2019清华大学自主招生试题(含答案)

一、选择题2-(D)-3.设A、B是抛物线y=x2上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB22(C)直线AB过抛物线y=x2焦点(D)O4.设函数f(x)的定义域为(-1,1)，且满足：①f(x)>0,x∈(-1,0)；②f(x)+f(y)=f(x+y)，x、y∈(-1,1)，则f(x)为5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有()π6.△ABC的三边分别为a、b、c．若c=2，∠C=3,且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有()x，则()(A)f(x)有极小值，但无最小值(B)f(x)有极大值，但无最大值(C)若方程f(x)=b恰有一个实根，则b>6(D)若方程f(x)=b恰有三个不同实根，则0<b<-63则()(A)0<a29.已知非负实数x,y,z满足4x2+4y2+z2+2z=3，则5x+4y+3z最小值为()10.设数列{a}前n项和为S，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S=a，则()（A）{a}可能为等差数列（B）{a}可能为等比数列（C）{a}的任意一项均可写成{a}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得a=S都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是12.长方体ABCD-ABCD中，AB=2，AD=AA=1，则A到平面ABD的距离为()123(A)0(B)-15(C)--(D)-15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.2，则()16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的()(A)最小值为-(B)最小值为(C)最大值为(D最大值为-17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有()18.已知存在实数r，使得圆周x2+y2=r2上恰好有n个整点，则n可以等于()→→2=a(B)a2.b2=n219.设复数z满足2|z|≤|z-1|，则()(A)|z|的最大值为1(B)|z|2-n+3n22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有()23.设函数f(x)=（A）f(x)≤4,则()x2x(B)|f(x)|≤5|x|(C)曲线y=f(x)存在对称轴(D)曲线y=f(x)存在对称中心24.△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则()23325.设函数f(x)的定义域是(-1,1)，若f(0)=f,(0)=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得()(A)f(x)>0，x∈(-δ,δ)(B)f(x)在(-δ,δ)上单调递增(C)f(x)>1，x∈(0,δ)(D)f(x)>1，x∈(-δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(-1,0)，B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同的点P(k=1,2,…,n)，总存k1在两个不同的点P,P，使得|sin∠APB-sin∠APB|≤-，则n的最小值为()ijij327.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+x2+y2的()452531128.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则()(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组同的五位数有()##Answer##3-πππ223.【解析】设A(x,x2),B(x,x2),OA.OB=xx(1+xx)=0常x=1x1=2，正确；答案1x1程为y-x2=(x-)(x-x),焦点(0,1-x11x1≤1，正确。选ABD4.【解析】x=y=0常f(0)=0,y=-x常f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数，(A)正确；f(x)=0，(B)错误；x<x，f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)=f(|x1-x2)|>0常f(x)>f(x)常f(x)↓,(C)正确；（1-xx)1225.【简解】将直线平移知：斜率为k直线，与曲线y=f(x)至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方两个区间，先上方后下方三个区间，故F(x)有三个极大值点，两个极小值点。选BCπ又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA常cosA=0或sinB=2sinA常A=-或23322交于相异的两点2<4r2,(A)错；四边形OPCP是菱形常对角线OC与PP2=22总之，选BCD32+2zy2≥0常x2+y2<-,4-],r∈[0,2]54YYa1X2+Y2=1X3O210.【解析】答案(A)，常数列0,0,0, nqm1常──=1q常数，也不可能；答案(C),a=SS=aa,满足要求；答案11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D12.等体积法，选B13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形2=42=4P3 46522为为、1,都比-大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为2114.【简解】取AB的中点D,则OA.AB=OA×AB×cos(π-∠OAB)=-AB×(OA×cos∠OAB)=--AB2,同理215.【简解】设P(AB)=x，则P(A)=0.2+x，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5常x=0.2;P(A)=0.4，选ABC1则有-AB×ACsinA=1,如图2AE当x,y∈(0,1)时，△ADE面积S=-AD×AEsinA=xAB×yACsinA=xy,D、G、E三点共线常存在实数λ,使31-(1一λ)x=-AC常〈.2S23常S≥-,等号成立当且仅当x=y=常DE∥BC,故S最小值为，1-S的最大值为；故两面积比值有最小值17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A，从A逆时针方向的点依次记为A(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为A(k=1,2,3,…,7)，△AAA要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C圆及其内部，根据图形，选ACD—-选BCDn错误。选AB111+x|.作图象知成立,(B)正确；x=是其一条对称轴，(C)正确；2f(ax)+f(a+x)不可能为常数，故(D)错误。选ABC33