概率论与数理统计课件

樣本空間隨機事件

樣本空間隨機事件事件間的關係與事件的運算小結佈置作業試驗是在一定條件下進行的

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產出的燈泡的壽命.

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現的次數.試驗有一個需要觀察的目的我們注意到根據這個目的,試驗被觀察到多個不同的結果.

試驗的全部可能結果,是在試驗前就明確的;或者雖不能確切知道試驗的全部可能結果,但可知道它不超過某個範圍.試驗是在一定條件下進行的試驗有一個需要觀察的目的樣本點e.

S

現代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.一、樣本空間

例如,試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現的情況:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):

在每次試驗中必有一個樣本點出現且僅有一個樣本點出現.則樣本空間如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負數，由於不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數都是一個可能結果，S={t

：t≥0｝樣本空間故

若試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現的次數：則樣本空間由以上兩個例子可見,樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的.

調查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數.

也可以按某種標準把支出分為高、中、低三檔.這時，樣本點有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9種，樣本空間就由這9個樣本點構成.這時，樣本空間由座標平面第一象限內一定區域內一切點構成.

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現的次數.

請注意：

實際中,在進行隨機試驗時,我們往往會關心滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合.

例如在測試某燈泡的壽命這一試驗中,若規定燈泡的壽命(小時)小於500為次品,那麼我們關心燈泡的壽命是否滿足.或者說,我們關心滿足這一條件的樣本點組成的一個集合.這就是試驗的樣本空間的子集稱為的隨機事件.二、隨機事件如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數.事件B={擲出奇數點}事件A={擲出1點}事件C{出現的點數大於4}=基本事件:(相對於觀察目的不可再分解的事件)事件

B={擲出奇數點}如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數.

事件Ai

={擲出i點},i=1,2,3,4,5,6由一個樣本點組成的單點集.基本事件

當且僅當集合A中的一個樣本點出現時,稱事件A發生.如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數.事件B={擲出奇數點}B發生當且僅當B中的樣本點1,3,5中的某一個出現.兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數小於7”是必然事件;即在試驗中必定發生的事件，常用S表示;不件可事能即在一次試驗中不可能發生的事件，常用表示.而“擲出點數8”則是不可能事件.三、事件間的關係與事件的運算則稱為

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對立事件即A與B不可能同時發生.除要求A、B互斥()外，還要求

事件的運算滿足的規律四、小結樣本空間和隨機事件的定義事件間的關係與事件的運算五、佈置作業概率論與數理統計標準化作業(一)

那麼要問:如何求得某事件的概率呢?下麵幾節就來回答這個問題.

研究隨機現象，不僅關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是事率件概的第三節頻率與概率頻率的定義概率的定義小結佈置作業

研究隨機現象，不僅關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發生可能性大小的度量

事件發生的可能性越大，概率就越大！

瞭解事件發生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什麼意義呢？

我先給大家舉幾個例子，也希望你們再補充幾個例子.

例如，瞭解發生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.

瞭解來商場購物的顧客人數的各種可能性大小，合理配置服務人員.

瞭解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.一、頻率的定義試驗者拋幣次數n“正面向上”次數

頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗記錄

可見,在大量重複的試驗中,隨機事件出現的頻率具

有穩定性.即通常所說的統計規律性.二、概率的定義三、小結頻率的定義概率的公理化定義及概率的性質事件在一次試驗中是否發生具有隨機性，它發生的可能性大小是其本身所固有的性質，概率是度量某事件發生可能性大小的一種數量指標.它介於0與1之間.四、佈置作業《概率論與數理統計》作業（一）第四節等可能概型(古典概型)古典概型的定義古典概率的求法舉例小結佈置作業

我們首先引入的計算概率的數學模型，是在概率論的發展過程中最早出現的研究對象，通常稱為古典概型一、古典概型假定某個試驗有有限個可能的結果

假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結果例如ei，比任一其他結果，例如ej,更有優勢，則我們只好認為所有結果在試驗中有同等可能的出現機會，即1/N的出現機會.e1,e2,…，eN

,常常把這樣的試驗結果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN試驗結果你認為哪個結果出現的可能性大？23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.

因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機會都是1/1023479108615

我們用i表示取到i號球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機試驗為古典概型.34791086152且每個樣本點(或者說基本事件)出現的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗的樣本空間如i=2稱這種試驗為等可能隨機試驗或古典概型.

若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現的可能性相同.

定義1二、古典概型中事件概率的計算記

A={摸到2號球}

P(A)=?

P(A)=1/10記

B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456這裏實際上是從“比例”轉化為“概率”記B={摸到紅球},P(B)=6/10靜態動態

當我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態時相應的比例.23479108615

三、古典概率計算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，並且將卡片放入同一盒中，現從盒中任意一張一張地將卡片取出，並將其按取到的順序排成一列，假設排列結果恰好拼成一個英文單詞：CISNCEE問：在多大程度上認為這樣的結果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術？拼成英文單詞SCIENCE

的情況數為故該結果出現的概率為：

這個概率很小，這裏算出的概率有如下的實際意義：如果多次重複這一抽卡試驗，則我們所關心的事件在1260次試驗中大約出現1次.解七個字母的排列總數為7！

這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術.

具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術.解=0.3024允許重複的排列問錯在何處？例2

某城市的電話號碼由5個數字組成，每個數字可能是從0-9這十個數字中的任一個，求電話號碼由五個不同數字組成的概率.計算樣本空間樣本點總數和所求事件所含樣本點數計數方法不同.從10個不同數字中取5個的排列例3

設有N件產品,其中有M件次品,現從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數為而出現事件A的分法數為n!,故例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？分球入箱問題請看下麵的演示以球、箱模型為例給出一類常見的古典概型中的概率計算“等可能性”是一種假設，在實際應用中，我們需要根據實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可能的.1、在應用古典概型時必須注意“等可能性”的條件.請注意：

在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為基本事件是等可能的並在此基礎上計算事件的概率.2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重複計數，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下麵的演算法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請思考：還有其他解法嗎？2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重複計數，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問題實質上屬於同一類型：

有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問題實質上屬於同一類型：

有n個人，設每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問題實質上屬於同一類型：

有n個旅客，乘火車途經N個車站，設每個人在每站下車的概率為1/N(N≥n)，求指定的n個站各有一人下車的概率.旅客車站3、許多表面上提法不同的問題實質上屬於同一類型：

某城市每週發生7次車禍，假設每天發生車禍的概率相同.求每天恰好發生一次車禍的概率.車禍天你還可以舉出其他例子，留作課下練習.

這一講，我們介紹了古典概型.古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應用.是常見的幾種模型.箱中摸球分球入箱隨機取數分組分配課下可通過作業進一步掌握.四、小結古典概型的定義古典概率的求法《概率統計》標準化作業(一)五、佈置作業第五節條件概率全概率公式貝葉斯公式小結佈置作業

有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發生，123其中A1、A2、A3兩兩互斥看一個例子:三、全概率公式

將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數據計算得：P(B)=8/15運用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥一個事件發生.

某一事件A的發生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發生的概率是

每一原因都可能導致A發生，故A發生的概率是各原因引起A發生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結果”，每個原因對結果的發生有一定的“作用”，即結果發生的可能性與各種原因的“作用”大小有關.全概率公式表達了它們之間的關係.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因B是結果

例甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.

設A={飛機被擊落}

Bi={飛機被i人擊中},i=1,2,3

由全概率公式則A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)可求得

為求P(Bi),

設Hi={飛機被第i人擊中},i=1,2,3將數據代入計算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機被擊落的概率為0.458.於是該球取自哪號箱的可能性最大?

這一類問題是“已知結果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發生條件下，探求各原因發生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:四、貝葉斯公式看一個例子:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發現是紅球,求該球是取自1號箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發現是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運用全概率公式計算P(B)將這裏得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?

該公式於1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發生的條件下，尋找導致B發生的每個原因的概率.貝葉斯公式在實際中有很多應用.

它可以幫助人們確定某結果（事件B）發生的最可能原因.

例某一地區患有癌症的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04，現抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌症患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌症”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設C={抽查的人患有癌症}，

A={試驗結果是陽性}，求P(C|A).現在來分析一下結果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數據計算得P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌症?1.這種試驗對於診斷一個人是否患有癌症有無意義？

如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應的概率是0.95，若試驗後得陽性反應則根據試驗得來的資訊，此人是患者的概率為從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗對於診斷一個人是否患有癌症有意義.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

試驗結果為陽性,此人確患癌症的概率為

P(C｜A)=0.10662.即使你檢出陽性，尚可不必過早下結論你有癌症，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌症)，此時醫生常要通過再試驗來確認.

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步資訊（不知道事件B是否發生）的情況下，人們對諸事件發生可能性大小的認識.當有了新的資訊（知道B發生），人們對諸事件發生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計.貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化

在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的驗前概率和驗後概率.這一講我們介紹了全概率公式貝葉斯公式它們是加法公式和乘法公式的綜合運用,同學們可通過進一步的練習去掌握它們.五、小結六、佈置作業《概率統計》標準化作業(一)第五節條件概率條件概率乘法公式小結佈置作業

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加資訊(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發生的條件下求事件A發生的概率，將此概率記作P(A|B).

一般地P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數點}，P(A|B)=？擲骰子

已知事件B發生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.B中共有3個元素,它們的出現是等可能的,其中只有1個在集A中.容易看到P(A|B)於是P(A)=3/10，

又如，10件產品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)則P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7

本例中，計算P(A)時，依據的前提條件是10件產品中一等品的比例.A={取到一等品}，

計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發生”這個新的條件.

這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的範圍內來考慮問題.

若事件B已發生,則為使A也發生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬於AB.由於我們已經知道B已發生,故B變成了新的樣本空間,於是有(1).設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(自行驗證)2)從加入條件後改變了的情況去算4.條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2

點}，

B={擲出偶數點}P(A|B）=B發生後的縮減樣本空間所含樣本點總數在縮減樣本空間中A所含樣本點個數

例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小於10”的概率是多少?解法1解法2解設A={擲出點數之和不小於10}B={第一顆擲出6點}應用定義在B發生後的縮減樣本空間中計算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發生的概率注意P(AB)與P(A|B)的區別！請看下麵的例子

例2

甲、乙兩廠共同生產1000個零件，其中300件是乙廠生產的.而在這300個零件中，有189個是標準件，現從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產的標準件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產1000個189個是標準件300個乙廠生產300個乙廠生產設B={零件是乙廠生產},A={是標準件}所求為P(AB).設B={零件是乙廠生產}A={是標準件}若改為“發現它是乙廠生產的,問它是標準件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發生,在P(AB)中作為結果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產1000個189個是標準件300個乙廠生產

例3

設某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).條件概率P(A|B)與P(A)的區別

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的,設A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區別在於兩者發生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發生”這個條件時A發生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.乘法公式應用舉例

一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色後放回罐中，並且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波裏亞罐子模型）b個白球,r個紅球於是W1W2R3R4表示事件“連續取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”

b個白球,r個紅球

隨機取一個球，觀看顏色後放回罐中，並且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.

解設Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

當c>0時，由於每次取出球後會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發現一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)

一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽籤的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其餘的什麼也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.後抽比先抽的確實吃虧嗎？

“先抽的人當然要比後抽的人抽到的機會大.”

到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐後，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當然要比後抽的人抽到的機會大。”

我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，則表示“第i個人未抽到入場券”因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，由於由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5計算得：

這就是有關抽籤順序問題的正確解答.

同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

繼續做下去就會發現,每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽籤不必爭先恐後.也就是說，三、小結

這一講，我們介紹了條件概率的概念，給出了計算兩個或多個事件同時發生的概率的乘法公式，它在計算概率時經常使用，需要牢固掌握.四、佈置作業《概率統計》標準化作業(一)第六節獨立性兩個事件的獨立性多個事件的獨立性獨立性的概念在計算概率中的應用小結佈置作業顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發生,並不影響事件A發生的概率,這時稱事件A、B獨立.一、兩事件的獨立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設

由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.兩事件獨立的定義

例從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由於P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我們是根據兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

可見P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

由於“甲命中”並不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如（即一事件發生與否並不影響另一事件發生的概率）

一批產品共n件，從中抽取2件，設

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結果受到第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下麵四個結論中，正確的是：

前面我們看到獨立與互斥的區別和聯繫，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下麵四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨立概率的性質=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨立定理2

若兩事件A、B獨立,則

也相互獨立.證明=P(A)P()故A與獨立二、多個事件的獨立性

對於三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區別與聯繫兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?對獨立事件，許多概率計算可得到簡化三、獨立性的概念在計算概率中的應用即

例4三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號為1，2，3，所求為記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/412=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]3

例5下麵是一個串並聯電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數是它們各自正常工作的概率.求電路正常工作的概率.

解將電路正常工作記為W，由於各元件獨立工作，有其中P(W)0.782代入得四、小結

這一講，我們介紹了事件獨立性的概念.不難發現，當事件相互獨立時，乘法公式變得十分簡單，因而也就特別重要和有用.如果事件是獨立的，則許多概率的計算就可大為簡化.《概率統計》標準化作業(一)五、佈置作業第一節隨機變數隨機變數概念的產生引入隨機變數的意義隨機變數的分類一、隨機變數概念的產生

在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數量來表示，由此就產生了隨機變數的概念.1、有些試驗結果本身與數值有關（本身就是一個數）.

例如，擲一顆骰子面上出現的點數；

四月份哈爾濱的最高溫度；每天進入一號樓的人數；昆蟲的產卵數；2、在有些試驗中，試驗結果看來與數值無關，但我們可以引進一個變數來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數值化.正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應關係.

這種對應關係在數學上理解為定義了一種實值單值函數.e.X(e)R這種實值函數與在高等數學中大家接觸到的函數不一樣！（1）它隨試驗結果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的範圍，而不能預先肯定它將取哪個值.（2）由於試驗結果的出現具有一定的概率，於是這種實值函數取每個值和每個確定範圍內的值也有一定的概率.稱這種定義在樣本空間S上的實值單值函數X=X(e)為隨量機變簡記為r.v.

而表示隨機變數所取的值時,一般採用小寫字母x,y,z,w,n等.隨機變數通常用大寫字母X,Y,Z,W,N等表示

有了隨機變數,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變數的關係式表達出來.二、引入隨機變數的意義

如：單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數用X表示，它是一個隨機變數.

事件{收到不少於1次呼叫}{沒有收到呼叫}{X1}{X=0}

隨機變數概念的產生是概率論發展史上的重大事件.引入隨機變數後，對隨機現象統計規律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變數及其取值規律的研究.事件及事件概率隨機變數及其取值規律我們將研究兩類隨機變數：

如“取到次品的個數”，“收到的呼叫數”等.隨機變數離散型隨機變數連續型隨機變數例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.三、隨機變數的分類

這兩種類型的隨機變數因為都是隨機變數，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.隨機變數連續型隨機變數離散型隨機變數學習時請注意它們各自的特點和描述方法.

解：分析例1

一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報，並規定他不得把賣不出的報紙退回.設X為報童每天賣出的報紙份數，試將報童賠錢這一事件用隨機變數的運算式表示.當0.15X<1000×0.1時，報童賠錢故{報童賠錢}{X666}{報童賠錢}{賣出的報紙錢不夠成本}四、小結在這一節中我們介紹了隨機變數及其分類.

第二節離散型隨機變數及其分佈律離散型隨機變數分佈律的定義離散型隨機變數表示方法三種常見分佈小結佈置作業

從中任取3個球取到的白球數X是一個隨機變數.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個值的概率為:看一個例子一、離散型隨機變數分佈律的定義定義1：某些隨機變數X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,這種隨機變數稱為離散型隨機變數.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義2：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變數X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變數X的分佈律.用這兩條性質判斷一個函數是否是分佈律解:依據分佈律的性質P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例2設隨機變數X的分佈律為：k=0,1,2,…,試確定常數a.二、離散型隨機變數表示方法（1）公式法（2）列表法X例3某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數X的概率分佈.解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分佈律.例4某射手連續向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發命中的概率是p，求所需射擊發數X的分佈律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發命中}，k=1,2,…，設於是可見這就是求所需射擊發數X的分佈律.例5

一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數，求X的分佈律.解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4

P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數三、三種常見分佈1、（0-1）分佈：（也稱兩點分佈）隨機變數X只可能取0與1兩個值，其分佈律為：看一個試驗將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分佈律是：2.伯努利試驗和二項分佈令X表示3次中出現“4”點的次數

擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”

抽驗產品：“是正品”，“是次品”

一般地，設在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結果：A

或.這樣的試驗E稱為伯努利試驗

.“重複”是指這n次試驗中P(A)=p保持不變.

將伯努利試驗E獨立地重複地進行n次,則稱這一串重複的獨立試驗為n重伯努利試驗

.“獨立”是指各次試驗的結果互不影響.

用X表示n重伯努利試驗中事件A發生的次數，則易證：（1）稱r.vX服從參數為n和p的二項分佈，記作X~b(n,p)（2）例6

已知100個產品中有5個次品，現從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.

解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努裏試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數，於是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”,那麼各次試驗條件就不同了,此試驗就不是伯努利試驗.此時,只能用古典概型求解.請注意：

伯努利試驗對試驗結果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分佈描述的是n重伯努利試驗中事件A出現的次數X的分佈律.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或，（3）各次試驗相互獨立.可以簡單地說，

且P(A)=p

，；例7

某類燈泡使用時數在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以後最多只有一個壞了的概率.解:設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數.X~b(3,0.8)，把觀察一個燈泡的使用時數看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為事件A.每次試驗,A出現的概率為0.8

P{X1}=P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1043.泊松分佈

設隨機變數X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分佈為：其中>0是常數,則稱X服從參數為的泊松分佈,記作X~π().例8

一家商店採用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數可以用參數λ=5的泊松分佈來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？解:設該商品每月的銷售數為X,已知X服從參數λ=5的泊松分佈.設商店在月底應進某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進貨數銷售數求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分佈表得P{X>m}≤0.05也即於是得m+1=10,m=9件或

對於離散型隨機變數，如果知道了它的分佈律,也就知道了該隨機變數取值的概率規律.在這個意義上，我們說

這一節，我們介紹了離散型隨機變數及其分佈律，並給出兩點分佈、二項分佈、泊松分佈三種重要離散型隨機變數.離散型隨機變數由它的分佈律唯一確定.四、小結練習題五、佈置作業《概率統計》標準化作業（二）

一、1；三、1，4；第三節隨機變數的分佈函數隨機變數分佈函數的定義分佈函數的性質小結佈置作業一、分佈函數的定義

如果將

X

看作數軸上隨機點的座標，那麼分佈函數

F(x)的值就表示

X落在區間內的概率.設

X

是一個

r.v，稱為

X

的分佈函數

,記作

F

(x)

.(1)在分佈函數的定義中,X是隨機變數,x是參變數.

(2)F(x)

是r.vX取值不大於

x

的概率.(3)

對任意實數x1<x2，隨機點落在區間(x1,x2]內的概率為：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了隨機變數X的分佈函數，它的統計特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)請注意:

分佈函數是一個普通的函數，正是通過它，我們可以用高等數學的工具來研究隨機變數.當

x<0時，{X

x}=，故

F(x)=0例1設隨機變數X的分佈律為當

0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分佈函數F(x).當

1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當

x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右連續下麵我們從圖形上來看一下.的分佈函數圖設離散型r.vX

的分佈律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)

是X

取的諸值xk

的概率之和.一般地則其分佈函數二、分佈函數的性質(1)

如果一個函數具有上述性質，則一定是某個r.vX

的分佈函數.也就是說，性質(1)--(3)是鑒別一個函數是否是某r.v的分佈函數的充分必要條件.(3)F(x)

右連續，即

(2)試說明F(x)能否是某個r.v

的分佈函數.例2

設有函數

F(x)

解

注意到函數F(x)在上下降，不滿足性質(1)，故F(x)不能是分佈函數.不滿足性質(2)，可見F(x)也不能是r.v

的分佈函數.或者

解設F(x)

為X

的分佈函數，當

x<0時，F(x)=P(Xx)=00a當

x>a

時，F(x)=1

例3

在區間[0，a]上任意投擲一個質點，以X

表示這個質點的座標.設這個質點落在[0,a]中意社區間內的概率與這個社區間的長度成正比，試求X

的分佈函數.當

0xa

時，P(0Xx)=kx

(k為常數)由於

P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a故

這就是在區間[0，a]上服從均勻分佈的連續型隨機變數的分佈函數.三、小結

在這一節中，我們學習了隨機變數的分佈函數,以及分佈函數的性質.練習題F(x)=P(X

x)故四、佈置作業《概率統計》標準化作業(二)第四節連續型隨機變數及其概率密度連續型隨機變數及其概率密度的定義概率密度的性質三種重要的連續型隨機變數小結佈置作業

連續型隨機變數X所有可能取值充滿一個區間,對這種類型的隨機變數,不能象離散型隨機變數那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分佈,而是通過給出所謂“概率密度函數”的方式.

下麵我們就來介紹對連續型隨機變數的描述方法.則稱X為連續型隨機變數,稱f(x)

為X的概率密度函數，簡稱為概率密度.一、連續型隨機變數及其概率密度的定義有,使得對任意實數

,

對於隨機變數X,如果存在非負可積函數f(x),

連續型隨機變數的分佈函數在上連續二、概率密度的性質1o2of(x)xo面積為1這兩條性質是判定一個函數f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件利用概率密度可確定隨機點落在某個範圍內的概率對於任意實數x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點x

處連續,則有

故

X的密度f(x)

在x

這一點的值，恰好是X落在區間上的概率與區間長度之比的極限.這裏，如果把概率理解為品質，f(x)相當於線密度.

若x是f(x)的連續點，則對f(x)的進一步理解:若不計高階無窮小，有表示隨機變數X

取值於的概率近似等於.在連續型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.

要注意的是，密度函數f(x)在某點處a的高度，並不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xoa(1)連續型r.v取任一指定實數值a的概率均為0.即這是因為請注意:當時得到(2)對連續型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出1.均勻分佈則稱X在區間(a,b)上服從均勻分佈，X

～U(a,b)三、三種重要的連續型隨機變數若r.vX的概率密度為：記作

公交線路上兩輛公共汽車前後通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分佈常見於下列情形：

如在數值計算中，由於四舍五入，小數點後某一位小數引入的誤差；

例2

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變數,試求他候車時間少於5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位

為使候車時間X少於5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：即乘客候車時間少於5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，指數分佈常用於可靠性統計研究中，如元件的壽命.2.指數分佈若r.vX具有概率密度為常數,則稱X

服從參數為的指數分佈.若X

服從參數為

的指數分佈,則其分佈函數為事實上,當時,當時,3.正態分佈

若連續型r.vX的概率密度為記作其中和(>0)都是常數,則稱X服從參數為和的正態分佈或高斯分佈.事實上,則有曲線關於軸對稱；函數在上單調增加,在上單調減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個拐點的橫坐標；當x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線

根據對密度函數的分析，也可初步畫出正態分佈的概率密度曲線圖.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態分佈

的圖形特點

設X~,X的分佈函數是正態分佈的分佈函數

正態分佈由它的兩個參數μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態分佈。標準正態分佈下麵我們介紹一種最重要的正態分佈的正態分佈稱為標準正態分佈.其密度函數和分佈函數常用

和

表示：標準正態分佈的性質:事實上,

標準正態分佈的重要性在於，任何一個一般的正態分佈都可以通過線性變換轉化為標準正態分佈.定理1證Z的分佈函數為則有

根據定理1,只要將標準正態分佈的分佈函數製成表，就可以解決一般正態分佈的概率計算問題.於是

書末附有標準正態分佈函數數值表，有了它，可以解決一般正態分佈的概率計算查表.正態分佈表當x<0

時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)

則由標準正態分佈的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區間內，超出這個範圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準則將上述結論推廣到一般的正態分佈,可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區間內.這在統計學上稱作“3準則”

.~N(0,1)

時，標準正態分佈的上分位點設若數滿足條件則稱點為標準正態分佈的上分位點.解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下麵我們來求滿足上式的最小的h.看一個應用正態分佈的例子:

例

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?設車門高度為hcm,按設計要求因為X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設計車門高度為184釐米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以.

這一節，我們介紹了連續型隨機變數及三種重要分佈.即均勻分佈、指數分佈、正態分佈.其中正態分佈的應用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.

後面第五章中，我們還將介紹為什麼這麼多隨機現象都近似服從正態分佈.四、小結練習題故《概率統計》標準化作業（二）一、2，3；二、1，2，3；三、2，5；五、佈置作業第五節隨機變數的函數的分佈問題的提出離散型隨機變數的函數的分佈連續型隨機變數的函數的分佈小結佈置作業一、問題的提出

在實際中，人們常常對隨機變數的函數更感興趣.求截面面積A=

的分佈.比如，已知圓軸截面直徑d

的分佈，在比如，已知t=t0

時刻雜訊電壓V

的分佈，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分佈等.

設隨機變數X

的分佈已知，Y=g(X)(設g是連續函數），如何由X

的分佈求出

Y

的分佈？下麵進行討論.

這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.二、離散型隨機變數函數的分佈解：當X

取值

1，2，5時，

Y取對應值

5，7，13，