個盒子中裝有10個電晶體,其中3個是不合格品.從這個盒子中依次隨機地取2個,在有放回與無放回抽樣的二種情況下求2個產品恰好都是不合格品的概率.解注意抽樣的區別,有放回抽樣和無放回抽樣!⑴有放回抽樣,此時兩次取到的都是不合格品的取法有種,所有取法共有種,因此所求概率為⑵無放回抽樣.此時連續兩次取到的都是不合格品的取法總數為所有取法總數為因此所求概率為又問:依次隨機取兩個,恰有一個不合格的概率為多少?分析取到的產品中恰有一個是不合格品,將取法分為先取到不合格品和後取到不合格品兩種情況.⑴有放回抽樣,此時恰有一個不合格品的取法個數為所有可能的取法總數為因此所求概率為⑵無放回抽樣,此時恰有一個不合格品的取法個數為所有可能的取法總數為因此所求概率為當考慮的事件與抽樣次序無關時,無放回抽樣可以看作一次取出若干個樣品.本例中無放回抽樣時（此時樣本空間是不一樣的！）例2盒中裝有10件產品,其中有3件次品,不放回地一件一件抽取,問:第6次取出最後一個次品的概率是多少?解前5次中有2件次品而第6次取到次品的方法有種,所有的次品出現在不同位置上的方法有種,因此所求概率為在古典概型中顯然有例3擲兩粒骰子,求出現的點數之和小於10的概率.解樣本空間共含有36個樣本點,點數之和大於等於10包括樣本點因此所求概率為例4某城市的電話號碼升為6位數，且第一號碼為6或8.求⑴隨機抽取的一個號碼為不重複的六位數的概率；⑵隨機抽取的電話號碼末尾數是8的概率.解⑴當首位號碼為6或8時,其餘號碼有種選法,而總方案有個,因此所求概率為6888共有個,因此所求概率為⑵當末尾數為8時,如下圖所示,滿足條件的選取方式例5（女士品茶問題）一位常喝奶茶的女士聲稱她能辨別出沖好的奶茶是先放茶還是先放奶,並且她在10次試驗中都正確地辨別了出來.問該女士的說法是否可信?分析同的結果,而10次都正確的結果只有先放奶後放茶，十次試驗共有種不每次試驗只有兩個結果,或者先放茶後放奶,或者

一種！解假設該女士的說法不可信,即該女士純粹是猜測,則每次試驗的兩個可能結果是:茶+牛奶或牛奶+茶是等可能的.記｛該女士在10次試驗中都正確的辨別出來｝,則這是一個小概率事件!“實際推斷原理”:一個小概率事件在一次試驗中實際上是不會發生的.試驗結果相矛盾,因此假設“該女士純粹是猜測”不成立,故有理由斷言該女士的說法是可信的．因此按“實際推斷原理”事件實際不會發生,這與例6（抽獎券問題）

某超市有獎銷售,投放張獎券,其中只有一張有獎.每位顧客可抽取一張.求第位顧客中獎的概率（）.解由乘法原理,第個顧客抽到有獎券意味著前個顧客均沒有抽到,相應的取法個數為而總取法數為因此,所求概率為這個結果和次序無關,可見抽籤是公平的.二、幾何概率例在一個均勻陀螺的圓周上均勻的刻上區間上的

各數字,旋轉該陀螺,考慮陀螺停下來時接觸地面上的點的刻度恰好為2的概率.以等可能性為基礎,借助於幾何上的度量來合理地規定的概率,稱為幾何概率.

一般地,設樣本空間是某個區域（直線、平面或空間,每個樣本點等可能地出現）,規定事件的概率為這裏分別表示長度、面積或體積.例7在半圓區域內隨機地投入一點,求該點的連線與軸正向的夾角不超過的概率.解樣本空間為半圓區域,所以,相應的面積為事件表示連線與軸正向的夾角不超過,則區域的面積為故所求概率為例8在單位圓的一條直徑上隨機地取一點,試求過該點且與直徑垂直的弦的長度超過1的概率.

例8在單位圓的一條直徑上隨機地取一點,試求過該點且與直徑垂直的弦的長度超過1的概率.

解樣本空間為單位圓直徑,故相應的長度為2.記事件表示過點且與直徑垂直的弦的長度超過1,如圖

因此事件區域的長度為,

故所求概率為例9（書上例1.10）甲、乙兩船都要在某個泊位停靠6小時.假定它們在一晝夜的時間段中隨機到達.試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.解設甲船到達時間為乙船兩船均停靠6小時.一船等待

到達時間為則,的事件所對應的區域為右圖中的帶形區域相應的面積為矩形面積減去兩個三角形面積:所求概率為§1.3頻率與概率

稱為事件在次重複試驗中出現的頻率.其中表示事件在次重複試驗中出現的次數,即頻數.人們經過長期的實踐發現,雖然一個隨機事件在一次試驗中可能發生也可能不發生.但是在大量重複試驗中

這個事件發生的頻率卻具有穩定性,頻率的穩定性在理論上已經被證明.拋硬幣的隨機試驗中的頻率試驗者試驗次數正面出現次數頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005隨著的增加,頻率在附近波動,且波動的幅度越來越小,逐漸穩定於.英文字母頻率的統計表字母頻率字母頻率字母頻率E0.1268L0.0394P0.0186T0.0978D0.0389B0.0156A0.0788U0.0280V0.0102O0.0776C0.0268K0.0060I0.0707F0.0256X0.0016N0.0706M0.0244J0.0010S0.0634W0.0214Q0.0009R0.0594Y0.0202Z0.0006H0.0573G0.0187在不變的條件下,重複進行次試驗,事件

發生的頻率穩定地在某一常數附近擺動,而且隨著試驗次數的增加,擺動的幅度越來越小,則稱這個常數為事件的概率,這是概率的統計定義.按概率的統計定義來求出概率是不現實的!在實際應用中,往往就把頻率當作概率來使用.頻率的穩定性是概率的試驗基礎,但並不是說概率決定於試驗,一個事件發生的概率完全取決於事件本身的內在性質,是先於試驗而客觀存在的.概率的統計定義正是指明了這一點.§1.4概率的公理化定義與性質以上給出的概率的三種定義都具有下列三條基本性質:⑴非負性⑵規範性⑶可加性對任意一個事件當事件互不相容時,有將上面三條性質抽象化,得到概率的公理化定義：

給定一個隨機試驗,為相應的樣本空間,對每一個事公理1非負性

公理2規範性公理3可列可加性即對任意一列兩兩互不相容事件件,規定一個實數與之對應,且滿足如下公理:有則稱為事件的概率.由三條公理可以推導出概率的一些性質.性質1性質2有限可加性設為兩兩互不相容事件組,則有性質3對任一事件有性質4若則性質5設為任意一事件,則性質6設為任意兩個事件,則性質7設為任意兩個事件,則性質7稱為加法公式,該公式可以推廣到多個事件上.三個事件的加法公式為:例1已知事件包含事件求:解例2已知隨機事件滿足:試求:解例3已知隨機事件滿足則:

;

;

.§1.5條件概率與獨立性

一、條件概率二、隨機事件的獨立性三、獨立性在可靠性問題中的應用四、貝努利概型與二項概率一、條件概率問題的提法⑴給定一個隨機試驗,是它的樣本空間,問“事件

發生的概率是多少”？⑵在上述條件下,問“已知某事件發生了,那麼事件發生的概率是多少”?例:某班有100名學生,共發了10張電影票,採取抽籤的方式.問題1:張小明拿到電影票的概率是多少?問題2:若李小亮第一個抽籤,抽中了,問張小明拿到電影票的概率是多少?若李小亮沒有抽中,張小明抽中的概率又是多少?例1盒中裝有16個球,其中6個玻璃球、2個紅色4個藍色;10個木質球、其中3個紅色,7個藍色.現從中任取一球.記則總球數166個玻璃2個紅色4個藍色10個木質3個紅色7個藍色則問:“如果已知取到的是藍色球,那麼它是玻璃球的概率”是多少？上述概率可以記為.事實上,此時的樣本空間已經發生變化,變成為{11個藍色球}（）.所以進一步發現:定義1.2給定一個隨機試驗,是它的樣本空間,對於

任意兩個事件,其中,稱為已知事件發生的條件下事件發生的條件概率.容易得到:⑴⑵條件概率也是概率,滿足概率的公理化定義中的三條公理,即:⑴公理1非負性⑵公理2規範性⑶公理3對可列個兩兩不相容事件可列可加性相仿可以得到如下性質:以及等類似七條性質.例25個乒乓球,其中3個新的,兩個舊的.每次取一個.無放回地取兩次.記求:解例3某建築物按設計要求使用壽命超過50年的概率為0.8,超過60年的概率為0.6.該建築物經歷了50年後,它將在10年內倒塌的概率有多大?解:該建築物的壽命在5

0年以上;:該建築物的壽命在60年以上.則所求概率為例4設為兩個隨機事件,且求解因例5設為事件,且則下列選項成立的是[].(A)(B)(C)(D)正確答案(B)例6設為事件,且則下列選項成立的是[].(A)(B)(C)(D)正確答案(C)例7設為對立事件,且則下列各式中錯誤的是[].(A)(B)(C)(D)正確答案(A)則

.例8設是隨機事件,與互不相容，注意到.由條件概率公式:當（或）時,有或變形後有或上式稱為概率的乘法公式.乘法公式可推廣到多個事件上去,例如,三個事件的乘法公式為例910個考題中,4難6易.三人參加抽題（不放回）,甲先、乙後、丙最後.記事件分別表示三人各抽到難題.試求:解二、事件的相互獨立性定義1.3稱兩個事件是相互獨立的,如果思考:相互獨立與互不相容有何區別?上式等價於（當）.獨立性的直觀意義是一個事件的發生不影響另一個事件發生的概率.上式也等價於（當）.獨立性往往蘊含在事物的內部.例10一副撲克牌共52張,現從中隨機地抽取一張.記驗證:事件與是相互獨立的.解因從而有即:事件與是相互獨立的.或者例11拋一枚均勻硬幣2次,第一次正面向上,第二次正面向上,驗證:事件與是獨立的.解試驗的樣本空間為正正,正反,反正,反反則可見即事件與是獨立的.例12甲、乙兩人同時向一敵機射擊，二人擊中的概率分別為0.6和0.5.求敵機被擊中的概率.解設甲擊中目標,乙擊中目標,則相互獨立.所求概率為定理若下列四對事件與;與;與;與中有一對相互獨立,則另外三對也相互獨立.即有相應可列出其他等式.例12也可用下麵的方法求之:定義1.4稱事件組是相互獨立的,如果有四個等式都成立.獨立性的定義可推廣到個事件上去.特別地,當事件相互獨立時,有上述定理也可以推廣.例13設某型號的高射炮,每一門炮發射一發炮彈擊中敵機的概率為0.6.現若干門炮同時發射（每門一發）.問:至少需要配置多少門高射炮,才能以99%的把握擊中敵機?解記第門炮擊中敵機敵機被擊中.則由題意,即:至少需要配備6門炮,才能以99%的把握命中敵機.例14設兩兩相互獨立的事件滿足:且已知則

.

解記,則由獨立性和加法公式解得例15設兩個相互獨立的事件和都不發生的概率為,發生不發生的概率與發生不發生的概率

相等,則

.解由題意知,又記則三、獨立性在可靠性問題中的應用一個產品或一個元件、一個系統的可靠性可以用可靠度來刻劃.所謂可靠度指的是產品能正常工作的概率.以下討論中,假定一個系統中的各個元件能否正常工作是相互獨立的.兩個基本模型:⑴串聯系統設一個系統由個元件串聯而成,第個元件的可靠度為,則系統的可靠度為⑵並聯系統設一個系統由個元件並聯而成,第個元件的可靠度為,則系統的可靠度為例15求下麵混聯繫統的可靠度,其中每個元件的可靠度都是.1234解系統的可靠度為四、貝努利概型與二項概率如果在一個試驗中,我們只關心某個事件發生與否,那麼稱這個試驗為貝努利試驗.此時試驗的結果可以看成只有兩種:發生或者不發生.相應的數學模型稱為貝努利概型.如果把貝努利試驗重複獨立地做次,則稱這次試驗為重貝努利試驗.在重貝努利試驗中,我們主要研究事件發生的次數以及事件恰好發生次的概率.問題的一般提法:設在單次試驗中,事件發生的概率為,將此試驗重複獨立地進行次,問事件恰好發生次的概率（記為）是多少？定理重貝努利試驗中,事件恰好發生次的概率為這裏.由於因此稱為二項概率.例16一部機器在一天內發生故障的概率為0.2.若一週五個工作日裏每天是否發生故障是相互獨立的.試求一周內發生了三次故障的概率.解此為的二項概率,因此所求概率為例17某人向同一目標獨立重複射擊,每次射擊命中目

標的概率為,求此人第四次射擊恰好第二次命中的概率.解依題意,知前三次擊中一次,第四次擊中,則前三次恰好擊中一次的概率是因此,所求概率為例18設每次射擊命中目標的概率為如果射擊5000次,試求至少兩次命中目標的概率.解此為的二項概率.由計算公式:例19考試靠懵行不行.對於每一個學生而言,求學過程中會面對很多次的考試,如果平時不努力學習,想憑運氣靠懵來通過考試,這究竟行不行呢?假設一門課程的考試試題全部是選擇題,共有50道題,每道題有4個選項,只有一個選項是正確的.答對30個以上則通過該門課程考試.某個學生完全以懵的方法來參加考試,那麼他通過考試的概率有多大?§1.6全概公式與逆概公式一、全概公式二、逆概公式一、全概率公式例15個乒乓球，其中三個是新的,兩個是舊的.每次取一個,無放回地取兩次.求第二次取到新球的概率.解記第一次摸到新球,第二次摸到新球,則特點的發生受多種因素影響,這些因素將分成幾個部分,每個部分的概率可由乘法公式計算得到,各因素綜

合就得到的概率.公式具有普遍性.定義設事件組滿足下列兩個條件:⑴事件組兩兩互不相容;⑵則稱事件組是樣本空間的一個劃分（或稱構成一個完備事件組）.全概公式設事件構成一個完備事件組,且都具有正概率,則對任何一個事件,有

例2設有一倉庫內有10箱同類規格的產品.其中有5箱、3箱及2箱產品依次是甲廠、乙廠和丙廠生產的.且甲乙丙三廠生產的產品的次品率分別是現從中任取一箱,再從中任取一件產品,求取得正品的概率.解以分別表示取到的是甲廠、乙廠或丙廠生產的產品,表示取到的是合格品,則事件組

構成一個完備事件組.且又所以,由全概公式得例3有朋自遠方來,他乘坐火車、輪船、汽車或飛機的概率分別為0.3,0.2,0.1和0.4.而坐火車遲到的概率為0.25,坐船為0.3,坐汽車為0.1,坐飛機則不會遲到.問

此人最終可能遲到的概率是多少?解以表示此人分別坐火車、輪船、汽或飛機到達,則再以表示此人最終遲到,則由全概公式得:例4在例2中,若取到的是正品,問：它是由甲廠生產的概率是多少?所求即為例5在例3中,若這個人最後遲到了,問：他是坐輪船來的概率是多少?所求即為二、逆概公式如果隨機事件構成完備事件組,且都有正概率,則對任何一個事件有例6某廠生產的產品的不合格率為,但是沒有適當的儀器進行檢驗.有人聲稱發明了一種儀器可以用來檢驗,誤判的概率僅為5%,試問,廠長能否採用他發明的儀器.解以表示經檢驗為次品,表示實際上是正品,則

我們來求以下概率：我們還可以求,等,但是顯然廠長最關心的是第一個事件的概率.例7甲乙丙三人向同一飛機射擊,他們擊中的概率分別

為.若只有一人擊中,飛機墜毀的概率是0.2;若二人擊中,則飛機墜毀的概率是0.6;若三個人全擊中,飛機必然墜毀.求飛機墜毀的概率;若飛機墜毀,求在墜毀前被命中一彈的概率.解以表示3人中有i人擊中敵機,再以表示飛機墜毀事件,則若飛機墜毀,則墜毀前被命中一彈的概率為例8一項血液化驗以0.95的概率將病毒攜帶者的血清樣本檢測為陽性;但也有0.01的概率將健康人的血清樣本檢測出陽性.假設該種病毒攜帶率為0.005,求已知一個個體在檢測出是陽性的條件下,該個體確實帶有此病毒的概率.解以表示個體被檢測出陽性,表示是攜帶者,則

因此所求概率為解題關鍵

尋找完備事件組.例9求橋式系統的可靠度.設一個系統由5個元件組成,連接的方式如圖所示,每個元件的可靠度為且每個元件是否能正常工作是相互獨立的,試求這個橋式系統的可靠度.31245解以事件表示元件5正常工作,表示系統正常工作,則和構成樣本空間的一個劃分,且⑴當發生時,整個系統可視為一個混聯繫統.

２３４1４２相應的可靠度為⑵當不發生時,系統可視為下圖所表示的混聯繫統:２３1４相應的概率為因此,系統的可靠度為例10從1,2,3,4中任取一個數,記為,再從正整數1,中隨機取一個數,記為,求概率.解事件是樣本空間的一個完備事件組,且

例11一男子在某城市的一條街道遭到背後的襲擊和搶劫,他斷言兇犯是黑人.然而,當調查這一案件的警

察在可比較的光線條件下,多次重新展現現場情況時,發現受害者正確識別襲擊者膚色的概率只有80%.假定兇犯是本地人,而在這個城市人口中,90%是白人,10%是黑人,且假定白人和黑人的犯罪率相同.⑴問:在這位男子斷言兇犯是黑人的情況下,襲擊他的兇犯確實是黑人的概率是多大?⑵問:同樣的斷言下,襲擊者是白人的概率是多大?因此所求概率為解以表示男子斷言兇犯是黑人,表示是白人,則

一些統計學家和心理學家利用概率論的知識給出了一種調查方法,被調查者只需要不記名地回答下列幾個問題,而且只需回答“是”或“否”.問題1:你的生日是否為單數?問題2:你是否接觸過不健康的文字或視頻等資訊?被調查者在沒有外人的情況下,從一個裝有黑球和白球的箱子中隨機抽取一球,看過顏色後放回,若抽出白球則回答問題1,若抽出黑球則回答問題2.例12敏感問題調查箱中黑球所占比例是已知的,由於調查者無法獲知被調查者回答的是哪個問題,所以可以有效地消除被調查者的顧慮,從而保證調查數據的真實可靠性.假設在一次實際調查中,箱子裏有30個黑球和20個白球,調查結束時收到1583份有效答卷,其中389張回答“是”,試估算中學生中接觸不健康資訊的頻率是多少?解以表示回答的是“是”,表示回答問題i,則即而即為所求,由全概公式例13張亮上概率統計課,在某周的時候,他可能跟上課程也可能跟不上課程.如果某周他跟上課程,那麼下周他繼續跟上課程的概率為0.9;如果某周他沒有跟上課程,那麼他下周跟上課程的概率僅為0.3.現在假定:在第一周上課前,他是跟上課程的.問:⑴經過2周的學習,他仍能跟上課程的概率有多大?⑵經過周的學習（）,他仍能跟上課程的概率有多大?解

以表示在第周他能跟上課程,則所以,2周以後他能跟上課程的概率為:§2.1隨機變數許多隨機試驗的結果與實數密切聯繫,也有些隨機試驗結果從表面上看並不與實數相聯系.下麵我們通過實例對這二種不同的情況來引進隨機變數的概念.例1設有同類產品100件,其中5件次品、95件正品.現從中任取20件產品,問抽到的次品數是多少？“次品數”的值在試驗前無法給出確定的數值,但是對於每一次的抽取結果,次品數又是完全確定的,是由試驗的結果來決定取什麼值,不同的結果對應不同的取值.因此次品數是一個變數，稱之為隨機變數.本例中,記次品數為,則可能取值為0,1,2,3,4,5.

因此我們說:1.許多隨機試驗的結果（即隨機事件）都與實數密切相連.進一步的例子:例2拋一枚骰子出現的點數.我們看到樣本空間可以量化為一個數集:我們可以用變數

表示出現的點數,就是一個隨機變數.例3重貝努利試驗中可以用變數

表示事件

發生的次數.在這類隨機試驗中樣本空間表現為一個數集,或者說可以用一個數來表示樣本空間中的樣本點,用數集來表示樣本空間.還存在許多隨機試驗,它們的試驗結果從表面上看並不與實數相聯系.例4拋一枚硬幣,其結果為{出現正面向上,出現反面向上}.樣本空間不是一個數集.但是我們可以人為地把試驗結果和實數對應起來.令

從數學上看,上述對應關係猶如一個函數,即對於樣對於樣本空間本身就是一個數集的試驗,我們可以理解本空間

中任意一個元素,它對應的函數值為;成是個恒等函數:,對一切（比對上述幾個例子）定義2.1給定一個隨機試驗,是它的樣本空間,如果

對中的每一個樣本點,有一個實數與之對

應,那麼就把這個定義域為的單值實值函數

稱為是（一維）隨機變數.一般用大寫字母表示隨機變數.把隨機變數的值域記做,則引進隨機變數後,隨機事件及其概率可以通過隨機變量來表達.例1中,表示抽取的20件產品中的次品數,抽到的20件產品中恰有三件是次品例2中,表示拋一枚骰子出現的點數,出現奇數點則例4中,表示拋一枚硬幣出現的兩種情況,出現正面向上則一般地,對實數軸上任意一個集合,如果對應的樣本點構成一個事件,即那麼便用來表示事件,用來表示事件的概率.引進隨機變數後,目的是通過隨機變數來研究隨機現象.站在實驗前的立場,我們不知道實驗結果將出現中的哪個樣本點,即不知道隨機變數將會取中的哪個值.因此隨機變數的取值是隨機的,隨機變數的取值的規律性也就反應了隨機現象的統計規律性.

結論:引進隨機變數（本質上是一個函數）,借助微積分等熟悉工具來研究隨機變數取值的統計規律性.描述這種規律性的各種表示形式稱為分佈.§2.2概率函數隨機變數離散型隨機變數連續型隨機變數定義2.2如果一個隨機變數只可能取有限個值或可列無限個值,那麼稱這個隨機變數為（一維）離散型隨機變數.離散型隨機變數的分佈表現形式稱為概率函數.定義2.3設且其中滿足:⑴⑵那麼稱運算式為隨機變量的概率函數或概率分佈（律）.隨機變數的分佈律或概率函數常用表格表示.其中概率為0的不再羅列.例5設隨機變數有概率函數求常數.解由級數求和公式,再由性質:例6設某射擊選手的命中率為0.6,他擊中目標12次便停止射擊.以表示相應的射擊次數,求的概率函數.

解若射擊次數為,則意味著第次擊中,

而前面的次射擊中,總共擊中11次,由二項概率計算公式:例7將3個球隨機放入4個盒子中（假定盒子充分大），求沒有球的盒子的個數的分佈律.解空盒數的取值為若只有一個空盒子,相應的概率為同理,即,分佈律為例8拋擲一枚不均勻的硬幣,出現正面的概率為設為一直擲到正面、反面都出現時所需要的次數,求的概率函數.解事件包含兩種情形,從第一次出現正面開始一直到第次都是正面,而最後一次出現反面;或者一開始出現反面一直到最後一次出現正面,故例9從一批含有10件正品、3件次品的產品中一件件地抽取,設每次取樣時各產品被抽到的可能性相同,在下列三種情況下,分別求出“直到取得正品為止所需抽樣次數”的概率分佈:⑴有放回抽樣;⑵無放回抽樣;⑶每次取出一個產品後總是放回一件正品.解⑴的可能取值為,則⑵因取後不放回,所以的最大取值為,⑶因取後放回正品,所以的最大取值為,例10已知甲、乙兩箱中裝有同種產品,其中甲箱中裝有3件合格品,3件次品;乙箱中僅裝有3件合格品.今從甲箱中任取3件產品放入乙箱,求:⑴乙箱中次品數的概率函數;⑵從乙箱中任取一件產品是次品的概率.解⑴乙箱中的次品數即為從甲箱中取到的次品數,因此,概率函數為⑵設表示從乙箱中取到次品這一事件,則由全概公式:利用概率函數,可以求出任意數集上的概率為例11在例9中的⑵,求解由分佈律:所以:§2.3常見離散型隨機變數二項分佈泊松分佈均勻分佈幾何分佈超幾何分佈0-1分佈常見離散型分佈1.分佈如果隨機變數的概率函數為則稱服從參數為的分佈,記為分佈也可用下麵的式子或表格表示:凡是樣本空間只含有兩個樣本點的試驗或貝努利試驗都可以用服從分佈的隨機變數來刻劃.如產品的好壞,嬰兒的性別,天氣的晴雨等.2.二項分佈如果隨機變數的概率函數為則稱服從參數為的二項分佈,記為其中⑴在次重複獨立試驗中,事件發生的次數就服從二項分佈.⑵利用二項展開定理不難驗證:⑶分佈是二項分佈在時的特例.例1設在三次獨立試驗中,事件出現的概率相等.若已知至少出現一次的概率為,試求事件在一次試驗中出現的概率.解設,由題意所以例2設隨機變數的概率函數為記再記表示在三次重複獨立試驗中事件出現的次數,試求概率和

.解例3某市的血庫急需AB型血,要從體檢合格的獻血者中獲得AB型血.已知在體檢合格的獻血者中,AB型血的比例為百分之二,問至少需要多少位體檢合格的獻血者才能保證至少獲得一份AB型血的概率為0.95?解設至少需要

位體檢合格的獻血者才能保證至少獲得一份AB型血的概率達到0.95,記這

位體檢合格的獻

血者中AB型血人數為,則由此解得取例4抽查有3個孩子的家庭,設事件為“男孩和女孩都有”,事件為“至多一個女孩”.假設男、女出生率都為,則

,與

（填“是”或“不是”）相互獨立的;與

（填“是”或“不是”）互不相容的.解記為有三個孩子的家庭中女孩的個數,則故兩事件“是”相互獨立的,“不是”互不相容的.但可知3.超幾何分佈同類產品個,其中件次品.現從中任取個產品,（）.則這個產品中所含的次品數是一個離散型隨機變數,且的概率分佈為我們稱服從超幾何分佈.定理記,則有在實際應用中,只要,就用二項分佈來近似描述抽樣檢查中的不合格品個數的概率分佈.當產品總數很大時,有放回抽樣和無放回抽樣可近似看作相同.例5某條流水線生產的產品,一級品率為90%.今從某天生產的1000件產品中,隨機地抽取20件做檢查.試求:⑴恰有18件一級品的概率;⑵一級品不超過18件的概率.解記

為隨機抽取的20件產品中一級品的個數,這是的超幾何分佈,則⑴⑵4.泊松分佈若隨機變數的概率函數為則稱服從參數為的泊松分佈,記作.由無窮級數知識知:實例放射性物質在某個時間段內放射的粒子數服從泊松分佈;公用電話亭在某時段內打電話的人數服從泊松分佈;某交通道口在一個時間段內發生交通事故的次數近似服從泊松分佈.泊松分佈的概率函數值可以查表得到.P257查法例設,求查表得泊松定理設,對於任意一

個非負整數,泊松定理告訴我們:二項概率可以用泊松分佈的概率值來近似.當時近似效果比較理想.例6分析病史資料表明:因患感冒而最終導致死亡的比例占0.2%.試求,目前正在患感冒的1000個病人中:⑴最終恰有4個人死亡的概率;⑵最終死亡人數不超過2個人的概率.解記

為1000個患感冒的病人中最終死亡的人數,則此時可近似看作參數為2的泊松分佈,⑴⑵（查表可得）

例7某物業管理公司負責10000戶居民的房屋維修工作.假定每戶居民是否報修是相互獨立的.且一段時間內報修的概率都是0.04%.另外,一戶居民住房的維修只需一名修理工來處理.則在某個時段報修的居民數按泊松定理,可以近似認為.試問:⑴該物業管理公司至少需要配備多少名維修工人,才能使居民報修後能得到及時維修的概率不低於99%?（這裏不考慮維修時間長短）⑵如果該物業公司現有4名修理工,那麼居民報修後不能得到及時維修的概率有多大?⑶如果採用承包方式,每兩個人負責5000戶居民房屋的維修,那麼居民報修後不能得到及時維修的概率有多大?公司至少需配備的工人數,則將其近似看成參數為4的泊松分佈,問題即求滿足以下條件的正整數

查表可得:解⑴記

為10000戶居民中報修的戶數,為物業管理故取⑵查表可得⑶記

分別為這兩個5000戶居民中報修的戶數,

則可將其近似看成參數為2的泊松分佈,再記

所求即為:例8設每分鐘通過某交叉路口的汽車流量服從泊松分佈,且已知一分鐘內沒有車輛通過與恰有一輛車通過

的概率相等,求在一分鐘內至少有2輛車通過的概率.解由已知條件,隨機變數.又即:故所求概率為5.幾何分佈如果隨機變數的概率函數為則稱服從參數為的幾何分佈.

背景

足球運動員連續射門,直到射中為止所需要的射門次數服從幾何分佈.到成功為止所需要的試驗次數服從幾何分佈.6.均勻分佈稱具有下列分佈律的隨機變數服從集合古典概型即可用服從均勻分佈的隨機變數來描述.上的（離散型）均勻分佈:例9設是隨機變數,且求解例10求方程有實根的概率.其中服從集合上的均勻分佈.解方程有實根,當且僅當判別式非負,即因此,相應的概率為例11某產品的次品率為0.1.檢驗員每天檢驗4次,每次隨機地取10件產品進行檢驗,如果發現其中次品數多於一件,就去調整設備.以表示一天中調整設備的次數,試求的概率函數.（設各產品是否為次品是相互獨立的）解記為一天中需要調整設備的次數,為隨機抽取的10件產品中次品的個數,則

且§2.4二維隨機變數及其分佈

1.聯合概率函數

2.邊緣概率函數3.隨機變數的相互獨立性4.條件概率函數例如新生入學體檢有兩個指標:身高與體重,對每個學生測量一次,其結果就對應一組有序數戰士打靶的彈著點的位置可以用平面上點的座標來表示.一、聯合概率函數定義2.2給定一個隨機試驗,是它的樣本空間,如果

對中的每一個樣本點,有一對有序實數與之對應,則稱向量是二維隨機向量.如果一個二維隨機向量只可能取有限個或可列個值,則稱其為二維離散型隨機向量.稱設的值域為為二維隨機向量的聯合概率函數或聯合分佈律.也可用表格形式表示顯然滿足下列條件⑴⑵例1一口袋中有4個球,依次標有數字1,2,2,3.從袋

中任取一球後,不放回袋中,再從袋中任取一球.以分別記第一、第二次取到的球上標有的數字,求的聯合概率函數及概率值.解由題意,隨機變數的取值為由乘法公式比如等,類似可得:由概率函數表即得:利用聯合概率函數,可求任意隨機事件的概率:例2袋中有1個紅球,2個黑球和3個白球.現有放回地

從袋中取2次球,每次取一個球,以分別表示取到的紅球、黑球與白球的個數.求:⑴;⑵二維隨機變數的聯合概率函數.解⑴因又所以⑵類似可以計算其他概率,由此得到概率分佈律例袋中有六球，編號為從袋中取3球,以

表示取到球的最小編號和最大編號,求的聯合概率函數.二、邊緣概率函數對於隨機向量,分量或本身是一個（一維）隨機變數,它的概率分佈稱為的關於或的邊緣概率函數或邊緣分佈律.設隨機向量的聯合分佈為隨機變數的值域為,則的邊緣概律函數或邊緣分佈（律）定義為隨機變數的值域,定義的邊緣概率函數或邊緣分佈（律）為即有例3一口袋中有5個球,4個白的1個紅的,無放回抽樣連摸兩次,記第一次取到紅球,第一次取到白球,第二次取到紅球,第二次取到白球,試求:⑴的聯合概率函數;⑵⑶分別求與的邊緣概率函數.解⑴由乘法公式得到:⑵⑶在上題中,若作有放回抽樣,求問題⑴,⑶.解⑴同樣由乘法公式得到⑶以上例子說明,由聯合分佈可以決定邊緣分佈,但反之不然.例4設隨機變數與有相同的分佈律,且的概率函數為且,求.解由已知條件,知隨機變數的聯合分佈有下列形式:再由邊緣分佈得從而有因此例5設隨機變數的聯合概率函數如表所示:且已知,求的值.解由即知又由概率函數的性質知:所以如果等式三、隨機變數的相互獨立性定義2.3設隨機變數與的聯合概率函數為對所有的都成立,則稱隨機變數與是相互獨立的.兩個邊緣概率值的乘積.獨立性意味著,在下表中,交叉點的元素是對應的例3中,在有放回抽樣時,隨機變數與是相互獨立的;而在無放回抽樣時,與不獨立.由定義可知,如果隨機變數與相互獨立,那麼由邊緣分佈可以決定聯合分佈.定理2.2隨機變數與相互獨立的充分必要條件是:對於實數軸上的任意兩個集合與,總有

定義2.4如果隨機變數的聯合概率函數

恰為個邊緣概率函數的乘積,即有則稱這個隨機變數相互獨立.定理2.